Оценщик Тейла – Сена

Более широкий охват этой темы см. в разделе Робастная регрессия .

Оценка Тейла – Сена набора точек выборки с выбросами (черная линия) в сравнении с неробастной обычной линией наименьших квадратов для того же набора (синяя). Пунктирная зеленая линия представляет собой основную истину, на основе которой были созданы образцы.

В непараметрической статистике оценщик Тейла -Сена метод надежной подгонки линии к точкам выборки на плоскости ( простая линейная регрессия ) путем выбора медианы наклонов представляет собой всех линий через пары точек. Его также называют оценщиком наклона Сена . выбор склона , метод одной медианы , метод надежной подгонки линий Кендалла , и надежная линия Кендалла-Тейла . Он назван в честь Анри Тейля и Пранаба К. Сена , опубликовавших статьи по этому методу в 1950 и 1968 годах соответственно. и после Мориса Кендалла из-за его связи с коэффициентом ранговой корреляции тау Кендалла .

Регрессия Тейла-Сена имеет несколько преимуществ по сравнению с обычной регрессией наименьших квадратов . Он нечувствителен к выбросам . Его можно использовать для проверки значимости, даже если остатки не распределены нормально. Он может быть значительно более точным, чем неробастная простая линейная регрессия (наименьшие квадраты) для асимметричных и гетероскедастических данных, и хорошо конкурирует с методом наименьших квадратов даже для нормально распределенных данных с точки зрения статистической мощности . Его назвали «самым популярным непараметрическим методом оценки линейного тренда». Существуют быстрые алгоритмы для эффективного вычисления параметров.

Определение

Согласно определению Тейла (1950) , оценка Тейла-Сена набора двумерных точек ( x _i , y _i ) представляет собой медиану m наклонов ( y _j - y _i )/( x _j - x _i ) определяется всеми парами точек выборки. Сен (1968) расширил это определение, чтобы охватить случай, когда две точки данных имеют одинаковую координату x . В определении Сена берется медиана наклонов, определенных только по парам точек, имеющих разные x . координаты

наклона m После определения y можно определить линию из точек выборки, установив точку пересечения b как медиану значений y _i − mx _i . В этом случае подходящей линией является линия y = mx + b с коэффициентами m и b в форме наклона-пересечения . Как заметил Сен, такой выбор наклона приводит к тому, что коэффициент ранговой корреляции Кендалла тау становится приблизительно равным нулю, когда он используется для сравнения значений x _i с соответствующими остатками y _i - mx _i - b . Интуитивно это означает, что то, насколько далеко линия соответствия проходит выше или ниже точки данных, не коррелирует с тем, находится ли эта точка на левой или правой стороне набора данных. Выбор b не влияет на коэффициент Кендалла, но приводит к тому, что медианный остаток становится примерно равным нулю; то есть линия соответствия проходит выше и ниже равного количества точек.

Доверительный интервал для оценки наклона можно определить как интервал, содержащий средние 95% наклонов линий, определяемых парами точек. и может быть быстро оценен путем выборки пар точек и определения 95% интервала выбранных наклонов. Согласно результатам моделирования, для определения точного доверительного интервала достаточно примерно 600 пар выборок.

Вариации

Вариант оценки Тейла-Сена, повторная медианная регрессия Сигела (1982) , определяет для каждой точки выборки ( x _i , y _i ) медиану m _i наклонов ( y _j − y _i )/( x _j − x _i ) линий, проходящих через эту точку, а затем определяет общую оценку как медиану этих медиан. Он может допускать большее количество выбросов, чем оценщик Тейла – Сена, но известные алгоритмы его эффективного вычисления более сложны и менее практичны.

Другой вариант объединяет точки выборки в пары по рангу их координат x : точка с наименьшей координатой соединяется с первой точкой над медианной координатой, вторая наименьшая точка соединяется со следующей точкой над медианой, и так на. Затем он вычисляет медиану наклонов линий, определенных этими парами точек, набирая скорость за счет проверки значительно меньшего количества пар, чем оценщик Тейла – Сена.

варианты оценки Тейла-Сена, основанные на взвешенных медианах Также изучались , основанные на том принципе, что пары выборок, координаты x которых различаются сильнее, с большей вероятностью будут иметь точный наклон и, следовательно, должны получить более высокий вес.

Для сезонных данных может оказаться целесообразным сгладить сезонные колебания данных, рассматривая только пары точек выборки, которые принадлежат одному и тому же месяцу или одному и тому же сезону года, и находя медиану наклонов линий, определяемых этот более ограниченный набор пар.

Статистические свойства

Оценка Тейла-Сена представляет собой несмещенную оценку истинного наклона в простой линейной регрессии . Для многих распределений ошибки ответа эта оценка имеет высокую асимптотическую эффективность по сравнению с оценкой методом наименьших квадратов . Оценщики с низкой эффективностью требуют большего количества независимых наблюдений для достижения той же выборочной дисперсии, что и эффективные несмещенные оценки.

Оценка Тейла-Сена более надежна, чем оценка методом наименьших квадратов, поскольку она гораздо менее чувствительна к выбросам . Имеет разрушения точку

$1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 29.3\%,$

это означает, что он может допускать произвольное искажение до 29,3% входных данных без ухудшения его точности. Однако точка пробоя уменьшается для многомерных обобщений метода. Более высокая точка разбивки, 50%, справедлива для другого надежного алгоритма аппроксимации линии — повторной медианной оценки Зигеля.

Оценщик Тейла-Сена эквивариантен при каждом линейном преобразовании своей переменной отклика, что означает, что сначала преобразование данных, а затем подгонка линии, или сначала подгонка линии, а затем ее преобразование одинаковым образом, оба метода дают один и тот же результат. Однако он не эквивариантен при аффинных преобразованиях как предиктора, так и переменных отклика.

Алгоритмы

Медианный наклон набора из n точек выборки можно точно вычислить, вычислив все O ( n ² ) линии через пары точек, а затем применяя алгоритм поиска медианы линейного времени . Альтернативно, его можно оценить путем выборки пар точек. эта проблема эквивалентна В условиях проективной двойственности проблеме нахождения точки пересечения в расположении прямых , которое имеет среднюю координату x среди всех таких точек пересечения.

Проблема точного, но более эффективного выбора наклона, чем алгоритм перебора квадратичного времени, широко изучалась в вычислительной геометрии . Известно несколько различных методов вычисления оценщика Тейла – Сена точно за O ( n log n ) , либо детерминистически, либо детерминированно. время или с использованием рандомизированных алгоритмов . Повторную медианную оценку Зигеля также можно построить за то же время. В моделях вычислений, в которых входные координаты являются целыми числами и в которых побитовые операции с целыми числами занимают постоянное время, оценщик Тейла – Сена может быть построен еще быстрее, за рандомизированное ожидаемое время. $O(n{\sqrt {\log n}})$.

Оценка наклона с приблизительно медианным рангом, имеющая ту же точку разбивки, что и оценка Тейла – Сена, может поддерживаться в модели потока данных (в которой точки выборки обрабатываются одна за другой с помощью алгоритма, который не имеет достаточного количества постоянных хранилище для представления всего набора данных) с использованием алгоритма, основанного на ε-сетях .

Реализации

В пакете статистики R как оценщик Тейла-Сена, так и повторный медианный оценщик Зигеля доступны через mblm библиотека. Бесплатное автономное приложение Visual Basic для оценки Тейла – Сена. KTRLine, было предоставлено Геологической службой США . Оценщик Тейла-Сена также был реализован на Python как часть библиотек SciPy и scikit-learn .

Приложения

Оценка Тейла-Сена была применена в астрономии благодаря ее способности обрабатывать модели регрессии с цензурой . В биофизике Фернандес и Леблан (2005) предлагают использовать его для приложений дистанционного зондирования, таких как оценка площади листьев на основе данных об отражательной способности, из-за его «простоты вычислений, аналитических оценок доверительных интервалов, устойчивости к выбросам, проверяемых предположений относительно остатков и… ...ограниченная априорная информация об ошибках измерения». Для измерения сезонных данных об окружающей среде, таких как качество воды , сезонно скорректированный вариант оценки Тейла-Сена был предложен как предпочтительный по сравнению с оценкой методом наименьших квадратов из-за его высокой точности при наличии искаженных данных. В информатике метод Тейла-Сена использовался для оценки тенденций старения программного обеспечения . В метеорологии и климатологии он использовался для оценки долгосрочных тенденций возникновения и скорости ветра.

См. также

• Медианно-медианный метод
• Разбавление регрессии для еще одной проблемы, влияющей на расчетные наклоны тренда.

Ссылки

• Акритас, Майкл Г.; Мерфи, Сьюзен А .; ЛаВэлли, Майкл П. (1995), «Оценщик Тейла-Сена с данными двойной цензуры и приложениями к астрономии», Журнал Американской статистической ассоциации , 90 (429): 170–177, doi : 10.1080/01621459.1995.10476499 , JSTOR   2291140 , МР   1325124 .
• Багчи, Амитабха; Чаудхари, Амитабх; Эппштейн, Дэвид ; Гудрич, Майкл Т. (2007), «Детерминированная выборка и подсчет диапазонов в потоках геометрических данных», Транзакции ACM по алгоритмам , 3 (2): Ст. № 16, arXiv : cs/0307027 , doi : 10.1145/1240233.1240239 , MR   2335299 , S2CID   123315817 .
• Биркс, Дэвид; Додж, Ядола (1993), «6.3 Оценка линии регрессии», Альтернативные методы регрессии , Ряды Уайли по вероятности и статистике, том. 282, Wiley-Interscience, стр. 113–118, ISBN.  978-0-471-56881-0 .
• Бланк, Хенрик; Варенхольд, Январь (2006 г.), «Рандомизированный выбор наклона на месте», Международный симпозиум по алгоритмам и сложности , Конспекты лекций по информатике, том. 3998, Берлин: Springer-Verlag, стр. 30–41, номер документа : 10.1007/11758471_6 , ISBN.  978-3-540-34375-2 , МР   2263136 .
• Брённиманн, Эрве; Шазель, Бернар (1998), «Оптимальный выбор уклона с помощью выемок», Теория и приложения вычислительной геометрии , 10 (1): 23–29, doi : 10.1016/S0925-7721(97)00025-4 , MR   1614381 .
• Чан, Тимоти М .; Патрашку, Михай (2010), «Подсчет инверсий, подсчет ортогональных диапазонов в автономном режиме и связанные с ними проблемы» , Труды двадцать первого ежегодного симпозиума ACM-SIAM по дискретным алгоритмам (SODA '10) , стр. 161–173, doi : 10.1137 /1,9781611973075,15 .
• Коул, Ричард; Салове, Джеффри С.; Штайгер, В.Л.; Семереди, Эндре (1989), «Алгоритм оптимального времени для выбора наклона», SIAM Journal on Computing , 18 (4): 792–810, doi : 10.1137/0218055 , MR   1004799 .
• Де Мут, Э. Джеймс (2006), Базовая статистика и приложения фармацевтической статистики , Биостатистика, том. 16 (2-е изд.), CRC Press, с. 577, ISBN  978-0-8493-3799-4 .
• Дилленкур, Майкл Б.; Маунт, Дэвид М .; Нетаньяху, Натан С. (1992), «Рандомизированный алгоритм выбора наклона», Международный журнал вычислительной геометрии и приложений , 2 (1): 1–27, doi : 10.1142/S0218195992000020 , MR   1159839 .
• Дитэм, Кальвин (2011), Выбор и использование статистики: Руководство биолога (3-е изд.), John Wiley and Sons, стр. 230, ISBN  978-1-4051-9839-4 .
• Эль-Шарави, Абдель Х.; Пигорш, Уолтер В. (2001), Энциклопедия экологической метрики, Том 1 , John Wiley and Sons, стр. 19, ISBN  978-0-471-89997-6 .
• Фернандес, Ричард; Леблан, Сильвен Г. (2005), «Параметрические (модифицированные методы наименьших квадратов) и непараметрические (Тейла – Сена) линейные регрессии для прогнозирования биофизических параметров при наличии ошибок измерений», Дистанционное зондирование окружающей среды , 95 (3): 303 –316, Bibcode : 2005RSEnv..95..303F , doi : 10.1016/j.rse.2005.01.005 .
• Гилберт, Ричард О. (1987), «Непараметрическая оценка наклона Сена 6,5», Статистические методы мониторинга загрязнения окружающей среды , John Wiley and Sons, стр. 217–219, ISBN  978-0-471-28878-7 .
• Гранато, Грегори Э. (2006), «Глава A7: Робастная линия Кендалла – Тейла (KTRLine — версия 1.0) — визуальная базовая программа для расчета и построения графиков робастных непараметрических оценок коэффициентов линейной регрессии между двумя непрерывными переменными» , Гидрологический анализ и Интерпретация , Методы и методы геологической службы США, том. 4, Геологическая служба США .
• Хирш, Роберт М .; Слэк, Джеймс Р.; Смит, Ричард А. (1982), «Методы анализа тенденций для ежемесячных данных о качестве воды», Water Resources Research , 18 (1): 107–121, Бибкод : 1982WRR....18..107H , doi : 10.1029/ WR018i001p00107 .
• Джекель, Луи А. (1972), «Оценка коэффициентов регрессии путем минимизации дисперсии остатков», Annals of Mathematical Статистика , 43 (5): 1449–1458, doi : 10.1214/aoms/1177692377 , MR   0348930 .
• Кац, Мэтью Дж.; Шарир, Миха (1993), «Выбор оптимального уклона с помощью расширителей», Information Processing Letters , 47 (3): 115–122, doi : 10.1016/0020-0190(93)90234-Z , MR   1237287 .
• Логан, Мюррей (2010), Биостатистический дизайн и анализ с использованием R: Практическое руководство , John Wiley & Sons, ISBN  9781444362473
• Массарт, ДЛ; Вандегинсте, фоновая музыка; Байденс, LMC; Де Йонг, С.; Леви, Пи Джей; Смейерс-Вербеке, Дж. (1997), «12.1.5.1 Метод одной медианы», Справочник по хемометрике и квалиметрике: Часть A , Обработка данных в науке и технике, том. 20A, Elsevier, стр. 355–356, ISBN.  978-0-444-89724-4 .
• Матушек, Иржи (1991), «Рандомизированный оптимальный алгоритм выбора наклона», Information Processing Letters , 39 (4): 183–187, doi : 10.1016/0020-0190(91)90177-J , MR   1130747 .
• Матушек, Иржи ; Маунт, Дэвид М .; Нетаньяху, Натан С. (1998), «Эффективные рандомизированные алгоритмы для повторной оценки медианной линии», Algorithmica , 20 (2): 136–150, doi : 10.1007/PL00009190 , MR   1484533 , S2CID   17362967 .
• Осборн, Джейсон В. (2008), Передовой опыт в области количественных методов , Sage Publications, Inc., стр. 273, ISBN  9781412940658 .
• Перссон, Магнус Вильгельм; Мартинс, Луис Фелипе (2016), Освоение анализа данных Python , Packt Publishing, стр. 177, ISBN.  9781783553303
• Романич, Джордже; Чурич, Младен; Йовичич, Илия; Ломпар, Милош (2014), «Долгосрочные тенденции ветра Кошава в период 1949–2010 гг.», Международный журнал климатологии , 35 (2): 288–302, Бибкод : 2015IJCli..35..288R , doi : 10.1002/joc.3981 , S2CID   129402302 .
• Руссиу, Питер Дж .; Лерой, Анник М. (2003), Робастная регрессия и обнаружение выбросов , Ряд Уайли по вероятности и математической статистике, том. 516, Уайли, с. 67 , ISBN  978-0-471-48855-2 .
• Шольц, Фридрих-Вильгельм (1978), «Оценки взвешенной медианной регрессии», Анналы статистики , 6 (3): 603–609, doi : 10.1214/aos/1176344204 , JSTOR   2958563 , MR   0468054 .
• Сообщество SciPy (2015 г.), «scipy.stats.mstats.theilslopes» , Справочное руководство SciPy v0.15.1
• Сен, Пранаб Кумар (1968), «Оценки коэффициента регрессии на основе тау Кендалла», Журнал Американской статистической ассоциации , 63 (324): 1379–1389, doi : 10.2307/2285891 , JSTOR   2285891 , MR   0258201 .
• Сигел, Эндрю Ф. (1982), «Надежная регрессия с использованием повторяющихся медиан», Biometrika , 69 (1): 242–244, doi : 10.1093/biomet/69.1.242 .
• Сиверс, Джеральд Л. (1978), «Статистика взвешенных рангов для простой линейной регрессии», Журнал Американской статистической ассоциации , 73 (363): 628–631, doi : 10.1080/01621459.1978.10480067 , JSTOR   2286613 .
• Сокал, Роберт Р .; Рольф, Ф. Джеймс (1995), Биометрия: принципы и практика статистики в биологических исследованиях (3-е изд.), Macmillan, p. 539, ISBN  978-0-7167-2411-7 .
• Тейл, Х. (1950), «Ранг-инвариантный метод линейного и полиномиального регрессионного анализа. I, II, III», Nederl. Акад. Wetensch., Proc. , 53 : 386–392 , 521–525 , 1397–1412 , МР   0036489 .
• Вайдьянатан, Кальянараман; Триведи, Кишор С. (2005), «Комплексная модель обновления программного обеспечения», Транзакции IEEE на надежных и безопасных вычислениях , 2 (2): 124–137, doi : 10.1109/TDSC.2005.15 , S2CID   15105513 .
• Ваннест, Кимберли Дж.; Дэвис, Джон Л.; Паркер, Ричард И. (2013), Исследование отдельных случаев в школах: Практические рекомендации для школьных специалистов , Routledge, стр. 55, ISBN  9781136173622
• Ван, Сюэцинь; Ю, Цицин (2005), «Несмещенность оценки Тейла – Сена», Журнал непараметрической статистики , 17 (6): 685–695, doi : 10.1080/10485250500039452 , MR   2165096 , S2CID   121061001 .
• Уилкокс, Рэнд Р. (1998), «Заметки об оценщике регрессии Тейла – Сена, когда регрессор случайен, а член ошибки гетероскедастичен», Biometrical Journal , 40 (3): 261–268, doi : 10.1002/(SICI )1521-4036(199807)40:3<261::AID-BIMJ261>3.0.CO;2-V .
• Уилкокс, Рэнд Р. (2001), «Оценщик Тейла – Сена», Основы современных статистических методов: существенное повышение мощности и точности , Springer-Verlag, стр. 207–210, ISBN  978-0-387-95157-7 .
• Уилкокс, Рэнд Р. (2005), «10.2 Оценщик Тейла – Сена», Введение в робастную оценку и проверку гипотез , Academic Press, стр. 423–427, ISBN  978-0-12-751542-7 .