Обозначение треугольника Конвея

В геометрии обозначение треугольника Конвея , названное в честь Хортона Конвея , позволяет тригонометрическими функциями треугольника Джона алгебраически управлять . Учитывая опорный треугольник, стороны которого равны a , b и c , а соответствующие внутренние углы равны A , B и C, тогда обозначение треугольника Конвея просто представляется следующим образом:

S=bc\sin A=ac\sin B=ab\sin C\,

где S = 2 × площадь опорного треугольника и

S_{\varphi }=S\cot \varphi .\,

в частности

S_{A}=S\cot A=bc\cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2}}\,

S_{B}=S\cot B=ac\cos B={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\,

S_{C}=S\cot C=ab\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2}}\,

S_{\omega }=S\cot \omega ={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}\,

где

\omega \,

– угол Брокара . Закон косинусов используется:

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A

.

S_{\frac {\pi }{3}}=S\cot {\frac {\pi }{3}}=S{\frac {\sqrt {3}}{3}}\,

S_{2\varphi }={\frac {S_{\varphi }^{2}-S^{2}}{2S_{\varphi }}}\quad \quad S_{\frac {\varphi }{2}}=S_{\varphi }+{\sqrt {S_{\varphi }^{2}+S^{2}}}\,

для значений

\varphi

где

0<\varphi <\pi \,

S_{\vartheta +\varphi }={\frac {S_{\vartheta }S_{\varphi }-S^{2}}{S_{\vartheta }+S_{\varphi }}}\quad \quad S_{\vartheta -\varphi }={\frac {S_{\vartheta }S_{\varphi }+S^{2}}{S_{\varphi }-S_{\vartheta }}}\,.

Кроме того, в соглашении используется сокращенное обозначение для $S_{\vartheta }S_{\varphi }=S_{\vartheta \varphi }\,$ и $S_{\vartheta }S_{\varphi }S_{\psi }=S_{\vartheta \varphi \psi }\,.$

Следовательно:

\sin A={\frac {S}{bc}}={\frac {S}{\sqrt {S_{A}^{2}+S^{2}}}}\quad \quad \cos A={\frac {S_{A}}{bc}}={\frac {S_{A}}{\sqrt {S_{A}^{2}+S^{2}}}}\quad \quad \tan A={\frac {S}{S_{A}}}\,

a^{2}=S_{B}+S_{C}\quad \quad b^{2}=S_{A}+S_{C}\quad \quad c^{2}=S_{A}+S_{B}\,.

Некоторые важные личности:

\sum _{\text{cyclic}}S_{A}=S_{A}+S_{B}+S_{C}=S_{\omega }\,

S^{2}=b^{2}c^{2}-S_{A}^{2}=a^{2}c^{2}-S_{B}^{2}=a^{2}b^{2}-S_{C}^{2}\,

S_{BC}=S_{B}S_{C}=S^{2}-a^{2}S_{A}\quad \quad S_{AC}=S_{A}S_{C}=S^{2}-b^{2}S_{B}\quad \quad S_{AB}=S_{A}S_{B}=S^{2}-c^{2}S_{C}\,

S_{ABC}=S_{A}S_{B}S_{C}=S^{2}(S_{\omega }-4R^{2})\quad \quad S_{\omega }=s^{2}-r^{2}-4rR\,

где R — радиус описанной окружности , abc = 2 SR и где r — инцентр , $s={\frac {a+b+c}{2}}\,$ и $a+b+c={\frac {S}{r}}\,.$

Некоторые полезные тригонометрические преобразования:

\sin A\sin B\sin C={\frac {S}{4R^{2}}}\quad \quad \cos A\cos B\cos C={\frac {S_{\omega }-4R^{2}}{4R^{2}}}

\sum _{\text{cyclic}}\sin A={\frac {S}{2Rr}}={\frac {s}{R}}\quad \quad \sum _{\text{cyclic}}\cos A={\frac {r+R}{R}}\quad \quad \sum _{\text{cyclic}}\tan A={\frac {S}{S_{\omega }-4R^{2}}}=\tan A\tan B\tan C\,.

Несколько полезных формул:

\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}=a^{2}S_{A}+b^{2}S_{B}+c^{2}S_{C}=2S^{2}\quad \quad \sum _{\text{cyclic}}a^{4}=2(S_{\omega }^{2}-S^{2})\,

\sum _{\text{cyclic}}S_{A}^{2}=S_{\omega }^{2}-2S^{2}\quad \quad \sum _{\text{cyclic}}S_{BC}=\sum _{\text{cyclic}}S_{B}S_{C}=S^{2}\quad \quad \sum _{\text{cyclic}}b^{2}c^{2}=S_{\omega }^{2}+S^{2}\,.

Некоторые примеры с использованием обозначения треугольника Конвея:

Пусть D — расстояние между двумя точками P и Q, трилинейные координаты которых равны p _a : p _b : p _c и q _a : q _b : q _c . Пусть K _p = ap _a + bp _b + cp _c и пусть K _q = aq _a + bq _b + cq _c . Тогда D определяется формулой: