Вектор импульса

Вектор импульса , также известный как вектор Канга , представляет собой математический инструмент, используемый для графического проектирования и анализа формирователей входных сигналов , которые могут подавлять остаточную вибрацию . Вектор импульса может применяться как к незатухающим, так и к недостаточно затухающим системам, а также к положительным и отрицательным импульсам в единой форме. Вектор импульса позволяет легко графически получить время импульса и величину входного формирователя. Концепция вектора входного формирователя была впервые представлена ​​У. Сингхоузом. для незатухающих систем с положительными импульсами. Опираясь на эту идею, К.-Г. Канг ввел вектор импульса (или вектор Канга), чтобы обобщить идею Сингхоша на незатухающие и недостаточно затухающие системы с положительными и отрицательными импульсами.

Определение

Импульсные функции $A_{i}\delta (t-t_{i})$ и соответствующие векторы импульсов (или векторы Канга) $\mathbf {I} _{i}$. (а) Для положительной импульсной функции ( $A_{i}>0$), начальная точка вектора импульса находится в начале координат. (б) Для отрицательной импульсной функции ( $A_{i}<0$), конечная точка вектора импульса находится в начале координат.

Для колебательной системы второго порядка $\omega _{n}^{2}/(s^{2}+2\zeta \omega _{n}+\omega _{n}^{2})$ с незатухающей собственной частотой $\omega _{n}$ и коэффициент демпфирования $\zeta$, величина $I_{i}$ и угол $\theta _{i}$ вектора импульса (или вектора Канга) $\mathbf {I} _{i}$ соответствующая импульсной функции $A_{i}\delta (t-t_{i})$, $i=1,2,...,n$ определяется в двумерной полярной системе координат как

$I_{i}=A_{i}e^{\zeta \omega _{n}t_{i}}$

$\theta _{i}=\omega _{d}t_{i}$

где $A_{i}$ подразумевает величину импульсной функции, $t_{i}$ подразумевает временное местоположение импульсной функции, и $\omega _{d}$ подразумевает затухающую собственную частоту $\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}$. Для положительной импульсной функции с $A_{i}>0$, начальная точка вектора импульса находится в начале полярной системы координат, а для отрицательной импульсной функции с $A_{i}<0$, конечная точка вектора импульса находится в начале координат. □

В этом определении величина $I_{i}$ является продуктом $A_{i}$ и коэффициент масштабирования для демпфирования в течение интервала времени $t_{i}$, который представляет собой величину $A_{i}$ до затухания; угол $\theta _{i}$ является произведением времени импульса и затухающей собственной частоты. $\delta (t-t_{i})$ представляет собой дельта-функцию Дирака с временем импульса $t=t_{i}$. Обратите внимание, что импульсная функция – это чисто математическая величина, тогда как импульсный вектор включает в себя физическую величину (т. е. $\omega _{n}$ и $\zeta$ системы второго порядка), а также математическую импульсную функцию. Представление более двух векторов импульса в одной и той же полярной системе координат образует диаграмму вектора импульса . Импульсная векторная диаграмма представляет собой графическое представление импульсной последовательности.

Два импульсных вектора и соответствующие им импульсные характеристики для системы второго порядка. (а) Два вектора импульса $\mathbf {I} _{1},\mathbf {I} _{2}$ с одинаковой величиной и разницей углов в 180 градусов, один из которых указывает на начало координат, а другой - наружу, считаются одним и тем же вектором для сложения и вычитания векторов. (б) Два импульсных отклика, соответствующие двум импульсным векторам, абсолютно одинаковы после последнего времени импульса. $t_{2}$

Рассмотрим два импульсных вектора $\mathbf {I} _{1}$ и $\mathbf {I} _{2}$ на рисунке справа, где $\mathbf {I} _{1}$ представляет собой вектор импульса с величиной $I_{1}(>0)$ и угол $\theta _{1}$ соответствующий положительному импульсу с $A_{1}>0$, и $\mathbf {I} _{2}$ представляет собой вектор импульса с величиной $I_{2}=-I_{1}$ и угол $\theta _{2}=\pi +\theta _{1}$ соответствующий отрицательному импульсу с $A_{2}<0$. Поскольку две временные реакции, соответствующие $\mathbf {I} _{1}$ и $\mathbf {I} _{2}$ точно такие же после времени последнего импульса $t_{2}$ как показано на рисунке, два импульсных вектора $\mathbf {I} _{1}$ и $\mathbf {I} _{2}$ можно рассматривать как один и тот же вектор для сложения и вычитания векторов. Векторы импульсов удовлетворяют коммутативным и ассоциативным законам, а также закону распределения скалярного умножения.

Величина вектора импульса определяет величину импульса, а угол вектора импульса определяет временное местоположение импульса. Один оборот, $2\pi$ угол, на векторной диаграмме импульса соответствует одному (затухающему) периоду соответствующей импульсной характеристики.

Если это незатухающая система ( $\zeta =0$), величина и угол вектора импульса становятся $I_{i}=A_{i}$ и $\theta _{i}=\omega _{n}t_{i}$.

Характеристики

Свойство 1: Результирующая двух векторов импульса.

(а) Два представления $\mathbf {I} _{R1},\mathbf {I} _{R2}$ результирующего двух векторов импульса $\mathbf {I} _{1},\mathbf {I} _{2}$и (б) соответствующие импульсные характеристики.

Импульсная характеристика системы второго порядка, соответствующая равнодействующей двух импульсных векторов, такая же, как временная характеристика системы с двухимпульсным входом, соответствующей двум импульсным векторам, после конечного времени импульса, независимо от того, является ли система незатухающей или недостаточно демпфированный. □

Свойство 2: Нулевая результирующая векторов импульсов.

Отмена вектора импульса $\mathbf {I} _{3}$ не вызывает остаточной вибрации после последнего импульса $t_{3}$ когда импульсная последовательность $A_{1}\delta (t)+A_{2}\delta (t-t_{2})+A_{3}\delta (t-t_{3})$ применяется к незатухающей или недостаточно затухающей системе второго порядка, поскольку $\mathbf {I} _{1}+\mathbf {I} _{2}+\mathbf {I} _{3}=\mathbf {0}$.

Если результирующая векторов импульсов равна нулю, временной отклик системы второго порядка на вход последовательности импульсов, соответствующей векторам импульсов, становится нулевым также после конечного времени импульса независимо от того, является ли система незатухающим или недостаточно затухающим. □

Рассмотрим недодемпфированную систему второго порядка с передаточной функцией $4\pi ^{2}/(s^{2}+0.4\pi s+4\pi ^{2})$. Эта система имеет $\omega _{n}=2\pi$ и $\zeta =0.1$. Для заданных векторов импульсов $\mathbf {I} _{1}$ и $\mathbf {I} _{2}$ как показано на рисунке, результат можно представить двумя способами: $\mathbf {I} _{R1}$ и $\mathbf {I} _{R2}$, в котором $\mathbf {I} _{R1}$ соответствует отрицательному импульсу с $A_{R1}=I_{R1}/e^{\zeta \omega _{n}t_{R1}}$ и $t_{R1}=\theta _{R1}/\omega _{d}$, и $\mathbf {I} _{R2}$ соответствует положительному импульсу с $A_{R2}=I_{R2}/e^{\zeta \omega _{n}t_{R2}}$ и $t_{R2}=\theta _{R2}/\omega _{d}$.

Результаты $\mathbf {I} _{R1}$, $\mathbf {I} _{R2}$ можно найти следующим образом.

$R_{x}=I_{1}+I_{2}\cos \theta _{2},\ \ R_{y}=I_{2}\sin \theta _{2}$,

$I_{R1}=-{\sqrt {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}}},\ \ \theta _{R1}=\pi +\tan ^{-1}(R_{y}/R_{x})$

$I_{R2}={\sqrt {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}}},\ \ \theta _{R2}=\tan ^{-1}(R_{y}/R_{x})$

Обратите внимание, что $-\pi /2<\tan ^{-1}(a)<\pi /2$. Импульсные реакции $y_{R1}$ и $y_{R2}$ соответствующий $\mathbf {I} _{R1}$ и $\mathbf {I} _{R2}$ точно такие же, как $y_{1}+y_{2}$ после каждого импульса во времени, как показано зелеными линиями на рисунке (b).

Теперь поместим вектор импульса $\mathbf {I} _{3}$ на диаграмме вектора импульса, чтобы отменить результирующую $\mathbf {I} _{1}+\mathbf {I} _{2}$ как показано на рисунке. Вектор импульса $\mathbf {I} _{3}$ дается

$I_{3}={\sqrt {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}}},\ \ \theta _{3}=\pi +\tan ^{-1}(R_{y}/R_{x})$.

Когда импульсная последовательность, соответствующая трем импульсным векторам $\mathbf {I} _{1},\mathbf {I} _{2}$ и $\mathbf {I} _{3}$ применяется к системе второго порядка в качестве входных данных, результирующая временная характеристика не вызывает остаточной вибрации после конечного времени импульса $t_{3}$ как показано красной линией на нижнем рисунке (b). Конечно, еще один отменяющий вектор $\mathbf {I} _{3}^{'}$ может существовать, что представляет собой вектор импульса той же величины, что и $\mathbf {I} _{3}$ но с противоположным направлением стрелки. Однако этот вектор подавления имеет более длительное время импульса, которое может достигать половины периода по сравнению с $\mathbf {I} _{3}$.

Приложения: Разработка формирователей входных сигналов с использованием векторов импульсов.

Векторные диаграммы импульсов для ЗВД (а), ЗВД (б), ЗВД (в) ² и (г) ЗВД ³ формирователи.

ЗВД ^н создатель

Используя векторы импульсов, мы можем перепроектировать известные формирователи входных данных такие как нулевая вибрация (ZV), нулевая вибрация и производная (ZVD) и ZVD ^н формирователи. Формирователь ZV состоит из двух векторов импульсов, у которых первый вектор импульса расположен под углом 0°, а второй вектор импульса той же величины расположен под углом 180° для $\mathbf {I} _{1}+\mathbf {I} _{2}=\mathbf {0}$. Тогда из диаграммы вектора импульса формирователя ZV с правой стороны:

$\theta _{1}=0,\ \ \theta _{2}=\pi$

$I_{1}=I_{2}=I$.

Поэтому, $t_{1}=0,\ \ t_{2}=\pi /\omega _{d}$.

С $A_{1}+A_{2}=1$ (ограничение нормализации) должно соблюдаться, и $A_{1}=I_{1},\ \ A_{2}=I_{2}/e^{\zeta \omega _{n}t_{2}}$,

$I_{1}+{\frac {I_{2}}{e^{\zeta \omega _{n}t_{2}}}}=I+{\frac {I}{K}}=1,\quad K=e^{\zeta \pi /{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}$.

Поэтому, $I=K/(K+1)$.

Таким образом, формирователь ZV $A_{1}\delta (t)+A_{2}\delta (t-t_{2})$ дается

${\begin{bmatrix}t_{i}\\A_{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0,&\pi /\omega _{d}\\K/(K+1),&1/(K+1)\end{bmatrix}}$.

$\quad$

Формирователь ЗВД состоит из трех векторов импульсов, у которых первый вектор импульса расположен при 0 рад, второй вектор при $\pi$ рад, а третий вектор при $2\pi$ рад, а отношение величин равно $I_{1}:I_{2}:I_{3}=1:2:1$. Затем $\mathbf {I} _{1}+\mathbf {I} _{2}+\mathbf {I} _{3}=\mathbf {0}$. Из диаграммы вектора импульса

$\theta _{1}=0,\ \ \theta _{2}=\pi ,\ \ \theta _{3}=2\pi$.

Поэтому, $t_{1}=0,\ t_{2}=\pi /\omega _{d},\ t_{3}=2\pi /\omega _{d}$.

Также из диаграммы вектора импульса

$I_{1}=I_{3}=I,\ \ I_{2}=2I$.

С $A_{1}+A_{2}+A_{3}=1$ необходимо удерживать,

$I_{1}+{\frac {I_{2}}{e^{\zeta \omega _{n}t_{3}}}}+{\frac {I_{3}}{e^{\zeta \omega _{n}t_{3}}}}=I+{\frac {2I}{K}}+{\frac {I}{K^{2}}}=1,\ \ K=e^{\zeta \pi /{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}$.

Поэтому, $I=K^{2}/(K+1)^{2}$.

Таким образом, формирователь ЗВД $A_{1}\delta (t)+A_{2}\delta (t-t_{2})+A_{3}\delta (t-t_{3})$ дается

${\begin{bmatrix}t_{i}\\A_{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0,&\pi /\omega _{d},&2\pi /\omega _{d}\\K^{2}/(K+1)^{2},&2K/(K+1)^{2},&1/(K+1)^{2}\end{bmatrix}}$.

$\quad$

ЗВД ² Формирователь состоит из четырех векторов импульсов, в которых первый вектор импульса расположен при 0 рад, второй вектор при $\pi$ рад, третий вектор в $2\pi$ рад, а четвертый вектор при $3\pi$ рад, а отношение величин равно $I_{1}:I_{2}:I_{3}:I_{4}=1:3:3:1$. Затем $\mathbf {I} _{1}+\mathbf {I} _{2}+\mathbf {I} _{3}+\mathbf {I} _{4}=\mathbf {0}$. Из диаграммы вектора импульса

$\theta _{1}=0,\ \ \theta _{2}=\pi ,\ \ \theta _{3}=2\pi ,\ \ \theta _{4}=3\pi$.

Поэтому, $t_{1}=0,\ \ t_{2}=\pi /\omega _{d},\ \ t_{3}=2\pi /\omega _{d},\ \ t_{4}=3\pi /\omega _{d}$.

Кроме того, из диаграммы вектора импульса

$I_{1}=I_{4}=I,\ \ I_{2}=I_{3}=3I$.

С $A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}=1$ необходимо удерживать,

$I_{1}+{\frac {I_{2}}{e^{\zeta \omega _{n}t_{2}}}}+{\frac {I_{3}}{e^{\zeta \omega _{n}t_{3}}}}+{\frac {I_{4}}{e^{\zeta \omega _{n}t_{4}}}}=I+{\frac {3I}{K}}+{\frac {3I}{K^{2}}}+{\frac {I}{K^{3}}}=1,\ \ \ K=e^{\zeta \pi /{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}$.

Поэтому, $I=K^{3}/(K+1)^{3}$.

Таким образом, ЗВД ² создатель $A_{1}\delta (t)+A_{2}\delta (t-t_{2})+A_{3}\delta (t-t_{3})+A_{4}\delta (t-t_{4})$ дается

${\begin{bmatrix}t_{i}\\A_{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0,&\pi /\omega _{d},&2\pi /\omega _{d},&3\pi /\omega _{d}\\K^{3}/(K+1)^{3},&3K^{2}/(K+1)^{3},&3K/(K+1)^{3},&1/(K+1)^{3}\end{bmatrix}}$.

$\quad$

Аналогично, ЗВД ³ можно получить формирователь с пятью векторами импульсов, в котором первый вектор расположен при 0 рад, второй вектор при $\pi$ рад, третий вектор в $2\pi$ рад, четвертый вектор в $3\pi$ рад, а пятый вектор в $4\pi$ рад, а отношение величин равно $I_{1}:I_{2}:I_{3}:I_{4}:I_{5}=1:4:6:4:1$. И вообще, для ЗВД ^н формирователь, i -й вектор импульса расположен в точке $(i-1)\pi$ рад, а отношение величин равно $I_{1}:I_{2}:I_{3}:\cdots :I_{n+2}={\tbinom {n+1}{0}}:{\tbinom {n+1}{1}}:{\tbinom {n+1}{2}}:\cdots :{\tbinom {n+1}{n+1}}$ где ${\tbinom {m}{k}}$ подразумевает математическую комбинацию.

формирователь ETM

Векторная диаграмма импульсов (а) формирователя ETM4, (b) формирователя ETM5 и (c) формирователя ETM6.

Теперь рассмотрим формирователи с равным временем формирования и величиной (ETM), с одинаковой величиной векторов импульсов и с одинаковым углом между векторами импульсов. Формирователь ETM n удовлетворяет условиям

$\theta _{1}=0,\ \ \theta _{2}={\frac {2\pi }{n-1}},\cdots ,\theta _{n-1}={\frac {(n-2)2\pi }{n-1}}\ \$

$I_{2}=I_{3}=\cdots =I_{n-1}=I_{1}+I_{n},\ \ I_{n}=mI_{1}\ (m>0)$

$\sum _{i=1}^{n}A_{i}=1$.

Таким образом, результирующая векторов импульсов формирователя ЭТМ n всегда становится нулевой для всех $n\geq 2$. Достоинством формирователя ETM n является то, что в отличие от ZVD ^н или сверхнечувствительные (EI) формирователи, время формирования всегда составляет один (затухающий) период временного отклика, даже если n увеличивается. Формирователь ETM4 с четырьмя векторами импульсов получается из приведенных выше условий вместе с определениями векторов импульсов как

${\begin{bmatrix}t_{i}\\A_{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0,&(2\pi /3)/\omega _{d},&(4\pi /3)/\omega _{d},&2\pi /\omega _{d}\\I/(1+m),&I/K^{2/3},&I/K^{4/3},&mI/[(1+m)K^{2}]\end{bmatrix}}$.

$I={\frac {(1+m)K^{2}}{K^{2}+(1+m)(K^{4/3}+K^{2/3})+m}},\quad K=e^{\zeta \pi /{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}$.

Формирователь ЭТМ5 с пятью векторами импульсов получается аналогично

${\begin{bmatrix}t_{i}\\A_{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0,&0.5\pi /\omega _{d},&\pi /\omega _{d},&1.5\pi /\omega _{d},&2\pi /\omega _{d}\\I/(1+m),&I/K^{1/2},&I/K,&I/K^{3/2},&mI/[(1+m)K^{2}]\end{bmatrix}}$.

$I={\frac {(1+m)K^{2}}{K^{2}+(1+m)(K^{3/2}+K+K^{1/2})+m}},\quad K=e^{\zeta \pi /{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}$.

Таким же образом формирователь ETM n с $n\geq 6$ можно получить легко. В целом формирователи ETM менее чувствительны к ошибкам моделирования, чем ZVD. ^н формирователи в большом диапазоне положительных ошибок. Обратите внимание, что формирователь ZVD представляет собой формирователь ETM3 с $m=1$.

формирователь NMe

Вектор-диаграмма импульса формирователя NMe с отрицательным импульсом.

Более того, векторы импульсов можно применять для проектирования формирователей входных сигналов с отрицательными импульсами. Рассмотрим отрицательный формирователь равной величины (NMe), в котором величины трех импульсных векторов равны $I_{1}=I(>0),\ I_{2}=-I,\ I_{3}=I$, а углы $\theta _{1}=0,\ \theta _{2}=\pi /3,\ \theta _{3}=2\pi /3$. Тогда результирующая трех векторов импульса становится нулевой, и, таким образом, остаточная вибрация подавляется. Время импульса $t_{2},t_{3}$ формирователя NMe получаются как $t_{2}=(\pi /3)/\omega _{d},\ t_{3}=(2\pi /3)/\omega _{d}$, а величины импульса легко получить путем решения уравнений одновременного действия

$A_{1}=I,A_{2}=-I/e^{\zeta \omega _{n}t_{2}},\ \ A_{3}=I/e^{\zeta \omega _{n}t_{3}}$

$A_{1}+A_{2}+A_{3}=1$.

Подавление остаточных вибраций входными формирователями. (а) Блок-схема типичной системы управления, формирующей входные сигналы, и (б) переходные характеристики вибрационной системы. $4\pi ^{2}/(s^{2}+0.4\pi s+4\pi ^{2})$ с различными входными формирователями, когда нет ошибки моделирования.

Полученный формирователь NMe $A_{1}\delta (t)+A_{2}\delta (t-t_{2})+A_{3}\delta (t-t_{3})$ является

${\begin{bmatrix}t_{i}\\A_{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0,&(\pi /3)/\omega _{d},&(2\pi /3)/\omega _{d}\\I,&-I/K^{1/3},&I/K^{2/3}\end{bmatrix}}$.

$I=K/(K-K^{2/3}+K^{1/3}),\ \ \ K=e^{\zeta \pi /{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}$.

Формирователь NMe имеет более быстрое время нарастания, чем формирователь ZVD, но он более чувствителен к ошибкам моделирования, чем формирователь ZVD. Обратите внимание, что формирователь NMe аналогичен формирователю UM. если система не демпфирована ( $\zeta =0$).

На рисунке (а) справа показана типичная блок-схема системы управления с формированием входного сигнала, а на рисунке (б) показано подавление остаточных вибраций в единичных шаговых откликах формирователями ZV, ZVD, ETM4 и NMe.

Обратитесь к ссылке для кривых чувствительности вышеупомянутых входных формирователей, которые отражают устойчивость к ошибкам моделирования в $\omega _{n}$ и $\zeta$.