Обобщенный якобиан

В алгебраической геометрии обобщенный якобиан — это коммутативная алгебраическая группа, ассоциированная с кривой с дивизором, обобщающая многообразие якобиана полной кривой. Они были введены Максвеллом Розенлихтом в 1954 году и могут использоваться для изучения разветвленных накрытий кривой с абелевой группой Галуа . Обобщенные якобианы кривой — это расширения якобиана кривой с помощью коммутативной аффинной алгебраической группы , дающие нетривиальные примеры структурной теоремы Шевалле .

Определение

Предположим, C — полная неособая кривая, m — дивизор на C , S — носитель m , а P — фиксированная базовая точка на C, не принадлежащая S. эффективный Обобщенный якобиан J _m — это коммутативная алгебраическая группа с рациональным отображением f из C в J _m, такая что:

f переводит P в тождество J _m .
f регулярен S. вне
f ( D ) = 0 всякий раз, когда D является делителем рациональной функции g на C такой, что g ≡1 mod m .

Более того, J _m является универсальной группой с этими свойствами в том смысле, что любое рациональное отображение из C в группу с указанными выше свойствами однозначно факторизуется через J _m . Группа J _m не зависит от выбора базовой точки P , хотя изменение P меняет это отображение f путем перевода.

Структура обобщенного якобиана

При m обобщенный якобиан — _это просто обычный якобиан , абелево многообразие размерности g = 0 , род C. J Jm

Для m, ненулевого эффективного дивизора, обобщенный якобиан является расширением J с помощью связной коммутативной аффинной алгебраической группы L _m размерности deg( m )−1. Итак, мы имеем точную последовательность

0 → L _м → J _м → J → 0

Группа L _m является фактором

0 → G _м → Π U _{P _я}^{( в _нем )} → Л _м → 0

произведения групп R _i на мультипликативную группу G _m основного поля. Произведение пробегает точки Pi _а на носителе m группа UP _{i _,}^{( в _нем )} — группа обратимых элементов локального кольца по модулю тех, которые равны 1 mod P _i^{н _я}. Группа U _{P _i}^{( в _нем )} имеет размерность n _i , количество раз Pi _{встречается} в m . Это произведение мультипликативной группы G _m на унипотентную группу размерности n _i −1, которая в характеристике 0 изоморфна произведению n _i −1 аддитивных групп.

Комплексные обобщенные якобианы

Над комплексными числами алгебраическая структура обобщенного якобиана определяет аналитическую структуру обобщенного якобиана, что делает его комплексной группой Ли .

Аналитическая подгруппа, лежащая в основе обобщенного якобиана, может быть описана следующим образом. поскольку две неизоморфные коммутативные алгебраические группы могут быть изоморфны как аналитические группы.) Предположим, что C — кривая с эффективным дивизором m с носителем S. (Это не всегда определяет алгебраическую структуру , Существует естественное отображение группы гомологий H ₁ ( C − S ) в двойственное Ω(− m )* комплексного векторного пространства Ω(− m ) (1-формы с полюсами на m ), индуцированное интегралом от 1-форма за 1-цикл. Тогда аналитическим обобщенным якобианом является факторгруппа Ω(− m )*/ H ₁ ( C − S ).

Ссылки

Розенлихт, Максвелл (1954), «Обобщенные якобианы», Ann. математики. , 2, 59 (3): 505–530, номер документа : 10.2307/1969715 , JSTOR 1969715 , MR 0061422.
Серр, Жан-Пьер (1988) [1959], Алгебраические группы и поля классов. , Тексты для аспирантов по математике, вып. 117, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 0-387-96648-Х , МР 0103191