Рациональное отношение последствий

В логике отношение рационального следствия — это немонотонное отношение следствия, удовлетворяющее определенным свойствам, перечисленным ниже.

Отношение рациональных последствий — это логическая структура, которая совершенствует традиционные дедуктивные рассуждения для лучшего моделирования сценариев реального мира. Он включает в себя такие правила, как рефлексивность , левая логическая эквивалентность, правостороннее ослабление, осторожное монотонность, дизъюнкция в левой части, логическая и правая части, а также рациональное монотонность. Эти правила позволяют отношению более эффективно справляться с повседневными ситуациями, допуская немонотонные рассуждения, когда выводы можно делать на основе обычных, а не абсолютных выводов. Этот подход особенно полезен в тех случаях, когда добавление дополнительной информации может изменить результат, обеспечивая более детальное понимание, чем монотонные отношения последствий.

Характеристики

Рациональное отношение последствий $\vdash$ удовлетворяет:

ССЫЛКА: Рефлексивность $\theta \vdash \theta$

и так называемые правила Габбая – Макинсона : ^{[ нужна ссылка ]}

ЛЛЕ: Левая логическая эквивалентность ${\frac {\theta \vdash \psi \quad \quad \theta \equiv \phi }{\phi \vdash \psi }}$
ЕЕ: Ослабление правой руки ${\frac {\theta \vdash \phi \quad \quad \phi \models \psi }{\theta \vdash \psi }}$
директор по маркетингу: Осторожная монотонность ${\frac {\theta \vdash \phi \quad \quad \theta \vdash \psi }{\theta \wedge \psi \vdash \phi }}$
ДИС: Логическое или (т. е. дизъюнкция) в левой части ${\frac {\theta \vdash \psi \quad \quad \phi \vdash \psi }{\theta \vee \phi \vdash \psi }}$
И: Логично и справа ${\frac {\theta \vdash \phi \quad \quad \theta \vdash \psi }{\theta \vdash \phi \wedge \psi }}$
РМО: Рациональная монотонность ${\frac {\phi \not \vdash \neg \theta \quad \quad \phi \vdash \psi }{\phi \wedge \theta \vdash \psi }}$ ^{[ нужны разъяснения ]}

Использование

Отношение рационального следствия немонотонно , а отношение $\theta \vdash \phi$ предназначен для передачи значения тэта обычно подразумевает фи или фи обычно следует из тэты . В этом смысле оно более полезно для моделирования некоторых повседневных ситуаций, чем монотонное отношение следствий , поскольку последнее отношение моделирует факты более строгим логическим образом — что-то либо следует при всех обстоятельствах, либо нет.

Пример: торт

Утверждение «Если торт содержит сахар, то он имеет приятный вкус» подразумевает в монотонном отношении следствия утверждение: «Если торт содержит сахар и мыло, то он имеет приятный вкус». Очевидно, что это не соответствует нашему собственному пониманию тортов. Утверждая : «Если торт содержит сахар, то он обычно имеет приятный вкус», рациональное соотношение следствий позволяет создать более реалистичную модель реального мира, и, конечно, из этого не следует автоматически, что «Если торт содержит сахар и мыло, то он обычно имеет приятный вкус». ."

Обратите внимание: если у нас также есть информация «Если торт содержит сахар, то он обычно содержит масло», то мы можем юридически заключить (согласно CMO), что «Если торт содержит сахар и масло, то он обычно имеет приятный вкус». . Точно так же в отсутствие такого утверждения, как «Если торт содержит сахар, то обычно он не содержит мыла », мы можем с юридической точки зрения заключить из RMO, что «Если торт содержит сахар и мыло, то он обычно имеет приятный вкус».

Если этот последний вывод кажется вам смешным, то, вероятно, вы подсознательно утверждаете свои собственные предвзятые знания о тортах, оценивая достоверность утверждения. То есть из своего опыта вы знаете, что торты, содержащие мыло, скорее всего, будут неприятными на вкус, поэтому вы добавляете в систему свои собственные знания, например: «Торты, содержащие сахар, обычно не содержат мыла». , хотя это знание в нем отсутствует. Если этот вывод кажется вам глупым, вы можете заменить слово «мыло» словом «яйца» , чтобы посмотреть, изменит ли это ваши чувства.

Пример: наркотики

Рассмотрите предложения:

Молодые люди обычно счастливы
Наркоманы обычно несчастны
Наркоманы обычно молоды

Мы можем счесть целесообразным сделать вывод:

Молодые наркоманы обычно несчастны

Это не было бы правильным выводом в рамках монотонной системы дедукции (разумеется, без слова «обычно»), поскольку третье предложение противоречило бы первым двум. Напротив, вывод следует сразу же с использованием правил Габбая-Макинсона: применение правила CMO к последним двум предложениям дает результат.

Последствия

Из приведенных выше правил следуют следующие последствия:

член парламента: Настройка настроения ${\frac {\theta \vdash \phi \quad \quad \theta \vdash \left(\phi \rightarrow \psi \right)}{\theta \vdash \psi }}$; MP подтверждается правилами AND и RWE.

С: Обусловливание ${\frac {\theta \wedge \phi \vdash \psi }{\theta \vdash \left(\phi \rightarrow \psi \right)}}$

СС: Осторожный разрез ${\frac {\theta \vdash \phi \quad \quad \theta \wedge \phi \vdash \psi }{\theta \vdash \psi }}$; Понятие осторожного сокращения просто включает в себя операцию выставления условий, за которой следует MP. В этом смысле оно может показаться излишним, но оно часто используется в доказательствах, поэтому полезно иметь для него имя, которое будет служить ярлыком.

СКЛ: Сверхклассность ${\frac {\theta \models \phi }{\theta \vdash \phi }}$; SCL доказывается тривиально с помощью REF и RWE.

Рациональные отношения последствий через предпочтения атомов

Позволять $L=\{p_{1},\ldots ,p_{n}\}$ быть конечным языком . Атом – это формула вида $\bigwedge _{i=1}^{n}p_{i}^{\epsilon }$ (где $p^{1}=p$ и $p^{-1}=\neg p$ ). Обратите внимание, что существует уникальная оценка, которая делает любой данный атом истинным (и наоборот, каждая оценка удовлетворяет ровно одному атому). Таким образом, атом можно использовать для выражения предпочтений относительно того, что, по нашему мнению, должно быть правдой.

Позволять $At^{L}$ — множество всех атомов в L. Ибо $\theta \in$ СЛ , определить $S_{\theta }=\{\alpha \in At^{L}|\alpha \models ^{SC}\theta \}$ .

Позволять ${\vec {s}}=s_{1},\ldots ,s_{m}$ быть последовательностью подмножеств $At^{L}$ . Для $\theta$ , $\phi$ в SL пусть соотношение $\vdash _{\vec {s}}$ быть таким, что $\theta \vdash _{\vec {s}}\phi$ если выполняется одно из следующих условий:

$S_{\theta }\cap s_{i}=\emptyset$ для каждого $1\leq i\leq m$
$S_{\theta }\cap s_{i}\neq \emptyset$ для некоторых $1\leq i\leq m$ и по крайней мере такой я, $S_{\theta }\cap s_{i}\subseteq S_{\phi }$ .

Тогда отношение $\vdash _{\vec {s}}$ является рациональным отношением следствия. В этом легко убедиться, непосредственно проверив, что оно удовлетворяет GM-условиям.

Идея последовательности наборов атомов заключается в том, что более ранние наборы учитывают наиболее вероятные ситуации, такие как «молодые люди обычно законопослушны», тогда как более поздние наборы учитывают менее вероятные ситуации, такие как «молодые наездники обычно не законопослушны». .

Примечания

По определению отношения $\vdash _{\vec {s}}$ , отношение не изменится, если заменить $s_{2}$ с $s_{2}\setminus s_{1}$ , $s_{3}$ с $s_{3}\setminus s_{2}\setminus s_{1}$ ... и $s_{m}$ с $s_{m}\setminus \bigcup _{i=1}^{m-1}s_{i}$ . Таким образом, мы делаем каждый $s_{i}$ непересекающиеся. И наоборот, это не имеет никакого значения для отношения рациональных последствий. $\vdash _{\vec {s}}$ если мы добавим к последующим $s_{i}$ атомы любого из предыдущих $s_{i}$ .

Теорема о представлении

Можно доказать, что любое рациональное отношение следования на конечном языке представимо через последовательность предпочтений атомов, описанную выше. То есть для любого такого отношения рациональных последствий $\vdash$ есть последовательность ${\vec {s}}=s_{1},\ldots ,s_{m}$ подмножеств $At^{L}$ такое, что соответствующее отношение рациональных последствий $\vdash _{\vec {s}}$ это то же самое отношение: ${\vdash _{\vec {s}}}={\vdash }$

Примечания

По указанному выше свойству $\vdash _{\vec {s}}$ , представление отношения рациональных последствий $\vdash$ не обязательно должен быть уникальным, если $s_{i}$ не являются непересекающимися, то их можно сделать таковыми без изменения отношения рационального следования, и наоборот, если они не пересекаются, то каждое последующее множество может содержать любой из атомов предыдущих множеств без изменения отношения рационального следования.

Ссылки

Хилл, Ли CE (2002). «Новая связь между максимальной энтропией и рациональным закрытием условной базы знаний» . Университет Манчестера . ^{[ мертвая ссылка ]}
Д. Макинсон (март 1994 г.). «Общие закономерности немонотонных рассуждений». В Д. М. Габбе, С. Дж. Хоггере и Дж. А. Робинсоне (ред.). Методики дедукции . Справочник по логике в искусственном интеллекте и логическом программировании. Том. 2. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр. 35–110. ISBN 978-0-19-853746-5 .