Предел Кантровица

В газовой динамике Кантровица предел относится к теоретической концепции, описывающей дросселируемый поток на сверхзвуковых или близких к сверхзвуковых скоростях. Когда изначально дозвуковой поток жидкости испытывает уменьшение площади поперечного сечения, скорость потока увеличивается, чтобы поддерживать тот же массовый расход согласно уравнению неразрывности . Если околосверхзвуковой поток испытывает сжатие площади, скорость потока будет увеличиваться, пока не достигнет местной скорости звука, и поток будет заглушен . Это принцип, лежащий в основе предела Кантровитца: это максимальная степень сжатия, которую может испытать поток до того, как поток заглушится, и скорость потока больше не может увеличиваться выше этого предела, независимо от изменений давления на входе или выходе.

Вывод предела Кантровица.

Предположим, что жидкость входит в сжимающееся изнутри сопло в поперечном сечении 0 и проходит через горловину меньшей площади в поперечном сечении 4. Предполагается, что нормальный скачок уплотнения начинается в начале сжатия сопла, и эта точка в сопле равна называется сечением 2. Из-за сохранения массы внутри сопла массовый расход в каждом поперечном сечении должен быть равен:

${\dot {m}}_{0}={\dot {m}}_{2}={\dot {m}}_{4}$

Для идеального сжимаемого газа массовый расход в каждом поперечном сечении можно записать как:

${\dot {m}}_{0}={\sqrt {\frac {\gamma }{R}}}M_{0}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{0}^{2}\right)^{-{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}}{\frac {p_{t0}A_{0}}{\sqrt {T_{t0}}}}$

${\dot {m}}_{4}={\sqrt {\frac {\gamma }{R}}}M_{4}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{4}^{2}\right)^{-{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}}{\frac {p_{t4}A_{4}}{\sqrt {T_{t4}}}}$

где ${\textstyle A}$ – площадь поперечного сечения в указанной точке, ${\textstyle \gamma }$ - коэффициент изэнтропического расширения газа, ${\textstyle M}$ – число Маха потока в заданном сечении, ${\textstyle R}$ – постоянная идеального газа , ${\textstyle p_{t}}$ – стагнационное давление , и ${\textstyle T_{t}}$ это температура застоя .

Установив одинаковые массовые расходы на входе и в горловине и признав, что общая температура, соотношение удельных теплоемкостей и газовая постоянная постоянны, сохранение массы упрощается до:

$M_{0}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{0}^{2}\right)^{-{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}}p_{t0}A_{0}=M_{4}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{4}^{2}\right)^{-{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}}p_{t4}A_{4}$

Решение для A ₄ /A ₀ ,

${\frac {A_{4}}{A_{0}}}={\frac {M_{0}}{M_{4}}}{\frac {p_{t0}}{p_{t4}}}\left({\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{0}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{4}^{2}}}\right)^{-{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}}$

Будут сделаны три предположения: течение за нормальным скачком во входном отверстии изоэнтропическое, или p _t4 = p _t2 , течение в горловине (точка 4) звуковое, такое, что M ₄ = 1, и давления между различными точки связаны нормальными ударными соотношениями, что приводит к следующему соотношению между давлением на входе и в горле:

${\frac {p_{t0}}{p_{t4}}}=\left[{\frac {(\gamma +1)M_{0}^{2}}{(\gamma -1)M_{0}^{2}+2}}\right]^{\frac {-\gamma }{\gamma -1}}\left[{\frac {\gamma +1}{2\gamma M_{0}^{2}-(\gamma -1)}}\right]^{\frac {-1}{\gamma -1}}$

А поскольку M ₄ = 1, ударные отношения в горловине упрощаются до:

$M_{4}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{4}^{2}\right)^{-{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}}=\left({\frac {\gamma +1}{2}}\right)^{-{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}}$

Замена на ${\textstyle M_{4}}$ и ${\textstyle {\frac {p_{t0}}{p_{t4}}}}$ в выражении соотношения площадей дает:

${\frac {A_{4}}{A_{0}}}=M_{0}\left({\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{0}^{2}}{\frac {\gamma +1}{2}}}\right)^{-{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}}\left[{\frac {(\gamma +1)M_{0}^{2}}{(\gamma -1)M_{0}^{2}+2}}\right]^{\frac {-\gamma }{\gamma -1}}\left[{\frac {\gamma +1}{2\gamma M_{0}^{2}-(\gamma -1)}}\right]^{\frac {-1}{\gamma -1}}$

Это также можно записать как,

${\frac {A_{4}}{A_{0}}}=M_{0}\left({\frac {\gamma +1}{2+(\gamma -1)M_{0}^{2}}}\right)^{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}\left[{\frac {(\gamma +1)M_{0}^{2}}{(\gamma -1)M_{0}^{2}+2}}\right]^{\frac {-\gamma }{\gamma -1}}\left[{\frac {\gamma +1}{2\gamma M_{0}^{2}-(\gamma -1)}}\right]^{\frac {-1}{\gamma -1}}$

Приложения

Предел Кантровитца имеет множество применений в газодинамике входящего потока, включая реактивные двигатели и ракеты, работающие на высоких дозвуковых и сверхзвуковых скоростях, а также высокоскоростные транспортные системы, такие как Hyperloop.

Воздухозаборники гиперзвукового двигателя

Предел Кантровитца демонстрирует степень сжатия или изменения площади двумерного поперечного сечения, которую гиперзвуковой воздухозаборник может использовать при успешном запуске воздухозаборника двигателя (или во избежание вытеснения гиперзвуковой входной ударной волны).

Гиперлуп

Предел Кантровица — фундаментальная концепция Hyperloop , предлагаемой высокоскоростной транспортной системы. Hyperloop перемещает пассажиров в герметичных капсулах через трубку частичного вакуума на высоких дозвуковых скоростях. Поскольку воздух в трубке перемещается в меньшую площадь поперечного сечения между капсулой и трубкой и вокруг нее, поток воздуха должен ускоряться из-за принципа непрерывности . Если капсула движется по трубке достаточно быстро, поток воздуха вокруг капсулы достигнет скорости звука, и поток затруднится , что приведет к большому сопротивлению воздуха на капсуле. Условие, определяющее, дросселируется ли поток вокруг капсулы, является пределом Кантровица. Таким образом, предел Кантровитца действует как «ограничение скорости» - для данного соотношения площади трубы и площади капсулы существует максимальная скорость, с которой капсула может двигаться, прежде чем обтекание дросселей капсулы и сопротивление воздуха резко возрастет.

Чтобы преодолеть ограничение скорости, установленное пределом Кантровица, есть два возможных подхода. Первый вариант позволит увеличить диаметр трубки, чтобы обеспечить большую площадь обхода воздуха вокруг капсулы и предотвратить захлебывание потока. Однако на практике это решение не очень практично, поскольку трубку придется изготовить очень большой, а затраты на логистику такой большой трубки непрактичны.

В качестве альтернативы в ходе основного исследования проекта Swissmetro (1993–1998 гг.) было обнаружено, что на борту транспортного средства может быть установлена ​​турбина, которая будет проталкивать вытесненный воздух через кузов транспортного средства (TurboSwissMetro). и, следовательно, для уменьшения воздействия в дальней зоне. Это позволило бы избежать постоянного увеличения лобового сопротивления транспортного средства из-за дросселирования потока за счет мощности, необходимой для привода турбины, и, следовательно, обеспечить более высокие скорости. В этом контексте была разработана компьютерная программа NUMSTA; он позволяет моделировать динамическое взаимодействие нескольких высокоскоростных транспортных средств в сложной сети туннелей, включая эффект удушения.

Эту идею также предложил Илон Маск в своей статье Hyperloop Alpha 2013 года, где компрессор размещается в передней части капсулы. Компрессор активно всасывает воздух из передней части капсулы и передаёт его в заднюю часть, минуя зазор между капсулой и трубкой, одновременно направляя часть потока на питание с пневматическими подшипниками системы подвески с низким коэффициентом трения . Включение компрессора в капсулу Hyperloop обходит ограничение Кантровица, позволяя капсуле двигаться со скоростью более 700 миль в час (около 1126 км/ч) в относительно узкой трубе.

Для капсулы, движущейся по трубке, предел Кантровица определяется как отношение площади трубки к площади байпаса как снаружи капсулы, так и через любой воздушный компрессор:

${\frac {A_{bypass}}{A_{tube}}}=\left[{\frac {\gamma -1}{\gamma +1}}\right]^{\frac {1}{2}}\left[{\frac {2\gamma }{\gamma +1}}\right]^{\frac {1}{\gamma -1}}\left[1+{\frac {2}{\gamma -1}}{\frac {1}{M^{2}}}\right]^{\frac {1}{2}}\left[1-{\frac {\gamma -1}{2\gamma }}{\frac {1}{M^{2}}}\right]^{\frac {1}{\gamma -1}}$

где:
$A_{bypass}$	= площадь поперечного сечения области байпаса между трубой и контейнером, а также перепуск воздуха, обеспечиваемый компрессором на борту контейнера
$A_{tube}$	= площадь поперечного сечения трубы
$M$	= число Маха потока
$\gamma$	= ${\frac {c_{p}}{c_{v}}}$ = коэффициент изоэнтропического расширения
	( $c_{p}$ и $c_{v}$ - удельная теплоемкость газа при постоянном давлении и постоянном объеме соответственно),