Функция Бэра

Функции Бэра $B_{p}^{q}(z)$ и $C_{p}^{q}(z)$, названный в честь Карла Бэра, являются решениями дифференциального уравнения Бэра

${\frac {d^{2}B}{dz^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{z-b}}+{\frac {1}{z-c}}\right]{\frac {dB}{dz}}-\left[{\frac {p(p+1)z+q(b+c)}{(z-b)(z-c)}}\right]B=0$

которое возникает при разделения переменных применении к уравнению Лапласа в параболоидных координатах . Функции Бэра определяются как решения ряда относительно $z=0$ которые удовлетворяют $B_{p}^{q}(0)=0$, $C_{p}^{q}(0)=1$. Подставив степенной ряд Анзац в дифференциальное уравнение, можно построить формальные ряды для функций Бэра. Для особых значений $p$ и $q$, могут существовать более простые решения. Например,

$B_{0}^{0}(z)=\ln \left[{\frac {z+{\sqrt {(z-b)(z-c)}}-(b+c)/2}{{\sqrt {bc}}-(b+c)/2}}\right]$

Более того, функции Матье являются частными решениями уравнения Бэра, поскольку последнее сводится к дифференциальному уравнению Матье при $b=0$ и $c=1$и произведя замену переменной $z=\cos ^{2}t$.

Как и дифференциальное уравнение Матье, уравнение Бэра имеет две регулярные особые точки (при $z=b$ и $z=c$) и одна неправильная особая точка на бесконечности. Таким образом, в отличие от многих других специальных функций математической физики, функции Бэра вообще не могут быть выражены через гипергеометрические функции .

Волновое уравнение Бэра представляет собой обобщение, возникающее в результате разделения переменных в уравнении Гельмгольца в параболоидных координатах:

${\frac {d^{2}B}{dz^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{z-b}}+{\frac {1}{z-c}}\right]{\frac {dB}{dz}}+\left[{\frac {k^{2}z^{2}-p(p+1)z-q(b+c)}{(z-b)(z-c)}}\right]B=0$

которое сводится к исходному уравнению Бэра, когда $k=0$.

Библиография

• Лью Ян Вун LC, Виллацен М (2011). Разделимые краевые задачи физики . Вайли-ВЧ. дои : 10.1002/9783527634927 . ISBN  978-3-527-41020-0 . (бесплатный онлайн-доступ к приложению по функциям Бэра)
• Парри Мун; Домина Э. Спенсер (6 декабря 2012 г.). Справочник по теории поля: включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения . Спрингер. ISBN  978-3-642-53060-9 .
• Дагген, Л; Уиллатцен, М; Вун, Л. К. Лью Ян (2012), «Краевая задача Лапласа в параболоидных координатах», Европейский журнал физики , 33 (3): 689–696, Бибкод : 2012EJPh...33..689D , doi : 10.1088/0143 -0807/33/3/689 , S2CID   120466280

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Дифференциальное уравнение Бэра» . Математический мир .