функция Матье

Не путать с функцией Масье .

В математике функции Матье , иногда называемые угловыми функциями Матье Матье. , являются решениями дифференциального уравнения

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(a-2q\cos(2x))y=0,$

где a, q — вещественные параметры. Поскольку мы можем добавить π/2 к x , чтобы изменить знак q , обычно принято устанавливать q ≥ 0 .

Впервые они были представлены Эмилем Леонаром Матье , который столкнулся с ними во время изучения вибрирующих эллиптических пластиков барабанов . Они находят применение во многих областях физических наук, таких как оптика , квантовая механика и общая теория относительности . Они, как правило, возникают в задачах, связанных с периодическим движением, или при анализе в частных производных (УЧП), краевых задач уравнений обладающих эллиптической симметрией.

Определение

Функции Матье

В некоторых случаях функция Матье относится к решениям дифференциального уравнения Матье для произвольных значений $a$ и $q$. Когда не может возникнуть путаницы, другие авторы используют этот термин для обозначения конкретно $\pi$- или $2\pi$-периодические решения, которые существуют только для особых значений $a$ и $q$. Точнее, для данного (реального) $q$ такие периодические решения существуют для бесконечного числа значений $a$, называемые характеристическими числами , обычно индексируются как две отдельные последовательности $a_{n}(q)$ и $b_{n}(q)$, для $n=1,2,3,\ldots$. Соответствующие функции обозначаются ${\text{ce}}_{n}(x,q)$ и ${\text{se}}_{n}(x,q)$, соответственно. Их иногда еще называют косинус-эллиптическими и синус-эллиптическими , или функциями Матье первого рода .

В результате предположения, что $q$ действительно, то и характеристические числа, и связанные с ними функции имеют действительные значения.

${\text{ce}}_{n}(x,q)$ и ${\text{se}}_{n}(x,q)$ могут быть далее классифицированы по четности и периодичности (как по отношению к $x$), следующее:

Функция	Паритет	Период
${\text{ce}}_{n},\ n{\text{ even}}$	даже	$\pi$
${\text{ce}}_{n},\ n{\text{ odd}}$	даже	$2\pi$
${\text{se}}_{n},\ n{\text{ even}}$	странный	$\pi$
${\text{se}}_{n},\ n{\text{ odd}}$	странный	$2\pi$

Индексация с целым числом $n$, помимо того, что служит для расположения характеристических чисел в порядке возрастания, удобен тем, что ${\text{ce}}_{n}(x,q)$ и ${\text{se}}_{n}(x,q)$ стать пропорциональным $\cos nx$ и $\sin nx$ как $q\rightarrow 0$. С $n$ будучи целым числом, это дает начало классификации ${\text{ce}}_{n}$ и ${\text{se}}_{n}$ как функции Матье (первого рода) целого порядка. Для общего $a$ и $q$могут быть определены и другие решения, включая функции Матье дробного порядка, а также непериодические решения.

Модифицированные функции Матье

Тесно связаны модифицированные функции Матье , также известные как радиальные функции Матье, которые являются решениями модифицированного дифференциального уравнения Матье.

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-(a-2q\cosh 2x)y=0,$

которое можно связать с исходным уравнением Матье, взяв $x\to \pm {\rm {i}}x$. Соответственно, модифицированные функции Матье первого рода целого порядка, обозначаемые ${\text{Ce}}_{n}(x,q)$ и ${\text{Se}}_{n}(x,q)$, определяются из

${\begin{aligned}{\text{Ce}}_{n}(x,q)&={\text{ce}}_{n}({\rm {i}}x,q).\\{\text{Se}}_{n}(x,q)&=-{\rm {i}}\,{\text{se}}_{n}({\rm {i}}x,q).\end{aligned}}$

Эти функции имеют действительные значения, когда $x$ реально.

Нормализация

Обычная нормализация, который будет принят на протяжении всей этой статьи, состоит в том, чтобы потребовать

$\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}(x,q)^{2}dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{se}}_{n}(x,q)^{2}dx=\pi$

а также требуют ${\text{ce}}_{n}(x,q)\rightarrow +\cos nx$ и ${\text{se}}_{n}(x,q)\rightarrow +\sin nx$ как $q\rightarrow 0$.

Стабильность

Уравнение Матье имеет два параметра. Согласно теории Флоке (см. следующий раздел) почти для любого выбора параметра любое решение либо сходится к нулю, либо расходится к бесконечности.

Параметризовать уравнение Матье как ${\ddot {x}}+k(1-m\cos(t))x=0$, где $k\in \mathbb {R} ,m\geq 0$. Области устойчивости и неустойчивости разделены кривыми

$$m(k)={\begin{cases}2{\sqrt {\frac {k(k-1)(k-4)}{3k-8}}},&k<0;\\[4pt]{\frac {1}{4}}\left[{\sqrt {(9-4k)(13-20k)}}-(9-4k)\right],&k<{\frac {1}{4}};\\[10pt]{\frac {1}{4}}\left[9-4k\mp {\sqrt {(9-4k)(13-20k)}}\right],&{\frac {1}{4}}<k<{\frac {13}{20}};\\[6pt]{\sqrt {\frac {2(k-1)(k-4)(k-9)}{k-5}}},&{\frac {13}{20}}<k<1;\\[2pt]2{\sqrt {\frac {k(k-1)(k-4)}{3k-8}}},&k>1.\end{cases}}$$

Теория Флоке

Основная статья: Теория Флоке

Многие свойства дифференциального уравнения Матье можно вывести из общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, называемой теорией Флоке . Центральным результатом является теорема Флоке :

Теория Флоке — Уравнение Матье всегда имеет хотя бы одно решение. $y(x)$ такой, что $y(x+\pi )=\sigma y(x)$, где $\sigma$ — константа, которая зависит от параметров уравнения и может быть вещественной или комплексной.

Характеристическим числам естественно сопоставить $a(q)$ с такими значениями $a$ что приводит к $\sigma =\pm 1$. Однако обратите внимание, что теорема гарантирует существование хотя бы одного решения, удовлетворяющего $y(x+\pi )=\sigma y(x)$, когда уравнение Матье фактически имеет два независимых решения для любого заданного $a$, $q$. Действительно, оказывается, что с $a$ равное одному из характеристических чисел, уравнение Матье имеет только одно периодическое решение (т. е. с периодом $\pi$ или $2\pi$), и это решение является одним из ${\text{ce}}_{n}(x,q)$, ${\text{se}}_{n}(x,q)$. Другое решение непериодическое и обозначается ${\text{fe}}_{n}(x,q)$ и ${\text{ge}}_{n}(x,q)$соответственно и называется функцией Матье второго рода . Этот результат можно формально сформулировать как теорему Инса :

Теорема Инса — Определить в основном периодическую функцию как такую, которая удовлетворяет $y(x+\pi )=\pm y(x)$. Тогда, за исключением тривиального случая $q=0$, уравнение Матье никогда не имеет двух (независимых) принципиально периодических решений для одних и тех же значений $a$ и $q$.

Пример $P(a,q,x)$ из теоремы Флоке, где $a=1$, $q=1/5$, $\mu \approx 1+0.0995i$ (действительная часть — красный; мнимая часть — зеленый)

Эквивалентное утверждение теоремы Флоке состоит в том, что уравнение Матье допускает комплексное решение вида

$F(a,q,x)=\exp(i\mu \,x)\,P(a,q,x),$

где $\mu$ - комплексное число, показатель Флоке (или иногда показатель Матье ), и $P$ – комплексная функция, периодическая по $x$ с периодом $\pi$. Пример $P(a,q,x)$ нарисован справа.

Другие типы функций Матье

Второй вид

Поскольку уравнение Матье является дифференциальным уравнением второго порядка, можно построить два линейно независимых решения. Теория Флоке гласит, что если $a$ равно характеристическому числу, одно из этих решений можно считать периодическим, а другое – непериодическим. Периодическое решение является одним из ${\text{ce}}_{n}(x,q)$ и ${\text{se}}_{n}(x,q)$, называемая функцией Матье первого рода целого порядка. Непериодический обозначается либо ${\text{fe}}_{n}(x,q)$ и ${\text{ge}}_{n}(x,q)$соответственно и называется функцией Матье второго рода (целого порядка). Непериодические решения неустойчивы, т. е. расходятся как $z\rightarrow \pm \infty$.

Вторые решения, соответствующие модифицированным функциям Матье ${\text{Ce}}_{n}(x,q)$ и ${\text{Se}}_{n}(x,q)$ естественным образом определяются как ${\text{Fe}}_{n}(x,q)=-i{\text{fe}}_{n}(xi,q)$ и ${\text{Ge}}_{n}(x,q)={\text{ge}}_{n}(xi,q)$.

Дробный порядок

Функции Матье дробного порядка можно определить как решения ${\text{ce}}_{p}(x,q)$ и ${\text{se}}_{p}(x,q)$, $p$ нецелое число, которое превращается в $\cos px$ и $\sin px$ как $q\rightarrow 0$. Если $p$ иррационально, они непериодичны; однако они остаются ограниченными, поскольку $x\rightarrow \infty$.

Важное свойство решений ${\text{ce}}_{p}(x,q)$ и ${\text{se}}_{p}(x,q)$, для $p$ нецелое число, заключается в том, что они существуют для одного и того же значения $a$. Напротив, когда $p$ целое число, ${\text{ce}}_{p}(x,q)$ и ${\text{se}}_{p}(x,q)$ никогда не происходит при одном и том же значении $a$. (См. теорему Инса выше.)

Эти классификации сведены в таблицу ниже. Аналогично определяются модифицированные аналоги функции Матье.

Классификация функций Матье

Заказ	Первый вид	Второй вид
Интеграл	${\text{ce}}_{n}(x,q)$	${\text{fe}}_{n}(x,q)$
Интеграл	${\text{se}}_{n}(x,q)$	${\text{ge}}_{n}(x,q)$
Дробный ( $p$ нецелый)	${\text{ce}}_{p}(x,q)$	${\text{se}}_{p}(x,q)$

Явное представление и вычисления

Первый вид

Функции Матье первого рода можно представить в виде рядов Фурье :

${\begin{aligned}{\text{ce}}_{2n}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r}^{(2n)}(q)\cos(2rx)\\{\text{ce}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\cos \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\sin \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+2}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+2}^{(2n+2)}(q)\sin \left[(2r+2)x\right]\\\end{aligned}}$

Коэффициенты расширения $A_{j}^{(i)}(q)$ и $B_{j}^{(i)}(q)$ являются функциями $q$ но независимо от $x$. Путем подстановки в уравнение Матье можно показать, что они подчиняются трехчленным рекуррентным соотношениям по нижнему индексу. Например, для каждого ${\text{ce}}_{2n}$ можно найти

${\begin{aligned}aA_{0}-qA_{2}&=0\\(a-4)A_{2}-q(A_{4}+2A_{0})&=0\\(a-4r^{2})A_{2r}-q(A_{2r+2}+A_{2r-2})&=0,\quad r\geq 2\end{aligned}}$

Будучи повторением второго порядка в индексе $2r$, всегда можно найти два независимых решения $X_{2r}$ и $Y_{2r}$ так что общее решение можно выразить как линейную комбинацию двух: $A_{2r}=c_{1}X_{2r}+c_{2}Y_{2r}$. Более того, в данном конкретном случае асимптотический анализ показывает, что один из возможных вариантов фундаментальных решений обладает свойством

${\begin{aligned}X_{2r}&=r^{-2r-1}\left(-{\frac {e^{2}q}{4}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\\Y_{2r}&=r^{2r-1}\left(-{\frac {4}{e^{2}q}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\end{aligned}}$

В частности, $X_{2r}$ конечно, тогда как $Y_{2r}$ расходится. Письмо $A_{2r}=c_{1}X_{2r}+c_{2}Y_{2r}$, поэтому мы видим, что для представления ряда Фурье ${\text{ce}}_{2n}$ сходиться, $a$ необходимо выбрать так, чтобы $c_{2}=0.$ Эти варианты $a$ соответствуют характеристическим числам.

Однако в целом решение трехчленной рекуррентной задачи с переменными коэффициентами не может быть представлено простым способом, и, следовательно, не существует простого способа определить $a$ из условия $c_{2}=0$. Более того, даже если известно приблизительное значение характеристического числа, его нельзя использовать для получения коэффициентов $A_{2r}$ путем численного повторения рекуррентности в сторону увеличения $r$. Причина в том, что до тех пор, пока $a$ лишь приближает характеристическое число, $c_{2}$ не тождественно $0$ и расходящееся решение $Y_{2r}$ в конечном итоге доминирует для достаточно больших $r$.

Чтобы преодолеть эти проблемы, необходимы более сложные полуаналитические/числовые подходы, например, использование дробей . непрерывного разложения представление рекуррентности как проблемы собственных значений матрицы , или реализация алгоритма обратной рекурсии. Сложность трехчленного рекуррентного соотношения является одной из причин, по которой существует мало простых формул и тождеств, включающих функции Матье.

На практике функции Матье и соответствующие характеристические числа можно вычислить с помощью заранее подготовленного программного обеспечения, такого как Mathematica , Maple , MATLAB и SciPy . Для небольших значений $q$ и низкий порядок $n$, их также можно выразить пертурбативно как степенной ряд $q$, что может быть полезно в физических приложениях.

Второй вид

Существует несколько способов представления функций Матье второго рода. Одно из представлений представлено в терминах функций Бесселя :

${\begin{aligned}{\text{fe}}_{2n}(x,q)&=-{\frac {\pi \gamma _{n}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r}^{(2n)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})],\quad {\text{where }}\gamma _{n}=\left\{{\begin{array}{cc}{\sqrt {2}},&{\text{ if }}n=0\\2n,&{\text{ if }}n\geq 1\end{array}}\right.\\{\text{fe}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})+J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+1}(x,q)&=-{\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+2}(x,q)&=-{\frac {\pi q}{4(n+1)}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+2}^{(2n+2)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+2}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+2}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\end{aligned}}$

где $n,q>0$, и $J_{r}(x)$ и $Y_{r}(x)$ – функции Бесселя первого и второго рода.

Модифицированные функции

Традиционный подход к числовой оценке модифицированных функций Матье заключается в использовании ряда произведений функций Бесселя. Для больших $n$ и $q$, форму ряда необходимо выбирать тщательно, чтобы избежать ошибок вычитания.

Характеристики

Существует относительно немного аналитических выражений и тождеств, включающих функции Матье. Более того, в отличие от многих других специальных функций, решения уравнения Матье, вообще говоря, не могут быть выражены через гипергеометрические функции . В этом можно убедиться, преобразовав уравнение Матье к алгебраической форме, используя замену переменной $t=\cos(x)$:

$(1-t^{2}){\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-t\,{\frac {dy}{dt}}+(a+2q(1-2t^{2}))\,y=0.$

Поскольку это уравнение имеет неправильную особую точку на бесконечности, его нельзя преобразовать в уравнение гипергеометрического типа.

Качественное поведение

Примеры графиков функций Матье первого рода

Сюжет ${\text{ce}}_{1}(x,q)$ для изменения $q$

Для маленьких $q$, ${\text{ce}}_{n}$ и ${\text{se}}_{n}$ вести себя так же, как $\cos nx$ и $\sin nx$. Для произвольного $q$, они могут значительно отличаться от своих тригонометрических аналогов; однако в целом они остаются периодическими. Более того, для любого реального $q$, ${\text{ce}}_{m}(x,q)$ и ${\text{se}}_{m+1}(x,q)$ есть точно $m$ простые нули в $0<x<\pi$, и как $q\rightarrow \infty$ нули сгруппированы около $x=\pi /2$.

Для $q>0$ и как $x\rightarrow \infty$ модифицированные функции Матье имеют тенденцию вести себя как затухающие периодические функции.

В дальнейшем $A$ и $B$ факторы из разложений Фурье для ${\text{ce}}_{n}$ и ${\text{se}}_{n}$ на них можно ссылаться (см. «Явное представление и вычисление »). Они зависят от $q$ и $n$ но независимы от $x$.

Размышления и переводы

В силу их четности и периодичности, ${\text{ce}}_{n}$ и ${\text{se}}_{n}$ имеют простые свойства при отражениях и переносах, кратных $\pi$:

${\begin{aligned}&{\text{ce}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(x)\\&{\text{se}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{se}}_{n}(x)\\&{\text{ce}}_{n}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(-x+\pi /2)\\&{\text{se}}_{n+1}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{se}}_{n+1}(-x+\pi /2)\end{aligned}}$

Можно также писать функции с отрицательными значениями. $q$ с точки зрения тех, кто имеет положительный $q$:

${\begin{aligned}&{\text{ce}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{ce}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\end{aligned}}$

Более того,

${\begin{aligned}&a_{2n+1}(q)=b_{2n+1}(-q)\\&b_{2n+2}(q)=b_{2n+2}(-q)\end{aligned}}$

Ортогональность и полнота

Как и их тригонометрические аналоги $\cos nx$ и $\sin nx$, периодические функции Матье ${\text{ce}}_{n}(x,q)$ и ${\text{se}}_{n}(x,q)$ удовлетворять отношениям ортогональности

${\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{ce}}_{m}\,dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{se}}_{n}{\text{se}}_{m}\,dx=\delta _{nm}\pi \\&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{se}}_{m}\,dx=0\end{aligned}}$

Более того, с $q$ фиксированный и $a$ рассматриваемое как собственное значение, уравнение Матье имеет форму Штурма – Лиувилля . Это означает, что собственные функции ${\text{ce}}_{n}(x,q)$ и ${\text{se}}_{n}(x,q)$ образуют полный комплект, т.е. любой $\pi$- или $2\pi$-периодическая функция $x$ можно разложить в ряд ${\text{ce}}_{n}(x,q)$ и ${\text{se}}_{n}(x,q)$.

Интегральные идентичности

Решения уравнения Матье удовлетворяют классу интегральных тождеств относительно ядер $\chi (x,x')$ это решения

${\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}}}=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi$

Точнее, если $\phi (x)$ решает уравнение Матье с заданным $a$ и $q$, то интеграл

$\psi (x)\equiv \int _{C}\chi (x,x')\phi (x')dx'$

где $C$ путь в комплексной плоскости , также решает уравнение Матье с тем же $a$ и $q$, при условии соблюдения следующих условий:

• $\chi (x,x')$ решает ${\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}}}=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi$
• В рассматриваемых регионах $\psi (x)$ существует и $\chi (x,x')$ аналитический ​
• $\left(\phi {\frac {\partial \chi }{\partial x'}}-{\frac {\partial \phi }{\partial x'}}\chi \right)$ имеет одинаковое значение в конечных точках $C$

Используя соответствующую замену переменных, уравнение для $\chi$ можно преобразовать в волновое уравнение и решить. Например, одно из решений $\chi (x,x')=\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x')$. Примеры тождеств, полученных таким способом:

${\begin{aligned}{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q)}{\pi q^{1/2}B_{1}^{(2n+1)}}}\int _{0}^{\pi }\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x'){\text{se}}_{2n+1}(x',q)dx'\qquad (q>0)\\{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&={\frac {{\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{\pi A_{0}^{(2n)}}}\int _{0}^{\pi }\cos(2q^{1/2}\cosh x\cos x'){\text{ce}}_{2n}(x',q)dx'\qquad \ \ \ (q>0)\end{aligned}}$

Тождества последнего типа полезны для изучения асимптотических свойств модифицированных функций Матье.

Существуют также интегральные соотношения между функциями первого и второго рода, например:

${\text{fe}}_{2n}(x,q)=2n\int _{0}^{x}{\text{ce}}_{2n}(\tau ,-q)\ J_{0}\left({\sqrt {2q(\cos 2x-\cos 2\tau )}}\right)d\tau ,\qquad n\geq 1$

справедливо для любого комплекса $x$ и настоящий $q$.

Асимптотические разложения

Для $q>0$, ${\text{Im}}(x)=0$, ${\text{Re}}(x)\rightarrow \infty$, и $2q^{1/2}\cosh x\simeq q^{1/2}e^{x}$:

${\begin{aligned}{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{1/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n}(0,q){\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{A_{0}^{(2n)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Ce}}_{2n+1}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n+1}(0,q){\text{ce}}'_{2n+1}(\pi /2,q)}{A_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+1}(x,q)&\sim -\left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q){\text{se}}_{2n+1}(\pi /2,q)}{B_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+2}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{5/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+2}(0,q){\text{se}}'_{2n+2}(\pi /2,q)}{B_{2}^{(2n+2)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\end{aligned}}$

Таким образом, модифицированные функции Матье экспоненциально затухают при большом действительном аргументе. Подобные асимптотические разложения можно записать для ${\text{Fe}}_{n}$ и ${\text{Ge}}_{n}$; они также экспоненциально затухают при большом реальном аргументе.

Для четных и нечетных периодических функций Матье $ce,se$ и соответствующие характеристические числа $a$ можно также вывести асимптотические разложения для больших $q$. В частности, для характеристических чисел имеем $N$ приблизительно нечетное целое число, т.е. $N\approx N_{0}=2n+1,n=1,2,3,...,$

${\begin{aligned}a(N)={}&-2q+2q^{1/2}N-{\frac {1}{2^{3}}}(N^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N(N^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N^{4}+34N^{2}+9)\\&-{\frac {1}{2^{17}q^{3/2}}}N(33N^{4}+410N^{2}+405)-{\frac {1}{2^{20}q^{2}}}(63N^{6}+1260N^{4}+2943N^{2}+41807)+{\mathcal {O}}(q^{-5/2})\end{aligned}}$

Соблюдайте здесь симметрию при замене $q^{1/2}$ и $N$ к $-q^{1/2}$ и $-N$, что является важной особенностью расширения. Условия этого расширения были получены явно до срока порядка включительно. $|q|^{-7/2}$. Здесь $N$ является лишь приблизительно нечетным целым числом, поскольку в пределе $q\to \infty$ все минимальные отрезки периодического потенциала $\cos 2x$ становятся фактически независимыми гармоническими осцилляторами (следовательно, $N_{0}$ нечетное целое число). Уменьшая $q$, становится возможным туннелирование через барьеры (на физическом языке), приводящее к расщеплению характеристических чисел $a\to a_{\mp }$ (в квантовой механике называемые собственными значениями), соответствующие четным и нечетным периодическим функциям Матье. Это расщепление получается с помощью граничных условий (в квантовой механике это обеспечивает расщепление собственных значений на энергетические зоны). Граничные условия:

$\left({\frac {dce_{N_{0}-1}}{dx}}\right)_{\pi /2}=0,\;\;ce_{N_{0}}(\pi /2)=0,\;\;\left({\frac {dse_{N_{0}}}{dx}}\right)_{\pi /2}=0,\;\;se_{N_{0}+1}(\pi /2)=0.$

Наложение этих граничных условий на асимптотические периодические функции Матье, связанные с приведенным выше разложением для $a$ получается

$N-N_{0}=\mp 2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}{\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2}e^{-4q^{1/2}}}{[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}\left[1-{\frac {3(N_{0}^{2}+1)}{2^{6}q^{1/2}}}+{\frac {1}{2^{13}q}}(9N_{0}^{4}-40N_{0}^{3}+18N_{0}^{2}-136N_{0}+9)+\dots \right].$

Затем соответствующие характеристические числа или собственные значения следуют путем разложения, т. е.

$a(N)=a(N_{0})+(N-N_{0})\left({\frac {\partial a}{\partial N}}\right)_{N_{0}}+\cdots .$

Вставка соответствующих выражений выше дает результат

${\begin{aligned}a(N)\to a_{\mp }(N_{0})={}&-2q+2q^{1/2}N_{0}-{\frac {1}{2^{3}}}(N_{0}^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N_{0}(N_{0}^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N_{0}^{4}+34N_{0}^{2}+9)-\cdots \\&\mp {\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2+1}e^{-4q^{1/2}}}{(8\pi )^{1/2}[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}{\bigg [}1-{\frac {N_{0}}{2^{6}q^{1/2}}}(3N_{0}^{2}+8N_{0}+3)+\cdots {\bigg ]}.\end{aligned}}$

Для $N_{0}=1,3,5,\dots$ это собственные значения, связанные с четными собственными функциями Матье $ce_{N_{0}}$ или $ce_{N_{0}-1}$ (т.е. с верхним знаком минус) и нечетными собственными функциями Матье $se_{N_{0}+1}$ или $se_{N_{0}}$ (т.е. с меньшим знаком плюс). Явные и нормированные разложения собственных функций можно найти в или.

Подобные асимптотические разложения можно получить и для решений других периодических дифференциальных уравнений, например, для функций Ламе , а также вытянутых и сплюснутых сфероидальных волновых функций .

Приложения

Дифференциальные уравнения Матье встречаются в широком диапазоне контекстов в технике, физике и прикладной математике. Многие из этих приложений попадают в одну из двух общих категорий: 1) анализ уравнений в частных производных в эллиптической геометрии и 2) динамические задачи, в которых участвуют силы, периодические в пространстве или времени. Примеры обеих категорий обсуждаются ниже.

Уравнения в частных производных

Функции Матье возникают, когда разделение переменных в эллиптических координатах применяется к 1) уравнению Лапласа в трех измерениях и 2) уравнению Гельмгольца в двух или трех измерениях. Поскольку уравнение Гельмгольца является прототипом уравнения для моделирования пространственных изменений классических волн, функции Матье можно использовать для описания множества волновых явлений. Например, в вычислительной электромагнетике их можно использовать для анализа рассеяния электромагнитных волн на эллиптических цилиндрах и распространения волн в эллиптических волноводах . В общей теории относительности точное решение уравнения поля Эйнштейна в виде плоских волн может быть дано в терминах функций Матье.

Совсем недавно функции Матье использовались для решения частного случая уравнения Смолуховского , описывающего стационарную статистику самодвижущихся частиц .

Оставшаяся часть этого раздела подробно описывает анализ двумерного уравнения Гельмгольца. В прямоугольных координатах уравнение Гельмгольца имеет вид

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)\psi +k^{2}\psi =0,$

Эллиптические координаты определяются формулой

${\begin{aligned}x&=c\cosh \mu \cos \nu \\y&=c\sinh \mu \sin \nu \end{aligned}}$

где $0\leq \mu <\infty$, $0\leq \nu <2\pi$, и $c$ является положительной константой. Уравнение Гельмгольца в этих координатах имеет вид

${\frac {1}{c^{2}(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \nu ^{2}}}\right)\psi +k^{2}\psi =0$

Константа $\mu$ кривые представляют собой конфокальные эллипсы с фокусным расстоянием $c$; следовательно, эти координаты удобны для решения уравнения Гельмгольца в областях с эллиптическими границами. Разделение переменных через $\psi (\mu ,\nu )=F(\mu )G(\nu )$ дает уравнения Матье

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}F}{d\mu ^{2}}}-\left(a-{\frac {c^{2}k^{2}}{2}}\cosh 2\mu \right)F=0\\&{\frac {d^{2}G}{d\nu ^{2}}}+\left(a-{\frac {c^{2}k^{2}}{2}}\cos 2\nu \right)G=0\\\end{aligned}}$

где $a$ — константа разделения.

В качестве конкретного физического примера уравнение Гельмгольца можно интерпретировать как описание нормальных режимов эластичной мембраны при равномерном натяжении . При этом накладываются следующие физические условия:

• Периодичность относительно $\nu$, то есть $\psi (\mu ,\nu )=\psi (\mu ,\nu +2\pi )$
• Непрерывность смещения по межфокальной линии: $\psi (0,\nu )=\psi (0,-\nu )$
• Непрерывность производной по межфокальной линии: $\psi _{\mu }(0,\nu )=-\psi _{\mu }(0,-\nu )$

Для данного $k$, это ограничивает решения до тех, которые имеют вид ${\text{Ce}}_{n}(\mu ,q){\text{ce}}_{n}(\nu ,q)$ и ${\text{Se}}_{n}(\mu ,q){\text{se}}_{n}(\nu ,q)$, где $q=c^{2}k^{2}/4$. Это то же самое, что ограничение допустимых значений $a$, для данного $k$. Ограничения на $k$ затем возникают из-за наложения физических условий на некоторую ограничивающую поверхность, например эллиптическую границу, определяемую формулой $\mu =\mu _{0}>0$. Например, зажимая мембрану в $\mu =\mu _{0}$ навязывает $\psi (\mu _{0},\nu )=0$, что, в свою очередь, требует

${\begin{aligned}{\text{Ce}}_{n}(\mu _{0},q)=0\\{\text{Se}}_{n}(\mu _{0},q)=0\end{aligned}}$

Эти условия определяют нормальные режимы работы системы.

Динамические проблемы

В динамических задачах с периодически меняющимися силами уравнение движения иногда принимает форму уравнения Матье. В таких случаях знание общих свойств уравнения Матье, особенно в отношении устойчивости решений, может иметь важное значение для понимания качественных особенностей физической динамики. Классическим примером в этом направлении является перевернутый маятник . Другими примерами являются

• колебания струны с периодически меняющимся натяжением
• устойчивость железнодорожных рельсов при движении по ним поездов
• сезонно-вынужденная динамика численности населения
• явление параметрического резонанса в вынужденных генераторах
• движение ионов в квадрупольной ионной ловушке
• эффект Штарка для вращающегося электрического диполя
• теория Флоке устойчивости предельных циклов

Квантовая механика

Функции Матье играют роль в некоторых квантово-механических системах, особенно в системах с пространственно-периодическими потенциалами, таких как квантовый маятник и кристаллические решетки .

Модифицированное уравнение Матье возникает и при описании квантовой механики сингулярных потенциалов. Для частного сингулярного потенциала $V(r)=g^{2}/r^{4}$ радиальное уравнение Шрёдингера

${\frac {d^{2}y}{dr^{2}}}+\left[k^{2}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}-{\frac {g^{2}}{r^{4}}}\right]y=0$

можно преобразовать в уравнение

${\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}+\left[2h^{2}\cosh 2z-\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)^{2}\right]\varphi =0.$

Преобразование достигается следующими заменами

$y=r^{1/2}\varphi ,r=\gamma e^{z},\gamma ={\frac {ig}{h}},h^{2}=ikg,h=e^{I\pi /4}(kg)^{1/2}.$

Решая уравнение Шредингера (для этого конкретного потенциала) через решения модифицированного уравнения Матье, такие свойства рассеяния, как S-матрица и поглощательная способность . можно получить

См. также

• Почти оператор Матье
• Функция Бесселя
• Дифференциальное уравнение Хилла
• Перевернутый маятник
• Функция Ламе
• Список математических функций
• Монохроматическая электромагнитная плоская волна

Ссылки

• Арскотт, Феликс (1964). Периодические дифференциальные уравнения: введение в Матье, Ламе и родственные им функции . Пергамон Пресс. ISBN  9781483164885 .
• Баракат, Р. (1963), «Дифракция плоских волн на эллиптическом цилиндре», Журнал Акустического общества Америки , 35 (12): 1990–1996, Бибкод : 1963ASAJ...35.1990B , doi : 10.1121/ 1,1918878
• Бибби, Малкольм М.; Петерсон, Эндрю Ф. (2014). Точное вычисление функций Матье . Морган и Клейпул. дои : 10.2200/S00526ED1V01Y201307CEM032 . ISBN  9781627050852 . S2CID   28354918 .
• Хаос-Кадор, Л.; Лей-Ку, Э. (2002), «Возврат к функциям Матье: матричная оценка и производящие функции» , Revista mexicana defísica , 48 (1): 67–75
• Дингл, Роберт Б.; Мюллер, Харальд Дж.В. (1964). «Вид коэффициентов поздних членов в асимптотических разложениях характеристических чисел Матье и сфероидально-волновых функций». Журнал для королевы и математики . 216 : 123–133. ISSN   0075-4102 .
• Градштейн Израиль Соломонович ; и др. (февраль 2007 г.). Джеффри, Алан; Цвиллингер, Дэниел (ред.). Таблица интегралов, рядов и произведений . Перевод Scripta Technica, Inc. (7-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN  978-0-12-373637-6 . МР   2360010 .
• Гутьеррес-Вега, Хулио К. (2015), «Функции Матье», Николас Дж. Хайэм; и др. (ред.), Princeton Companion to Applied Mathematics , Princeton University Press, стр. 159–160.
• Иянага, Сёкити; Кавада, Юкиёси, ред. (1980) [1977]. Энциклопедический математический словарь, том I. Перевод 2-го японского издания, версия издания 1977 года в мягкой обложке (1-е изд.). МТИ Пресс . ISBN  978-0-262-59010-5 . МР   0591028 .
• Джин, Дж. М.; Чжан, Шань Цзе (1996). Вычисление специальных функций . Нью-Йорк: Уайли. ISBN  9780471119630 .
• Кречмар, Дж. Г. (1970), «Распространение волн в полых проводящих эллиптических волноводах», IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques , 18 (9): 547–554, Bibcode : 1970ITMTT..18..547K , doi : 10.1109/TMTT. 1970.1127288
• Малитс, Пинчас (2010), «Отношения между функциями Матье первого и второго рода», Интегральные преобразования и специальные функции , 21 (6): 423–436, doi : 10.1080/10652460903360499 , S2CID   122033386
• Марш, Раймонд Э. (апрель 1997 г.). «Введение в масс-спектрометрию с квадрупольной ионной ловушкой» . Журнал масс-спектрометрии . 32 (4): 351–369. Бибкод : 1997JMSp...32..351M . doi : 10.1002/(SICI)1096-9888(199704)32:4<351::AID-JMS512>3.0.CO;2-Y . S2CID   16506573 .
• Матье, Э. (1868), «Мемуары о вибрационном движении мембраны эллиптической формы» , Журнал чистой и прикладной математики : 137–203
• Маклахлан, Северо-Запад (1951). Теория и применение функций Матье . Издательство Оксфордского университета. Примечание. Перепечатано литографически в Великобритании в издательстве University Press, Оксфорд, 1951 г. на основе исправленных листов первого издания (1947 г.).
• Мейкснер, Джозеф; Шефке, Фридрих Вильгельм (1954). Функции Матье и сфероидные функции (на немецком языке). Берлин: Springer Verlag. дои : 10.1007/978-3-662-00941-3 . ISBN  978-3-540-01806-3 .
• Морс, Филип МакКорд; Фешбах, Герман (1 января 1953 г.). Методы теоретической физики: Чт. 1 (Переиздание). Бостон, Массачусетс: McGraw-Hill Inc., США. ISBN  9780070433168 .
• Мюллер-Кирстен, Харальд Дж.В. (2012). Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям (2-е изд.). Всемирная научная. ISBN  978-981-4397--73-5 .
• Дингл, РБ; Мюллер, HJW (1962). «Асимптотические разложения функций Матье и их характеристические числа». Журнал чистой и прикладной математики . 1962 (211): 11–32. дои : 10.1515/crll.1962.211.11 . ISSN   0075-4102 . S2CID   117516747 .
• Мюллер, HJW (1962). «Об асимптотических разложениях функций Матье». Журнал чистой и прикладной математики . 1962 (211): 179–190. дои : 10.1515/crll.1962.211.179 . ISSN   0075-4102 . S2CID   118909645 .
• Себак, А.; Шафаи, Л. (1991), «Обобщенные решения для электромагнитного рассеяния эллиптическими структурами», Computer Physics Communications , 68 (1–3): 315–330, Бибкод : 1991CoPhC..68..315S , doi : 10.1016/0010- 4655(91)90206-З
• Солон, АП; Кейтс, Мэн; Тайлер, Дж. (2015), «Активные броуновские частицы и бегущие и падающие частицы: сравнительное исследование», The European Physical Journal Special Topics , 224 (7): 1231–1262, arXiv : 1504.07391 , Bibcode : 2015EPJST.224.1231 S , doi : 10.1140/epjst/e2015-02457-0 , S2CID   53057662
• Темме, Нико М. (2015), «Специальные функции», Николас Дж. Хайэм; и др. (ред.), Princeton Companion to Applied Mathematics , Princeton University Press, стр. 234
• Ван Бюрен, Арни Л.; Буасверт, Джеффри Э. (2007). «Точный расчет модифицированных функций Матье целого порядка» . Ежеквартальный журнал прикладной математики . 65 (1): 1–23. дои : 10.1090/S0033-569X-07-01039-5 . ISSN   0033-569X .
• Лью Ян Вун LC, Виллацен М (2011). Разделимые краевые задачи физики . Вайли-ВЧ. дои : 10.1002/9783527634927 . ISBN  978-3-527-41020-0 . (бесплатный онлайн-доступ к приложению по функциям Матье)
• Слабак, Джет (1984). Вычисления с рекуррентными соотношениями . Издательство Питман. стр. 83–84. ISBN  0-273-08508-5 .
• Вольф, Г. (2010), «Функции Матье и уравнение Хилла» , в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• Бримакомб, Крис; Корлесс, Роберт М.; Замир, Маир (2021). «Вычисление и применение функций Матье: историческая перспектива» . Обзор СИАМ . 63 (4): 653–720. arXiv : 2008.01812 . дои : 10.1137/20M135786X . ISSN   0036-1445 . S2CID   220969117 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Матье» . Математический мир .
• Список уравнений и тождеств для функций Матье function.wolfram.com
• «Функции Матье» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Тимоти Джонс, Уравнения Матье и идеальная ловушка RF-Поля (2006)
• Уравнение Матье , EqWorld
• Цифровая библиотека математических функций NIST: функции Матье и уравнение Хилла