Перевернутый маятник

– Перевернутый маятник это маятник которого находится , центр масс выше точки поворота . Он неустойчив и падает без дополнительной помощи. Его можно устойчиво подвешивать в этом перевернутом положении, используя систему управления, которая отслеживает угол наклона шеста и перемещает точку поворота по горизонтали обратно под центр массы, когда он начинает падать, сохраняя при этом его равновесие. Перевернутый маятник — классическая задача динамики и теории управления , которая используется в качестве эталона для тестирования стратегий управления. Это часто реализуется с точкой поворота, установленной на тележке, которая может перемещаться горизонтально под управлением электронной сервосистемы, как показано на фотографии; это называется аппаратом с тележкой и шестом . ^[1] Большинство приложений ограничивают маятник одной степенью свободы , прикрепляя шест к оси вращения . В то время как обычный маятник устойчив, когда висит вниз, перевернутый маятник по своей природе нестабилен и должен активно балансироваться, чтобы оставаться в вертикальном положении; это можно сделать либо путем приложения крутящего момента к точке поворота, либо путем перемещения точки поворота по горизонтали как части системы обратной связи , изменяя скорость вращения массы, установленной на маятнике на оси, параллельной оси поворота, и тем самым создавая чистый крутящий момент маятника или за счет вертикального колебания точки поворота. Простая демонстрация перемещения точки поворота в системе обратной связи достигается путем балансирования перевернутой метлы на конце пальца.

Второй тип перевернутого маятника представляет собой наклономер для высоких сооружений, который состоит из проволоки, прикрепленной к нижней части фундамента и прикрепленной к поплавку в луже масла наверху конструкции, имеющему устройства для измерения движения нейтрального маятника. положение поплавка от исходного положения.

Обзор

Маятник, чья стрела висит прямо под опорной точкой, находится в устойчивой точке равновесия , где он остается неподвижным, поскольку на маятнике нет крутящего момента. При смещении из этого положения он испытывает восстанавливающий крутящий момент, который возвращает его к положению равновесия. Маятник с качанием в перевернутом положении, опирающийся на жесткий стержень непосредственно над шарниром, на 180° от положения устойчивого равновесия, находится в точке неустойчивого равновесия . В этот момент на маятнике снова нет крутящего момента, но малейшее смещение от этого положения вызывает на маятнике гравитационный момент, который ускоряет его от равновесия, заставляя его упасть.

Чтобы стабилизировать маятник в этом перевернутом положении, можно использовать систему управления с обратной связью , которая контролирует угол маятника и перемещает положение точки поворота в сторону, когда маятник начинает падать, чтобы сохранить его равновесие. Перевернутый маятник является классической задачей в динамике и теории управления и широко используется в качестве эталона для тестирования алгоритмов управления ( ПИД-регуляторов , представления в пространстве состояний , нейронных сетей , нечеткого управления , генетических алгоритмов и т. д.). Варианты этой проблемы включают в себя несколько звеньев, позволяющих управлять движением тележки при сохранении маятника и балансировку системы тележка-маятник на качелях. Перевернутый маятник связан с наведением ракеты или ракеты, где центр тяжести расположен позади центра сопротивления, что приводит к аэродинамической неустойчивости. ^[2] Понимание подобной задачи может показать простая робототехника в виде балансирующей тележки. Балансирование перевернутой метлы на конце пальца — это простая демонстрация, и проблема решается с помощью самобалансирующихся личных транспортеров, таких как Segway PT , самобалансирующийся ховерборд и самобалансирующийся одноколесный велосипед .

Другой способ стабилизации перевернутого маятника без какой-либо обратной связи или механизма управления - это быстрое покачивание шарнира вверх и вниз. Это называется маятником Капицы . Если колебание достаточно сильное (с точки зрения ускорения и амплитуды), то перевернутый маятник может восстановиться после возмущений поразительно нелогичным образом. Если движущая точка движется простым гармоническим движением , движение маятника описывается уравнением Матье . ^[3]

Уравнения движения

Уравнения движения перевернутых маятников зависят от того, какие ограничения наложены на движение маятника. Перевернутые маятники могут быть созданы в различных конфигурациях, в результате чего получается ряд уравнений движения, описывающих поведение маятника.

Стационарная точка поворота

В конфигурации, где точка поворота маятника зафиксирована в пространстве, уравнение движения аналогично уравнению неперевернутого маятника . Приведенное ниже уравнение движения предполагает отсутствие трения или любого другого сопротивления движению, наличие жесткого невесомого стержня и ограничение двумерного движения.

{\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =0

Где ${\ddot {\theta }}$ - угловое ускорение маятника, $g$ — стандартная сила тяжести на поверхности Земли, $\ell$ - длина маятника, а $\theta$ – угловое смещение, измеренное от положения равновесия.

Когда ${\ddot {\theta }}$ добавленный к обеим сторонам, он имеет тот же знак, что и член углового ускорения:

{\ddot {\theta }}={g \over \ell }\sin \theta

Таким образом, перевернутый маятник ускоряется от вертикального неустойчивого равновесия в первоначально смещенном направлении, и ускорение обратно пропорционально длине. Высокие маятники падают медленнее, чем короткие.

Вывод с использованием крутящего момента и момента инерции:

Схематический рисунок перевернутого маятника на тележке. Стержень считается безмассовым. Массу тележки и острую массу на конце стержня обозначают М и m. Стержень имеет длину l.

Предполагается, что маятник состоит из точечной массы массой $m$ , прикрепленный к концу невесомого жесткого стержня длиной $\ell$ , прикрепленный к точке поворота на конце, противоположном точечной массе.

Чистый крутящий момент системы должен равняться моменту инерции, умноженному на угловое ускорение:

{\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }=I{\ddot {\theta }}

Крутящий момент, обусловленный силой тяжести, обеспечивающий чистый крутящий момент:

{\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }=mg\ell \sin \theta \,\!

Где $\theta \$ - угол, измеренный от перевернутого положения равновесия.

Полученное уравнение:

I{\ddot {\theta }}=mg\ell \sin \theta \,\!

Момент инерции точечной массы:

I=mR^{2}

В случае перевернутого маятника радиус равен длине стержня, $\ell$ .

Подстановка в $I=m\ell ^{2}$

m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}=mg\ell \sin \theta \,\!

Массовый и $\ell ^{2}$ делится с каждой стороны, в результате чего:

{\ddot {\theta }}={g \over \ell }\sin \theta

Перевернутый маятник на тележке

Перевернутый маятник на тележке состоит из массы $m$ на вершине шеста длиной $\ell$ вращается на горизонтально движущейся основе, как показано на соседнем изображении. Тележка ограничена линейным движением и подвергается воздействию сил, которые приводят к движению или препятствуют ему.

Основы стабилизации

Основы стабилизации перевернутого маятника можно качественно суммировать в три этапа.

1. Если угол наклона $\theta$ вправо, тележка должна ускориться вправо и наоборот.

2. Положение тележки $x$ относительно центра пути стабилизируется путем небольшой модуляции нулевого угла (угловой ошибки, которую система управления пытается обнулить) положением тележки, то есть нулевого угла $=\theta +kx$ где $k$ мал. Из-за этого веха слегка наклоняется к центру гусеницы и стабилизируется в центре гусеницы, где угол наклона строго вертикальен. Любое смещение датчика наклона или наклона гусеницы, которое в противном случае могло бы вызвать нестабильность, преобразуется в стабильное смещение положения. Дополнительное добавленное смещение обеспечивает контроль положения.

3. Обычный маятник, подверженный движущейся точке поворота, например, груз, поднимаемый краном, имеет пиковый отклик на радианской частоте маятника, равной $\omega _{p}={\sqrt {g/\ell }}$ . Чтобы предотвратить неконтролируемое раскачивание, частотный спектр поворотного движения должен быть подавлен вблизи $\omega _{p}$ . Перевернутому маятнику для достижения стабильности требуется тот же фильтр подавления.

В результате стратегии модуляции нулевого угла обратная связь по положению является положительной, то есть внезапная команда на движение вправо вызывает первоначальное движение тележки влево, за которым следует движение вправо для восстановления баланса маятника. Взаимодействие неустойчивости маятника и нестабильности положительной обратной связи по положению с целью создания устойчивой системы является особенностью, которая делает математический анализ интересной и сложной задачей.

Из уравнений Лагранжа

Уравнения движения можно вывести, используя уравнения Лагранжа . Мы обращаемся к рисунку справа, где $\theta (t)$ - угол маятника длины $l$ относительно вертикального направления, а действующими силами являются гравитация и внешняя сила F в направлении x. Определять $x(t)$ быть положением тележки.

Кинетическая энергия $T$ системы:

T={\frac {1}{2}}Mv_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{2}^{2},

где $v_{1}$ - скорость тележки и $v_{2}$ скорость точечной массы $m$ . $v_{1}$ и $v_{2}$ может быть выражено через x и $\theta$ записав скорость как первую производную положения;

v_{1}^{2}={\dot {x}}^{2},

v_{2}^{2}=\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\left(x-\ell \sin \theta \right)}\right)^{2}+\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\left(\ell \cos \theta \right)}\right)^{2}.

Упрощая выражение для $v_{2}$ приводит к:

v_{2}^{2}={\dot {x}}^{2}-2\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}.

Кинетическая энергия теперь определяется выражением:

T={\frac {1}{2}}\left(M+m\right){\dot {x}}^{2}-m\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}.

Обобщённые координаты системы: $\theta$ и $x$ , каждый имеет обобщенную силу.На $x$ ось, обобщенная сила $Q_{x}$ можно вычислить через его виртуальную работу

Q_{x}\delta x=F\delta x,\quad Q_{x}=F,

на $\theta$ ось, обобщенная сила $Q_{\theta }$ также можно рассчитать через его виртуальную работу

Q_{\theta }\delta \theta =mgl\sin \theta \delta \theta ,\quad Q_{\theta }=mgl\sin \theta .

Согласно уравнениям Лагранжа , уравнения движения имеют вид:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {T} \over \partial {\dot {x}}}-{\partial {T} \over \partial x}=F,

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {T} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {T} \over \partial \theta }=mgl\sin \theta ,

замена $T$ в этих уравнениях и упрощение приводит к уравнениям, описывающим движение перевернутого маятника:

\left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =F,

\ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta .

Эти уравнения нелинейны, но поскольку целью системы управления является удержание маятника в вертикальном положении, уравнения можно линеаризовать относительно $\theta \approx 0$ .

Из уравнений Эйлера-Лагранжа

Обобщенные силы можно записать как потенциальную энергию. $V_{x}$ и $V_{\theta }$ ,

Обобщенные силы	Потенциальная энергия
$Q_{x}=F$	$V_{x}=\int _{t_{0}}^{t}F{\dot {x}}\ {\rm {d}}t$
$Q_{\theta }=mgl\sin \theta$	$V_{\theta }=mgl\cos \theta$

По принципу Даламбера обобщенные силы и потенциальная энергия связаны:

Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}\,,

Однако при определенных обстоятельствах потенциальная энергия недоступна, доступны только обобщенные силы.

После получения лагранжиана $L=T-V$ , мы также можем использовать уравнение Эйлера – Лагранжа для решения уравнений движения:

{\frac {\partial L}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)=0

,

{\frac {\partial L}{\partial \theta }}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)=0

.

Единственная разница заключается в том, включать ли обобщенные силы в потенциальную энергию. $V_{j}$ или напишите их явно как $Q_{j}$ с правой стороны все они приводят к одним и тем же уравнениям в финале.

Из второго закона Ньютона

Часто бывает полезно использовать второй закон Ньютона вместо уравнений Лагранжа, поскольку уравнения Ньютона определяют силы реакции в месте соединения маятника и тележки. Эти уравнения приводят к двум уравнениям для каждого тела; один в направлении x, а другой в направлении y. Уравнения движения тележки показаны ниже, где LHS — это сумма сил, действующих на тело, а RHS — ускорение.

F-R_{x}=M{\ddot {x}}

F_{N}-R_{y}-Mg=0

В приведенных выше уравнениях $R_{x}$ и $R_{y}$ — силы реакции в суставе. $F_{N}$ — нормальная сила, приложенная к тележке. Это второе уравнение зависит только от вертикальной силы реакции, поэтому уравнение можно использовать для определения нормальной силы. Первое уравнение можно использовать для определения горизонтальной силы реакции. Чтобы завершить уравнения движения, необходимо вычислить ускорение точечной массы, прикрепленной к маятнику. Положение точечной массы можно задать в инерциальных координатах как

{\vec {r}}_{P}=(x-\ell \sin \theta ){\hat {x}}_{I}+\ell \cos \theta {\hat {y}}_{I}

Взяв две производные, получим вектор ускорения в инерциальной системе отсчета.

{\vec {a}}_{P/I}=({\ddot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta ){\hat {x}}_{I}+(-\ell {\dot {\theta }}^{2}\cos \theta -\ell {\ddot {\theta }}\sin \theta ){\hat {y}}_{I}

Затем, используя второй закон Ньютона, можно записать два уравнения в направлении x и направлении y. Обратите внимание, что силы реакции положительны при приложении к маятнику и отрицательны при приложении к тележке. Это связано с третьим законом Ньютона.

R_{x}=m({\ddot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta )

R_{y}-mg=m(-\ell {\dot {\theta }}^{2}\cos \theta -\ell {\ddot {\theta }}\sin \theta )

Первое уравнение позволяет еще один способ вычислить горизонтальную силу реакции в случае, если приложенная сила $F$ не известно. Второе уравнение можно использовать для определения силы вертикальной реакции. Первое уравнение движения получается заменой $F-R_{x}=M{\ddot {x}}$ в $R_{x}=m({\ddot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta )$ , что дает

\left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =F

При осмотре это уравнение идентично результату метода Лагранжа. Чтобы получить второе уравнение, уравнение движения маятника должно быть отмечено единичным вектором, который всегда проходит перпендикулярно маятнику и обычно обозначается как координата x корпуса тела. В инерциальных координатах этот вектор можно записать с помощью простого двумерного преобразования координат.

{\hat {x}}_{B}=\cos \theta {\hat {x}}_{I}+\sin \theta {\hat {y}}_{I}

Уравнение движения маятника, записанное в векторной форме, имеет вид $\sum {\vec {F}}=m{\vec {a}}_{P/I}$ . Расстановка точек ${\hat {x}}_{B}$ с обеих сторон дает следующее на LHS (обратите внимание, что транспонирование — это то же самое, что и скалярное произведение )

({\hat {x}}_{B})^{T}\sum {\vec {F}}=({\hat {x}}_{B})^{T}(R_{x}{\hat {x}}_{I}+R_{y}{\hat {y}}_{I}-mg{\hat {y}}_{I})=({\hat {x}}_{B})^{T}(R_{p}{\hat {y}}_{B}-mg{\hat {y}}_{I})=-mg\sin \theta

В приведенном выше уравнении используется взаимосвязь между компонентами сил реакции корпуса и компонентами сил реакции инерционного каркаса. Предположение о том, что стержень, соединяющий точечную массу с тележкой, невесомо, означает, что этот стержень не может передавать никакую нагрузку, перпендикулярную стержню. Таким образом, инерционные компоненты сил реакции можно записать просто как $R_{p}{\hat {y}}_{B}$ , что означает, что стержень может передавать нагрузки только вдоль оси самого стержня. Это приводит к другому уравнению, которое можно использовать для определения натяжения в самом стержне:

R_{p}={\sqrt {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}}}

Правая часть уравнения вычисляется аналогично путем расстановки точек ${\hat {x}}_{B}$ с ускорением маятника. Результат (после некоторого упрощения) показан ниже.

m({\hat {x}}_{B})^{T}({\vec {a}}_{P/I})=m({\ddot {x}}\cos \theta -\ell {\ddot {\theta }})

Объединение LHS с RHS и деление на m дает результат.

\ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta

что опять-таки идентично результату метода Лагранжа. Преимущество использования метода Ньютона заключается в том, что проявляются все силы реакции, что гарантирует отсутствие повреждений.

Варианты

Достижение стабильности перевернутого маятника стало обычной инженерной задачей для исследователей. ^[4] Существуют различные варианты перевернутого маятника на тележке: от стержня на тележке до многосегментного перевернутого маятника на тележке. В другом варианте стержень перевернутого маятника или сегментированный стержень помещается на конце вращающегося узла. В обоих случаях (тележке и вращающейся системе) перевернутый маятник может падать только в плоскости. От перевернутых маятников в этих проектах может потребоваться либо поддерживать баланс только после достижения положения равновесия, либо они могут достигать равновесия сами по себе. Другая платформа представляет собой двухколесный балансирующий перевернутый маятник. Двухколесная платформа способна вращаться на месте, обеспечивая большую маневренность. ^[5] Еще один вариант балансирует на одном пункте. , Вращающийся волчок одноколесный велосипед или перевернутый маятник на сферическом шаре — все они балансируют в одной точке.

маятник Капицы

Перевернутый маятник, ось которого быстро колеблется вверх и вниз, может быть устойчивым в перевернутом положении. Это называется маятник Капицы , в честь русского физика Петра Капицы, который первым проанализировал его. Уравнение движения маятника, соединенного с безмассовым колеблющимся основанием, выводится так же, как и для маятника на тележке. Положение точечной массы теперь определяется формулой:

\left(-\ell \sin \theta ,y+\ell \cos \theta \right)

а скорость находится путем взятия первой производной от положения:

v^{2}={\dot {y}}^{2}-2\ell {\dot {y}}{\dot {\theta }}\sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}.

Лагранжиан этой системы можно записать как:

L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {y}}^{2}-2\ell {\dot {y}}{\dot {\theta }}\sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-mg\left(y+\ell \cos \theta \right)

и уравнение движения следует из:

{\mathrm {d}  \over \mathrm {d} t}{\partial {L} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0

в результате чего:

\ell {\ddot {\theta }}-{\ddot {y}}\sin \theta =g\sin \theta .

Если y представляет собой простое гармоническое движение , $y=A\sin \omega t$ , следующее дифференциальное уравнение :

{\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =-{A \over \ell }\omega ^{2}\sin \omega t\sin \theta .

Это уравнение не имеет элементарных решений в замкнутой форме, но его можно исследовать различными способами. Оно близко аппроксимируется уравнением Матье , например, когда амплитуда колебаний мала. Анализ показывает, что маятник остается в вертикальном положении при быстрых колебаниях. Первый график показывает, что когда $y$ Это медленное колебание, маятник быстро падает, если его вывести из вертикального положения. Угол $\theta$ через короткое время превышает 90°, что означает, что маятник упал на землю. Если $y$ Это быстрое колебание, маятник можно сохранять стабильным в вертикальном положении. Второй график показывает, что при отклонении маятника от вертикального положения он начинает колебаться вокруг вертикального положения ( $\theta =0$ ). Отклонение от вертикального положения остается небольшим, маятник не опрокидывается.

Примеры

Вероятно, наиболее распространенным примером стабилизированного перевернутого маятника является человек . Человек, стоящий прямо, действует как перевернутый маятник, в котором его ноги служат опорой, и без постоянных небольших мышечных корректировок он упадет. Нервная система человека содержит бессознательную с обратной связью систему управления , чувство равновесия или рефлекс выпрямления , который использует проприоцептивную информацию от глаз, мышц и суставов, а также ориентационную информацию от вестибулярной системы, состоящей из трех полукружных каналов во внутреннем ухе . два отолитовых органа, которые постоянно производят небольшие изменения в скелетных мышцах, чтобы мы могли стоять прямо. Ходьба, бег или балансирование на одной ноге предъявляют к этой системе дополнительные требования. Определенные заболевания, а также алкогольная или наркотическая интоксикация могут нарушить этот рефлекс, вызывая головокружение и потерю равновесия , неспособность стоять прямо. Полевой тест на трезвость , используемый полицией для проверки водителей на предмет воздействия алкоголя или наркотиков, проверяет этот рефлекс на предмет нарушения.

Некоторые простые примеры включают балансировку метел или метровых палок вручную.

Перевернутый маятник использовался в различных устройствах, и попытка сбалансировать перевернутый маятник представляет собой уникальную инженерную проблему для исследователей. ^[6] Перевернутый маятник был центральным компонентом конструкции нескольких первых сейсмометров из-за присущей ему нестабильности, приводящей к измеримой реакции на любое возмущение. ^[7]

Модель перевернутого маятника использовалась в некоторых недавних персональных транспортных средствах , таких как двухколесные самобалансирующиеся самокаты и одноколесные электрические одноколесные велосипеды . Эти устройства кинематически нестабильны и используют сервосистему с электронной обратной связью, чтобы удерживать их в вертикальном положении.

Поворот маятника на тележке в перевернутое состояние маятника считается традиционной оптимального управления . игрушечной задачей / эталоном ^[8]^[9]

См. также

Ссылки

^ Старший проект Колледжа Союза Гамильтона, Калифорния, 1966 г.
^ «Модель устойчивости ракеты» .
^ Митчелл, Джо. «Методы работы с колеблющимся маятником и уравнением Матье» (PDF) . math.ou.edu . Проверено 6 ноября 2023 г.
^ Ой, Рич Чи. «Балансировка двухколесного автономного робота» (PDF) . robotics.ee.uwa.edu.au . Проверено 6 ноября 2023 г.
^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 1 мая 2012 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )
^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 1 мая 2012 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )
^ «Ранняя история сейсмометрии (до 1900 г.)» . Архивировано из оригинала 28 ноября 2009 г.
^ «Акробот и тележка-столб» (PDF) .
^ «Поворот на тележке» . www.cs.huji.ac.il. Проверено 19 августа 2019 г.

Д. Либерзон «Переключение в системах и управлении» (2003 Springer), стр. 89 и далее.

Дальнейшее чтение

Франклин; и др. (2005). Управление динамическими системами с обратной связью , 5, Прентис Холл. ISBN 0-13-149930-0

Внешние ссылки

[1] Старший проект Колледжа Союза Гамильтона, Калифорния, 1966 г.

[2] «Модель устойчивости ракеты» .

[3] Митчелл, Джо. «Методы работы с колеблющимся маятником и уравнением Матье» (PDF) . math.ou.edu . Проверено 6 ноября 2023 г.

[4] Ой, Рич Чи. «Балансировка двухколесного автономного робота» (PDF) . robotics.ee.uwa.edu.au . Проверено 6 ноября 2023 г.

[5] «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 1 мая 2012 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )

[6] «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 1 мая 2012 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )

[7] «Ранняя история сейсмометрии (до 1900 г.)» . Архивировано из оригинала 28 ноября 2009 г.

[8] «Акробот и тележка-столб» (PDF) .

[9] «Поворот на тележке» . www.cs.huji.ac.il. Проверено 19 августа 2019 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]