Формула Мотта – Бете

Формула Мотта – Бете представляет собой приближение, используемое для расчета рассеяния атомных электронов форм-факторов , $f_{\text{e}}(q,Z)$ атомного рассеяния рентгеновских лучей , , из формфакторов $f_{x}(q,Z)$. Формула была независимо выведена Гансом Бете и Невиллом Моттом в 1930 году. и просто следует из применения первого борновского приближения для рассеяния электронов за счет кулоновского взаимодействия вместе с уравнением Пуассона для плотности заряда атома (включая как ядро, так и электронное облако) в области Фурье. Следуя первому борновскому приближению ,

$f_{\text{e}}(q,Z)={\frac {me^{2}}{32\pi ^{3}\hbar ^{2}\epsilon _{0}}}{\Bigg (}{\frac {Z-f_{x}(q,Z)}{q^{2}}}{\Bigg )}={\frac {1}{8\pi ^{2}a_{0}}}{\Bigg (}{\frac {Z-f_{x}(q,Z)}{q^{2}}}{\Bigg )}\approx (0.2393~{\textrm {nm}}^{-1})\cdot {\Bigg (}{\frac {Z-f_{x}(q,Z)}{q^{2}}}{\Bigg )}$

Здесь, $q$ – величина вектора рассеяния сечения передачи импульса в обратном пространстве (в единицах обратного расстояния), $Z$ атомный номер атома, $\hbar$ — постоянная Планка , $\epsilon _{0}$ - диэлектрическая проницаемость вакуума , а $m_{0}$ покоя электрона – масса , $a_{0}$ – радиус Бора , а $f_{x}(q,Z)$ – безразмерный формфактор рассеяния рентгеновских лучей для электронной плотности.

Фактор рассеяния электронов $f_{\text{e}}(q,Z)$ имеет единицы длины, что характерно для фактора рассеяния, в отличие от рентгеновского формфактора $f_{x}(q,Z)$, который обычно выражается в безразмерных единицах. Чтобы выполнить однозначное сравнение электронного и рентгеновского форм-факторов в одних и тех же единицах измерения, рентгеновский форм-фактор следует умножить на квадратный корень из томсоновского сечения. ${\sqrt {\sigma _{T}}}=r_{\text{e}}$, где $r_{\text{e}}$ — классический радиус электрона , чтобы преобразовать его обратно в единицу длины.

Формула Мотта-Бете была первоначально выведена для свободных атомов и является строго верной при условии, что точно известен форм-фактор рассеяния рентгеновских лучей. Однако в твердых телах точность формулы Мотта – Бете наилучшая при больших значениях $q$ ( $q>0.5$ Ой ⁻¹ ), поскольку распределение плотности заряда при меньших $q$ (т.е. большие расстояния) могут отклоняться от атомного распределения электронов из-за химических связей между атомами в твердом теле. Для меньших значений $q$, $f_{\text{e}}(q,Z)$ может быть определен из табличных значений, таких как значения в Международных таблицах кристаллографии, с использованием (не) релятивистских Хартри – Фока , расчетов или другие численные параметризации расчетного распределения заряда атомов.