Нелинейный фриктиофорез

Нелинейный фриктиофорез – это однонаправленный дрейф частицы в среде, вызванный периодической движущей силой с нулевым средним значением. Эффект возможен благодаря нелинейной зависимости силы трения-сопротивления от скорости частицы. Это было обнаружено теоретически. и в основном известен как нелинейный электрофриктиофорез. . На первый взгляд, периодическая движущая сила с нулевым средним значением способна вовлечь частицу в колебательное движение без однонаправленного дрейфа, поскольку интегральный импульс, сообщаемый частице этой силой, равен нулю. Возможность однонаправленного дрейфа можно признать, если принять во внимание, что сама частица теряет импульс, передавая его дальше в среду, в которой она движется. Если трение нелинейное, то может случиться так, что потеря импульса при движении в одном направлении не будет равна таковой в противоположном направлении и это вызовет однонаправленный снос. Чтобы это произошло, зависимость движущей силы от времени должна быть более сложной, чем в случае одиночной синусоидальной гармоники.

Простой пример – пластик Бингама.

Нелинейное трение

Простейшим случаем закона зависимости трения от скорости является Стокса :

$(1)\qquad F_{dr}(v)=\lambda v,$

где $F_{dr}(v)$ это сила трения/сопротивления, приложенная к частице, движущейся со скоростью $v$ в среде. Закон скорости трения (1) наблюдается для медленно движущейся сферической частицы в ньютоновской жидкости .

Рис. 1 Линейное трение

Он линейный, см. рис. 1, и не подходит для проведения нелинейного фриктиофореза. Характерное свойство закона (1) состоит в том, что любая, даже очень малая движущая сила способна привести частицу в движение. Это не относится к таким носителям, как пластик Bingham . Для этих сред необходимо применить некоторую пороговую силу, $d$, чтобы заставить частицу двигаться. Этот вид закона трения-скорости (сухого трения) имеет скачок при $v=0$:

$(2)\qquad F_{dr}(v)=\lambda v+d\cdot \mathrm {sign} (v).$

Рис. 2. Пример нелинейного трения

Он нелинейный, см. рис. 2, и используется в данном примере.

Периодическая движущая сила

Позволять $T>0$ обозначают период действия движущей силы. Выберите времяценить $t_{1}$такой, что $0<t_{1}<T$и два значения силы, $F^{+}>0$, $F^{-}<0$такие, что следующие соотношенияудовлетворен:

$\qquad \qquad F^{+}>d,\quad |F^{-}|<d,$

$(3)\qquad F^{+}t_{1}+F^{-}(T-t_{1})=0.$

Периодическая движущая сила $f(t)$в этом примере используется следующее:

$(4)\qquad f(t)={\begin{cases}F^{+},{\text{ if }}0<t\leq t_{1},\\F^{-},{\text{ if }}t_{1}<t\leq T,\quad f(t+T)=f(t).\end{cases}}$

Ясно, что в силу (3) $f(t)$ имеет нулевое среднее значение:

$\int \limits _{0}^{T}f(t)dt=F^{+}t_{1}+F^{-}(T-t_{1})=0.$

Рис. 3. Пример нулевой средней движущей силы

См. также рис. 3.

Однонаправленный дрейф

Для простоты рассмотрим здесь физическую ситуацию, когда инерцией можно пренебречь. Последнего можно достичь, еслимасса частицы мала, скорость мала, а трение велико. Эти условия должны гарантировать, что $\tau \ll t_{1}$,где $\tau$ это время релаксации. В этой ситуации частица, движимая силой (4), сразу начинает двигаться с постоянной скоростью $v^{+}={\frac {1}{\lambda }}(F^{+}-d)$ во время интервала $0<t\leq t_{1}$и будет немедленноперестать двигаться во время интервала $t_{1}<t\leq T$, см. рис. 4.

Рис. 4. Скорость с ненулевым средним значением

Это приводит кположительная средняя скорость однонаправленного дрейфа:

$\qquad \qquad {\overline {v(t)}}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}v(t)dt={\frac {t_{1}}{\lambda T}}(F^{+}-d)>0.$

Математический анализ

Анализ возможности получения ненулевого дрейфа периодической силой снулевой интеграл был получен в. Безразмерныйуравнение движения частицы, движимой периодической силой $f(t)$, $f(t+1)=f(t)$, $\int _{0}^{1}f(t)dt=0$заключается в следующем:

$(5)\qquad {\dot {v}}+\lambda v-\epsilon g(v)=f(t),$

где сила трения/сопротивления $F_{dr}(v)=\lambda v-\epsilon g(v)$ удовлетворяетследующее:

$\qquad \qquad F_{dr}(-v)=-F_{dr}(v),\quad {\frac {d}{dv}}F_{dr}(v)\geq 0.$

Это доказано в что любое решение (5)переходит в периодический режим $v^{*}(t)$, $v^{*}(t+1)=v^{*}(t)$, которое имеет ненулевое среднее значение:

$\qquad \qquad {\overline {v^{*}(t)}}=\int \limits _{0}^{1}v^{*}(t)dt\neq 0,$

почти наверняка, при условии $f(t)$не является антипериодическим.

Для $g(v)=v^{3}$, два случая $f(t)$ были рассмотрены явно:

1. Пилообразная движущая сила, см. рис. 5:

Рис. 5 Пилообразная движущая сила

$\qquad \qquad f(t)=at,\quad t\in [-1/2;1/2],\quad f(t+1)=f(t),\quad t\in ]-\infty ;\infty [.$

В этом случае найдено в первый заказ в $\epsilon$ приближение к $v^{*}(t)$, $v_{1}^{*}(t)$, имеет следующее среднее значение:

$\qquad \qquad {\Big |}{\overline {v_{1}^{*}(t)}}{\Big |}\equiv {\Big |}\int \limits _{0}^{1}v_{1}^{*}(t)dt{\Big |}\geq {\frac {2}{3}}\epsilon a^{3}/\lambda ^{5}.$

Эта оценка сделана с учетом $\lambda \gg 1$.

2. Движущая сила двух гармоник,

$\qquad \qquad f(t)=a\cos(2\pi t)+b\cos(4\pi t+\psi ).$

В этом случае первый заказ в $\epsilon$ приближениеимеет следующее среднее значение:

$\qquad \qquad {\Big |}{\overline {v_{1}^{*}(t)}}{\Big |}={\Big |}\int \limits _{0}^{1}v_{1}^{*}(t)dt{\Big |}\geq {\frac {2}{27}}{\frac {\epsilon }{\lambda }}\left({\frac {M}{\lambda }}\right)^{3}{\frac {1}{(1+{\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}})(1+{\frac {16\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}})^{1/2}}}.$

Это значение максимизируется в $\psi$, $a,b$, сохраняя $a+b=M$ постоянный. Интересно, что величина дрейфа зависит от $\psi$ и меняет свое направление дважды $\psi$ охватывает интервал $[0;2\pi ]$. Другой вид анализа, Основанное на нарушении симметрии также предполагает, что движущая сила с нулевым средним может вызвать направленный дрейф.

Приложения

Рис.6 (а): сплошная линия — сила сопротивления на один заряд в зависимости от скорости, пунктирная линия — линейная аппроксимация для сравнения. (б): то же, что и (а), но в более мелком масштабе.

В приложениях природа силы $f(t)$ в (5), обычно является электрическим, подобно силам, действующим при стандартном электрофорезе . Единственное отличие состоит в том, что сила является периодической и не имеет постоянной составляющей.

Чтобы эффект проявился, зависимость силы трения/сопротивления от скорости должна быть нелинейной. Так обстоит дело со многими веществами, известными как неньютоновские жидкости . К ним относятся гели , дилатантные жидкости , псевдопластические жидкости , жидкие кристаллы . Специальные эксперименты определили $F_{dr}(v)$ для стандартной лестницы ДНК длиной до 1500 п.н. в 1,5% агарозном геле. Найденная зависимость (см. рис. 6) подтверждает возможность нелинейного фриктиофореза в такой системе. На основании данных рис. 6, оптимальный временной ход для возбуждения электрического поля с нулевым средним значением: $E(t)$, был найден в, что обеспечивает максимальный дрейф для фрагмента длиной 1500 п.н.,см. рис. 7.

Рис. 7. Динамика оптимального электрического поля во времени, $E(t)$, $E(t\pm 1s)=E(t)$, установившаяся скорость, $v^{*}(t)$и перемещение, $X(t)$. Значение дрейфа ${\overline {v^{*}(t)}}=0.31\mu$РС.

Эффект однонаправленного дрейфа, вызванный периодической силой с нулевым интегральным значением, имеет своеобразную зависимость от временного хода приложенной силы. Примеры см. в предыдущем разделе. Это открывает новое измерение ряда проблем разделения.

Разделение ДНК по длине

При разделении фрагментов ДНКпериодическое электрическое поле с нулевым средним значением используется в электрофорезе с нулевым интегрированным полем (ZIFE), где используется зависимость поля от времени, аналогичная показанной на рис. 3.Это позволяет разделять длинные фрагменты в агарозном геле,неразделимы стандартным электрофорезом в постоянном поле.Геометрия длинной ДНК и манера ее движения в геле.известный как рептация не позволяют применить непосредственно рассмотрение на основе уравнения. (5) выше.

Разделение по удельной массе

Было замечено, что при определенных физических условияхмеханизм, описанный в разделе «Математический анализ» выше,может использоваться для разделения по удельной массе,как частицы, состоящие из изотопов одного и того же материала.

Расширения

Идея организации направленного дрейфа с нулевым периодическим приводом.получили дальнейшее развитие для других конфигурацийи другие физические механизмы нелинейности.

Вращение посредством круговой волны

Электрический диполь свободно вращаясь вокруг $z$-осьв среде с нелинейным трением можно манипулироватьприменяя электромагнитную волну, поляризованную по кругу вдоль $\pm z$и состоит из двух гармоник. Уравнение движениядля этой системы выглядит следующим образом:

$\qquad \qquad {\dot {\omega }}+\lambda \omega -\epsilon g(\omega )=f(t,\theta (t)),\quad {\dot {\theta }}=\omega ,$

где $f(t,\theta (t))$ - крутящий момент, действующий на диполь из-закруговая волна:

$(6)\qquad f(t,\theta (t))\sim |p|(A_{1}\cos(\omega t\pm \theta )+A_{2}\cos(2\omega t\pm \theta +\psi )),$

где $p$ – компонента дипольного момента ортогональнак $z$-осьи $\theta$ определяет направление диполя в $XY$ самолет. Выбирая правильноефазовый сдвиг $\psi$ в (6) можносориентируйте диполь в любом желаемом направлении, $\theta _{0}$.Направление $\theta _{0}$ являетсядостигается за счет углового направленного дрейфа, который обращается в ноль при $\theta =\theta _{0}$. Небольшая расстройка между первой и второй гармониками в (6) приводит к непрерывному вращательному дрейфу.

Модификация потенциальной функции

Рис. 8. Пример модификации потенциальной функции. $U(x)$ за счет нелинейного фриктиофореза. а) начальный $U(x)$, (б) модифицированный $U(x)$.

Если частица при свободном движении испытывает направленный дрейф согласнос уравнением (5), то он дрейфует аналогично, если достаточно мелкийпотенциальное поле $U(x)$ налагается. Уравнение движения в этом случае имеет вид:

$\qquad \qquad {\dot {v}}+\lambda v-\epsilon g(v)=f(t)-\phi (x),\quad {\dot {x}}=v,$

где $\phi (x)$ это сила, обусловленная потенциальным полем. Дрейф продолжается до тех пор, пока не появится достаточно крутой участок в ходе $U(x)$ Встречается, что способно остановить дрейф. Подобное поведение, как показывает строгий математический анализ, приводит к модификации $U(x)$ добавив линейный вход $x$ срок. Это может изменить $U(x)$ качественно, например, изменив количество точек равновесия, см. рис. 8. Эффект может быть существенным при высокой частоте.электрическое поле, действующее на биополимеры.

Еще одна нелинейность

Для электрофореза коллоидных частиц в электрическом поле небольшой напряженности сила $f(t)$в правой части уравнения. (5) линейно пропорциональнасила $E(t)$ приложенного электрического поля. Для высокой прочности,линейность нарушается из-за нелинейной поляризации.В результате сила может нелинейно зависеть от приложенного поля:

$\qquad \qquad f(t)\sim E(t)+\alpha (E(t))^{3}.$

В последнем выражении, даже еслиприкладная область, $E(t)$ имеет нулевое среднее, приложенная сила $f(t)$ может иметь постоянную составляющую, которая может вызвать направленный дрейф. Как указано выше, чтобы это произошло, $E(t)$ должно иметь более одной синусоидальной гармоники.Тот же эффект для жидкости в трубке может служить в электроосмотический насос приводится в движение с нулевым средним электрическим полем.