Черная проблема

В математике состоит задача Фекете в том, чтобы, учитывая натуральное число N и действительное s ≥ 0, найти точки x ₁ ,..., x _N на 2-сфере , для которых s -энергия, определяемая формулой

$\sum _{1\leq i<j\leq N}\|x_{i}-x_{j}\|^{-s}$

для s > 0 и

$\sum _{1\leq i<j\leq N}\log \|x_{i}-x_{j}\|^{-1}$

при s = 0 минимально. При s > 0 такие точки называются s - точками Фекете , а при s = 0 - логарифмическими точками Фекете (см. Saff & Kuijlaars (1997) ).В более общем смысле, можно рассмотреть ту же проблему на d -мерной сфере или на римановом многообразии (в этом случае || x _i − x _j || заменяется римановым расстоянием между x _i и x _j ).

Проблема возникла в статье Майкла Фекете ( 1923 ), который рассматривал одномерный случай s = 0, отвечая на вопрос Иссая Шура .

Алгоритмическая версия проблемы Фекете занимает седьмое место в списке проблем, обсуждаемых Смейлом (1998) .

Ссылки

• Бендито, Э.; Кармона, А.; Энсинас, AM; Гесто, Дж. М.; Гомес, А.; Моуриньо, К.; Санчес, М.Т. (2009), «Вычислительная стоимость задачи Фекете. I. Метод сил на 2-сфере», Журнал вычислительной физики , 228 (9): 3288–3306, Бибкод : 2009JCoPh.228.3288B , doi : 10.1016/j.jcp.2009.01.021 , ISSN   0021-9991 , МР   2513833
• Фекете, М. (1923), «О распределении корней в некоторых алгебраических уравнениях с целыми коэффициентами» , Mathematical Journal , 17 (1): 228–249, doi : 10.1007/BF01504345 , ISSN   0025-5874 , MR   1544613 , S2CID   186223729
• Сафф, Э.Б .; Куйлаарс, ABJ (1997). «Распределение множества точек на сфере». Математика. Интеллигент . 19 (1): 5–11. дои : 10.1007/BF03024331 . МР   1439152 . S2CID   122562170 .
• Смейл, Стивен (1998), «Математические проблемы следующего столетия», The Mathematical Intelligencer , 20 (2): 7–15, doi : 10.1007/BF03025291 , ISSN   0343-6993 , MR   1631413 , S2CID   1331144