LAGUERRE - инвариант предоставил

В проективной геометрии Laguerre -Forsyth Invariant - это кубический дифференциал, который является инвариантом кривой проективной плоскости. Он назван в честь Эдмонда Лагерра и Эндрю Форсайта , последний из которых проанализировал инвариант в влиятельной книге об обычных дифференциальных уравнениях .

Предположим, это $p:\mathbf {P} ^{1}\to \mathbf {P} ^{2}$ Трехкратное постоянно дифференцируемое погружение проективной линии в проективную плоскость , с однородными координатами, данными $p(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))$ Тогда связано с P является обычным дифференциальным уравнением третьего порядка

$\left|{\begin{matrix}x&x'&x''&x'''\\x_{1}&x_{1}'&x_{1}''&x_{1}'''\\x_{2}&x_{2}'&x_{2}''&x_{2}'''\\x_{3}&x_{3}'&x_{3}''&x_{3}'''\\\end{matrix}}\right|=0.$

В целом это уравнение может быть помещено в форму

$x'''+Ax''+Bx'+Cx=0$

где $A,B,C$ являются рациональными функциями компонентов P и его производных. После изменения переменных формы $t\to f(t),x\to g(t)^{-1}x$, это уравнение может быть дополнительно уменьшено до уравнения без первого или второго производных терминов

$x'''+Rx=0.$

Инвариантный $P=(f')^{2}R$ это инвариант Laguerre -Forsyth.

Ключевым свойством P является то, что кубический дифференциал P ( DT ) ³ инвариантно в группе автоторфизма $PGL(2,\mathbf {R} )$ Проективной линии. Точнее, это инвариантно под $t\to {\frac {at+b}{ct+d}}$, $dt\to {\frac {ad-bc}{(ct+d)^{2}}}dt$, и $x\to C(ct+d)^{-2}x$.

Инвариантный P исчезает идентично, если (и только если) кривая является конической секцией . Точки, где p исчезает, называются секстактическими точками кривой. Это теорема Герглоц и радона , которую каждая закрытая строго выпуская кривая имеет по меньшей мере шесть секстактических точек. Этот результат был распространен на различные оптимальные минимумы для простых закрытых (но не обязательно выпуклой) кривых Thorbergsson & Umehara (2002) , в зависимости от класса гомотопии кривой в проективной плоскости.

Ссылки

• Сасаки, Шигео (1999), Проективная дифференциальная геометрия и линейные гомогенные дифференциальные уравнения
• Торбергссон, G; Умехара, М. (2002), «Секстактические точки на простой закрытой кривой» , Математический журнал Нагоя , 167 (4): 55–94