Граница Цирельсона

— Граница Цирельсона это верхний предел квантовомеханических корреляций между отдаленными событиями. Учитывая, что квантовая механика нарушает неравенства Белла (т. е. ее нельзя описать с помощью локальной теории скрытых переменных ), возникает естественный вопрос: насколько большим может быть нарушение? Ответом является именно оценка Цирельсона для рассматриваемого конкретного неравенства Белла. В общем, эта граница ниже, чем граница, которая была бы получена, если бы рассматривались более общие теории, ограниченные только «отсутствием сигналов» (т. е. тем, что они не допускают связи со скоростью, превышающей скорость света), и было посвящено много исследований. на вопрос, почему это так.

Границы Цирельсона названы в честь Бориса Сергеевича Цирельсона (или Цирельсона в другой транслитерации ), автора статьи. в котором был получен первый.

Оценка для неравенства CHSH

Первая граница Цирельсона была получена как верхняя граница корреляций, измеряемых в неравенстве CHSH . Он утверждает, что если у нас есть четыре ( эрмитовых ) дихотомических наблюдаемых $A_{0}$, $A_{1}$, $B_{0}$, $B_{1}$ (т.е. две наблюдаемые для Алисы и две для Боба ) с результатами $+1,-1$ такой, что $[A_{i},B_{j}]=0$ для всех $i,j$, затем

$\langle A_{0}B_{0}\rangle +\langle A_{0}B_{1}\rangle +\langle A_{1}B_{0}\rangle -\langle A_{1}B_{1}\rangle \leq 2{\sqrt {2}}.$

Для сравнения: в классическом случае (или локально реалистическом случае) верхняя граница равна 2, тогда как при любом произвольном назначении $+1,-1$ разрешено, оно равно 4. Граница Цирельсона достигается уже в том случае, если Алиса и Боб каждый производят измерения на кубите , простейшей нетривиальной квантовой системе.

Существует несколько доказательств этой границы, но, пожалуй, самое поучительное из них основано на тождестве Хальфина–Цирельсона–Ландау. Если мы определим наблюдаемую

${\mathcal {B}}=A_{0}B_{0}+A_{0}B_{1}+A_{1}B_{0}-A_{1}B_{1},$

и $A_{i}^{2}=B_{j}^{2}=\mathbb {I}$, т. е. если результаты наблюдаемых $+1,-1$, затем

${\mathcal {B}}^{2}=4\mathbb {I} -[A_{0},A_{1}][B_{0},B_{1}].$

Если $[A_{0},A_{1}]=0$ или $[B_{0},B_{1}]=0$, что можно рассматривать как классический случай, уже следует, что $\langle {\mathcal {B}}\rangle \leq 2$. В квантовом случае нам достаточно заметить, что ${\big \|}[A_{0},A_{1}]{\big \|}\leq 2\|A_{0}\|\|A_{1}\|\leq 2$, и граница Цирельсона $\langle {\mathcal {B}}\rangle \leq 2{\sqrt {2}}$ следует.

Другие неравенства Белла

Цирельсон также показал, что для любого двудольного полнокорреляционного неравенства Белла с m входами для Алисы и n входами для Боба соотношение между границей Цирельсона и локальной границей не превышает $K_{G}^{\mathbb {R} }(\lfloor r\rfloor ),$где $r=\min \left\{m,n,-{\frac {1}{2}}+{\sqrt {{\frac {1}{4}}+2(m+n)}}\right\},$и $K_{G}^{\mathbb {R} }(d)$ — постоянная Гротендика порядка d . Обратите внимание, что поскольку $K_{G}^{\mathbb {R} }(2)={\sqrt {2}}$, из этой оценки следует приведенный выше результат о неравенстве CHSH.

В общем, получение оценки Цирельсона для данного неравенства Белла — сложная задача, которую приходится решать в каждом конкретном случае. Даже не известно, что это разрешимо. Самый известный вычислительный метод для его определения сверху — это сходящаяся иерархия полуопределенных программ , иерархия NPA, которая, как правило, не останавливается. Точные значения известны еще для нескольких неравенств Белла:

Для неравенств Браунштейна–Кейвса имеем следующее:

$\langle {\text{BC}}_{n}\rangle \leq n\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right).$

Для неравенств WWŻB граница Цирельсона равна

$\langle {\text{WWZB}}_{n}\rangle \leq 2^{(n-1)/2}.$

Для $I_{3322}$ неравенство граница Цирельсона точно не известна, но конкретные реализации дают нижнюю границу 0,250 875 384 514 , а иерархия NPA дает верхнюю границу 0,250 875 384 513 9766 . Предполагается, что только бесконечномерные квантовые состояния могут достигать границы Цирельсона.

Вывод из физических принципов

Значительные исследования были посвящены поиску физического принципа, объясняющего, почему квантовые корреляции достигают только границы Цирельсона и не более того. Были найдены три таких принципа: отсутствие преимуществ для нелокальных вычислений, информационная причинность и макроскопическая локальность. То есть, если бы можно было достичь корреляции CHSH, превышающей границу Цирельсона, все такие принципы были бы нарушены.Граница Цирельсона также следует, если эксперимент Белла допускает сильно положительную квантовую меру.

Проблема Цирельсона

Существует два разных способа определения границы Цирельсона выражения Белла. Один требует, чтобы измерения находились в тензорной структуре произведения, а другой требует только того, чтобы они коммутировали. Проблема Цирельсона состоит в том, эквивалентны ли эти два определения. Более формально, пусть

$B=\sum _{abxy}\mu _{abxy}p(ab|xy)$

быть выражением Белла, где $p(ab|xy)$ вероятность получения результатов $a,b$ с настройками $x,y$. Тогда тензорное произведение, ограниченное Цирельсоном, представляет собой верхнюю границу значения, полученного в этом выражении Белла путем проведения измерений $A_{x}^{a}:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A}$ и $B_{y}^{b}:{\mathcal {H}}_{B}\to {\mathcal {H}}_{B}$ в квантовом состоянии $|\psi \rangle \in {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}$:

$T_{t}=\sup _{|\psi \rangle ,A_{x}^{a},B_{y}^{b}}\sum _{abxy}\mu _{abxy}\langle \psi |A_{x}^{a}\otimes B_{y}^{b}|\psi \rangle .$

Коммутирующая граница Цирельсона представляет собой верхнюю грань значения, полученного в этом выражении Белла путем проведения измерений $A_{x}^{a}:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}$ и $B_{y}^{b}:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}$ такой, что $\forall a,b,x,y;[A_{x}^{a},B_{y}^{b}]=0$ в квантовом состоянии $|\psi \rangle \in {\mathcal {H}}$:

$T_{c}=\sup _{|\psi \rangle ,A_{x}^{a},B_{y}^{b}}\sum _{abxy}\mu _{abxy}\langle \psi |A_{x}^{a}B_{y}^{b}|\psi \rangle .$

Поскольку тензорные алгебры произведений, в частности, коммутируют, $T_{t}\leq T_{c}$. В конечных размерностях коммутирующие алгебры всегда изоморфны (прямым суммам) тензорных алгебр-произведений, поэтому только для бесконечных измерений возможно, что $T_{t}\neq T_{c}$. Проблема Цирельсона состоит в том, для всех ли выражений Белла $T_{t}=T_{c}$.

Впервые этот вопрос был рассмотрен Борисом Цирельсоном в 1993 году, где он без доказательств утверждал, что $T_{t}=T_{c}$. попросил его предоставить доказательство Когда в 2006 году Антонио Асин , он понял, что то, что он имел в виду, не работает, и поставил вопрос как открытую проблему. Вместе с Мигелем Наваскуэсом и Стефано Пиронио Антонио Асин разработал иерархию полуопределенных программ, иерархию NPA, которая сходилась к коммутирующей границе Цирельсона. $T_{c}$ сверху, и хотел знать, сходится ли оно также к тензорному произведению, ограниченному Цирельсоном $T_{t}$, наиболее физически релевантный.

Поскольку можно произвести сходящуюся последовательность аппроксимаций к $T_{t}$ снизу, рассматривая конечномерные состояния и наблюдаемые, если $T_{t}=T_{c}$, то эту процедуру можно объединить с иерархией NPA для создания алгоритма остановки для вычисления границы Цирельсона, что делает ее вычислимым числом (обратите внимание, что по отдельности ни одна процедура вообще не останавливается). И наоборот, если $T_{t}$ не вычислимо, то $T_{t}\neq T_{c}$. В январе 2020 года Джи, Натараджан, Видик, Райт и Юэнь заявили, что доказали, что $T_{t}$ не вычислима, что решает проблему Цирельсона отрицательно; Было показано, что проблема Цирельсона эквивалентна проблеме вложения Конна : поэтому из того же доказательства также следует, что проблема вложения Конна ложна.

См. также

• Квантовая нелокальность
• Теорема Белла
• ЭПР-парадокс
• CHSH неравенство
• Квантовая псевдотелепатия