Критерий отказа Цая – Ву

Критерий разрушения Цая -Ву представляет собой феноменологическую теорию разрушения материалов , которая широко используется для анизотропных композиционных материалов, имеющих различную прочность при растяжении и сжатии. Критерий Цай-Ву предсказывает разрушение, когда индекс разрушения ламината достигает 1. Этот критерий разрушения является специализацией общего квадратичного критерия разрушения, предложенного Гольденблатом и Копновым. и может быть выражено в виде

$F_{i}~\sigma _{i}+F_{ij}~\sigma _{i}~\sigma _{j}\leq 1$

где $ij=1\dots 6$ и повторяющиеся индексы обозначают суммирование, а $F_{i},F_{ij}$ – экспериментально определяемые параметры прочности материала. Стрессы $\sigma _{i}$ выражаются в обозначениях Фойгта . Если поверхность разрушения должна быть замкнутой и выпуклой, то условия взаимодействия $F_{ij}$ должен удовлетворить

$F_{ii}F_{jj}-F_{ij}^{2}\geq 0$

что означает, что все $F_{ii}$ Условия должны быть положительными.

Критерий разрушения Цая – Ву для ортотропных материалов.

Для ортотропных материалов с тремя плоскостями симметрии, ориентированными по координатным направлениям, если предположить, что $F_{ij}=F_{ji}$ и что между членами нормального напряжения и напряжения сдвига (а также между членами сдвига) нет связи, общая форма критерия разрушения Цая – Ву сводится к

${\begin{aligned}F_{1}\sigma _{1}+&F_{2}\sigma _{2}+F_{3}\sigma _{3}+F_{4}\sigma _{4}+F_{5}\sigma _{5}+F_{6}\sigma _{6}\\&+F_{11}\sigma _{1}^{2}+F_{22}\sigma _{2}^{2}+F_{33}\sigma _{3}^{2}+F_{44}\sigma _{4}^{2}+F_{55}\sigma _{5}^{2}+F_{66}\sigma _{6}^{2}\\&\qquad +2F_{12}\sigma _{1}\sigma _{2}+2F_{13}\sigma _{1}\sigma _{3}+2F_{23}\sigma _{2}\sigma _{3}\leq 1\end{aligned}}$

Пусть прочность разрушения при одноосном растяжении и сжатии в трех направлениях анизотропии равна $\sigma _{1t},\sigma _{1c},\sigma _{2t},\sigma _{2c},\sigma _{3t},\sigma _{3c}$. Кроме того, предположим, что силы сдвига в трех плоскостях симметрии равны $\tau _{23},\tau _{12},\tau _{31}$ (и имеют одинаковую величину на плоскости, даже если знаки разные). Тогда коэффициенты ортотропного критерия разрушения Цая–Ву равны

${\begin{aligned}F_{1}=&{\cfrac {1}{\sigma _{1t}}}-{\cfrac {1}{\sigma _{1c}}}~;~~F_{2}={\cfrac {1}{\sigma _{2t}}}-{\cfrac {1}{\sigma _{2c}}}~;~~F_{3}={\cfrac {1}{\sigma _{3t}}}-{\cfrac {1}{\sigma _{3c}}}~;~~F_{4}=F_{5}=F_{6}=0\\F_{11}=&{\cfrac {1}{\sigma _{1c}\sigma _{1t}}}~;~~F_{22}={\cfrac {1}{\sigma _{2c}\sigma _{2t}}}~;~~F_{33}={\cfrac {1}{\sigma _{3c}\sigma _{3t}}}~;~~F_{44}={\cfrac {1}{\tau _{23}^{2}}}~;~~F_{55}={\cfrac {1}{\tau _{31}^{2}}}~;~~F_{66}={\cfrac {1}{\tau _{12}^{2}}}\\\end{aligned}}$

Коэффициенты $F_{12},F_{13},F_{23}$ можно определить с помощью эквибиаксиальных тестов. Если прочность разрушения при равноосном растяжении равна $\sigma _{1}=\sigma _{2}=\sigma _{b12},\sigma _{1}=\sigma _{3}=\sigma _{b13},\sigma _{2}=\sigma _{3}=\sigma _{b23}$ затем

${\begin{aligned}F_{12}&={\cfrac {1}{2\sigma _{b12}^{2}}}\left[1-\sigma _{b12}(F_{1}+F_{2})-\sigma _{b12}^{2}(F_{11}+F_{22})\right]\\F_{13}&={\cfrac {1}{2\sigma _{b13}^{2}}}\left[1-\sigma _{b13}(F_{1}+F_{3})-\sigma _{b13}^{2}(F_{11}+F_{33})\right]\\F_{23}&={\cfrac {1}{2\sigma _{b23}^{2}}}\left[1-\sigma _{b23}(F_{2}+F_{3})-\sigma _{b23}^{2}(F_{22}+F_{33})\right]\end{aligned}}$

Практически невозможность проведения этих равнодвухосных испытаний привела к острой нехватке экспериментальных данных по параметрам. $F_{12},F_{13},F_{23}$.

Можно показать, что критерий Цай-Ву является частным случаем обобщенного критерия доходности Хилла .

Критерий разрушения Цай-Ву для трансверсально-изотропных материалов

Для трансверсально-изотропного материала, если плоскость изотропии равна 1–2, то

$F_{1}=F_{2}~;~~F_{4}=F_{5}=F_{6}=0~;~~F_{11}=F_{22}~;~~F_{44}=F_{55}~;~~F_{13}=F_{23}~.$

Тогда критерий отказа Цая–Ву сводится к

${\begin{aligned}F_{2}(\sigma _{1}+\sigma _{2})&+F_{3}\sigma _{3}+F_{22}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})+F_{33}\sigma _{3}^{2}+F_{44}(\sigma _{4}^{2}+\sigma _{5}^{2})+F_{66}\sigma _{6}^{2}\\&\qquad +2F_{12}\sigma _{1}\sigma _{2}+2F_{23}(\sigma _{1}+\sigma _{2})\sigma _{3}\leq 1\end{aligned}}$

где $F_{66}=2(F_{11}-F_{12})$. Эта теория применима к однонаправленной композитной пластине, где направление волокон находится в направлении «3».

Чтобы поддерживать закрытые и эллипсоидальные поверхности разрушения для всех напряженных состояний, Цай и Ву также предложили условия устойчивости, которые принимают следующую форму для трансверсально-изотропных материалов:

$F_{22}~F_{33}-F_{23}^{2}\geq 0~;~~F_{11}^{2}-F_{12}^{2}\geq 0~.$

Критерий разрушения Цая – Ву при плоском напряжении

Для случая плоского напряжения с $\sigma _{1}=\sigma _{5}=\sigma _{6}=0$, критерий разрушения Цая–Ву сводится к

$F_{2}\sigma _{2}+F_{3}\sigma _{3}+F_{22}\sigma _{2}^{2}+F_{33}\sigma _{3}^{2}+F_{44}\sigma _{4}^{2}+2F_{23}\sigma _{2}\sigma _{3}\leq 1$

Сильные стороны выражений для $F_{i},F_{ij}$ в случае пластинки можно интерпретировать как $\sigma _{1c}$ = поперечная прочность на сжатие, $\sigma _{1t}$ = поперечная прочность на разрыв, $\sigma _{3c}$ = прочность на продольное сжатие, $\sigma _{3t}$ = продольная прочность, $\tau _{23}$ = прочность на продольный сдвиг, $\tau _{12}$ = прочность на поперечный сдвиг.

Критерий Цая – Ву для пен.

Критерий Цая-Ву для пен ПВХ с закрытыми порами в условиях плоской деформации можно выразить как

$F_{2}\sigma _{2}+F_{3}\sigma _{3}+F_{22}\sigma _{2}^{2}+F_{33}\sigma _{3}^{2}+2F_{23}\sigma _{2}\sigma _{3}=1-k^{2}$

где

$F_{23}=-{\cfrac {1}{2}}{\sqrt {F_{22}F_{33}}}~;~~k={\cfrac {\sigma _{4}}{\tau _{23}}}~.$

Для пенопласта ПВХ DIAB Divinycell H250 (плотность 250 кг/м3) значения прочности составляют $\sigma _{2c}=4.6$МПа, $\sigma _{2t}=7.3$МПа, $\sigma _{3c}=6.3$МПа, $\sigma _{3t}=10$МПа.

Для алюминиевых пенопластов, находящихся в плоском напряжении, можно использовать упрощенную форму критерия Цая-Ву, если предположить, что предел прочности при растяжении и сжатии одинаков и что на прочность при разрушении нет воздействия сдвига. Этот критерий можно записать в виде

$3~{\tilde {J}}_{2}+(\eta ^{2}-1)~{\tilde {I}}_{1}^{2}=\eta ^{2}$

где

${\tilde {J}}_{2}:={\tfrac {1}{3}}\left({\cfrac {\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{1c}^{2}}}-{\cfrac {\sigma _{1}\sigma _{2}}{\sigma _{1c}\sigma _{2c}}}+{\cfrac {\sigma _{2}^{2}}{\sigma _{2c}^{2}}}\right)~;~~{\tilde {I}}_{1}:={\cfrac {\sigma _{1}}{\sigma _{1c}}}+{\cfrac {\sigma _{2}}{\sigma _{2c}}}$

Критерий Цая – Ву для кости

Критерий несостоятельности Цай-Ву также применялся к трабекулярной кости / губчатой ​​кости. с разной степенью успеха. Количество $F_{12}$ было показано, что он имеет нелинейную зависимость от плотности кости.

См. также

• Теория разрушения материала
• Выход (инжиниринг)