Yff центр конгруэнтности

В геометрии центр сравнения Yff — это особая точка, связанная с треугольником. Эта особая точка является центром треугольника , и Питер Ифф начал исследование этого центра треугольника в 1987 году.

изоселайзер

Равнобедренным , такая , углом A в треугольнике △ ABC называется прямая, проходящая через точки P ₁ , Q ₁ , где P ₁ лежит на AB , а Q ₁ на AC что треугольник △ AP ₁ Q ₁ является равнобедренным треугольником . Изосселизатор угла A это линия перпендикулярная биссектрисе , угла A. — Изоселайзеры были изобретены Питером Иффом в 1963 году.

Yff центральный треугольник

  Базовый треугольник △ ABC

  △ А'П ₂ Q ₃ ≅   △ В ₁ Б'П ₃ ≅   △ P ₁ Q ₂ C' ≅

  △ A'B'C' ( центральный треугольник Yff )

Пусть △ ABC — любой треугольник. Пусть P ₁ Q ₁ — изоселизатор угла A , P ₂ Q ₂ — изоселизатор угла B и P ₃ Q ₃ изоселизатор угла C. — Пусть △ A'B'C' — треугольник, образованный тремя изоселизаторами. Четыре треугольника △ A'P ₂ Q ₃ , △ Q ₁ B'P ₃ , △ P ₁ Q ₂ C' и △ A'B'C' всегда подобны .

Существует единственный набор из трех изоселизаторов P ₁ Q ₁ , P ₂ Q ₂ , P ₃ Q ₃ таких, что четыре треугольника △ A'P ₂ Q ₃ , △ Q ₁ B'P ₃ , △ P ₁ Q ₂ C' , и △ ' конгруэнтны . A'B'C В этом особом случае △ A'B'C', тремя изоселизаторами, называется центральным треугольником Yff △ образованный ABC .

центрального Описанная окружность треугольника Yff называется центральной окружностью Yff треугольника.

Yff центр конгруэнтности

Анимация, показывающая непрерывное сужение центрального треугольника Yff до центра конгруэнтности Yff. Анимация также показывает непрерывное расширение центрального треугольника Yff до тех пор, пока три внешних треугольника не уменьшатся до точек на сторонах треугольника.

Пусть △ ABC — любой треугольник. Пусть P ₁ Q ₁ , P ₂ Q ₂ , P ₃ Q ₃ — равноосные углы A, B, C треугольник △ A'B'C' такие, что образованный ими является центральным треугольником Yff треугольника △ ABC . Три изоселизатора P ₁ Q ₁ , P ₂ Q ₂ , P ₃ Q ₃ непрерывно сдвигаются параллельно так, что три треугольника △ A'P ₂ Q ₃ , △ Q ₁ B'P ₃ , △ P ₁ Q ₂ C' всегда конгруэнтны друг другу до тех пор, пока △ A'B'C', образованный пересечениями изоселизаторов, не сведется в точку. Точка, к которой △ A'B'C' , называется центром конгруэнтности Yff △ сводится ABC .

Характеристики

Любой треугольник △ ABC — это треугольник, образованный линиями, касающимися снаружи трёх окружностей центрального треугольника Yff △ ABC .

• Трилинейные координаты центра конгруэнции Yff: $$\sec {\frac {A}{2}}:\sec {\frac {B}{2}}:\sec {\frac {C}{2}}$$
• Любой треугольник △ ABC — это треугольник, образованный линиями, касающимися снаружи трёх окружностей центрального треугольника Yff △ ABC .
• Пусть я буду центром ABC △ ​ . Пусть D — точка на стороне BC такая, что ∠ BID = ∠ DIC , E — точка на стороне CA такая, что ∠ CIE = ∠ EIA , и F — точка на стороне AB такая, что ∠ AIF = ∠ FIB . Тогда прямые AD, BE, CF совпадают в центре конгруэнции Yff. Этот факт дает геометрическую конструкцию для нахождения центра конгруэнтности Yff.
• Компьютерный поиск свойств центрального треугольника Yff позволил получить несколько интересных результатов, касающихся свойств центрального треугольника Yff.

Обобщение центра конгруэнтности Yff

Обобщение

Геометрическая конструкция для нахождения центра конгруэнции Yff имеет интересное обобщение. Обобщение начинается с произвольной точки P в плоскости треугольника △ ABC . Тогда точки D, E, F взяты на сторонах BC, CA, AB такие, что $$\angle BPD=\angle DPC,\quad \angle CPE=\angle EPA,\quad \angle APF=\angle FPB.$$Обобщение утверждает, что прямые AD, BE, CF параллельны.

См. также

• Конгруэнтная точка изоселизатора
• Центральный треугольник