Адаптивная оценка

В статистике адаптивная оценка — это оценка в параметрической или полупараметрической модели с мешающими параметрами , так что наличие этих мешающих параметров не влияет на эффективность оценки.

Определение

Формально, пусть параметр θ в параметрической модели состоит из двух частей: интересующий параметр ν ∈ N ⊆ R ^к , а мешающий параметр η ∈ H ⊆ R ^м . Таким образом, θ = ( ν,η ) ∈ N×H ⊆ R ^к+м . Тогда мы скажем, что $\scriptstyle {\hat {\nu }}_{n}$ является адаптивной оценкой ν η при наличии , если эта оценка регулярна и эффективна для каждой из подмоделей

${\mathcal {P}}_{\nu }(\eta _{0})={\big \{}P_{\theta }:\nu \in N,\,\eta =\eta _{0}{\big \}}.$

Адаптивная оценка одинаково хорошо оценивает интересующий параметр независимо от того, известно значение мешающего параметра или нет.

Необходимым условием в регулярной параметрической модели наличия адаптивной оценки является то, что

$I_{\nu \eta }(\theta )=\operatorname {E} [\,z_{\nu }z_{\eta }'\,]=0\quad {\text{for all }}\theta ,$

где z _ν и z _η являются компонентами оценочной функции, соответствующей параметрам ν и η соответственно, и, таким образом, I _νη является верхним правым k×m блоком информационной матрицы Фишера I ( θ ).

Пример

Предполагать $\scriptstyle {\mathcal {P}}$ это обычное семейство в масштабе местоположения :

${\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}(x-\mu )^{2}}\ {\Big |}\ \mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\ {\Big \}}.$

Тогда обычная оценка ${\hat {\mu }}\,=\,{\bar {x}}$ является адаптивным: мы можем одинаково хорошо оценить среднее значение независимо от того, знаем ли мы дисперсию или нет.

Основные ссылки

• Бикель, Питер Дж.; Крис Эй Джей Клаассен; Яаков Ритов; Джон А. Веллнер (1998). Эффективное и адаптивное оценивание полупараметрических моделей . Спрингер: Нью-Йорк. ISBN  978-0-387-98473-5 .

Другие полезные ссылки

• И. В. Благушин и Э. Моро: «Несмещенные адаптивные оценки кумулянта четвертого порядка для реального случайного сигнала с нулевым средним значением», IEEE Transactions on Signal Processing , vol. 57, нет. 9, стр. 3330–3346, сентябрь 2009 г.