Мультисрез

Мультисрезовый алгоритм ^[1] — метод моделирования упругого рассеяния электронного пучка веществом, включая все эффекты многократного рассеяния. Обзор метода представлен в книге Джона М. Коули . ^[2] а также работы Исидзуки. ^[3] Алгоритм используется при моделировании микроснимков просвечивающей электронной микроскопии высокого разрешения (HREM) и служит полезным инструментом для анализа экспериментальных изображений. ^[4] В этой статье описывается некоторая соответствующая справочная информация, теоретическая основа метода, используемые приближения и несколько пакетов программного обеспечения, реализующих этот метод. Описаны некоторые преимущества и ограничения метода, а также важные соображения, которые необходимо принять во внимание.

Предыстория [ править ]

Многосрезовый метод нашел широкое применение в электронной микроскопии и кристаллографии . Сопоставление кристаллической структуры с ее изображением или картиной электронной дифракции относительно хорошо изучено и документировано. Однако обратное преобразование изображений электронной микрофотографии в кристаллическую структуру обычно более сложное. Тот факт, что изображения представляют собой двумерные проекции трехмерной кристаллической структуры, делает утомительным сравнение этих проекций со всеми возможными кристаллическими структурами. Следовательно, использование численных методов при моделировании результатов для различной кристаллической структуры является неотъемлемой частью области электронной микроскопии и кристаллографии. Существует несколько пакетов программного обеспечения для моделирования электронных микрофотографий.

В литературе существуют два широко используемых метода моделирования: метод волн Блоха, ^[5] вытекает из Ганса Бете , оригинального теоретического подхода ^[6] и многосрезовый метод. В данной статье основное внимание уделяется многосрезовому методу моделирования динамической дифракции, включая эффекты многократного упругого рассеяния. Большинство существующих пакетов реализуют многосрезовый алгоритм вместе с анализом Фурье для включения эффектов аберрации электронной линзы для определения изображения электронного микроскопа и решения таких аспектов, как фазовый контраст и дифракционный контраст. Для образцов электронного микроскопа в виде тонкой кристаллической пластинки в геометрии пропускания целью этих программных пакетов является создание карты кристаллического потенциала, однако этот процесс инверсии сильно усложняется наличием многократного упругого рассеяния.

Первое описание того, что сейчас известно как теория мультисрезов, было дано в классической статье Коули и Муди. ^[1] В этой работе авторы описывают рассеяние электронов, используя подход физической оптики, не прибегая к квантовомеханическим аргументам. Многие другие выводы этих итерационных уравнений с тех пор были даны с использованием альтернативных методов, таких как функции Гринса, дифференциальные уравнения, матрицы рассеяния или методы интеграла по траекториям, см., например, книгу Лианмао Пэна , Сергея Дударева и Майкла Уилана . ^[7]

Краткое изложение разработки компьютерного алгоритма на основе теории мультисрезов Коули и Муди для численных вычислений было представлено Гудманом и Муди. ^[8] Они также подробно обсудили связь мультисрезов с другими составами. В частности, используя теорему Зассенхауза, в этой статье дается математический путь от мультисрезов к 1. Уравнению Шредингера , 2. Дифференциальным уравнениям Дарвина, широко используемым для дифракционного контраста, моделированию изображений в просвечивающей электронной микроскопии (ПЭМ) - уравнениям Хауи -Уилана, ^[9] 3. Метод матрицы рассеяния Стерки. ^[10] 4. случай распространения в свободном пространстве, 5. Приближение фазовой решетки, 6. Новое приближение «толстой фазовой решетки», которое никогда не использовалось, 7. Полиномиальное выражение Муди для многократного рассеяния, 8. Фейнмана Интеграл по траектории формулировка и 9. связь мультисрезов с рядом Борна . Взаимосвязь между алгоритмами резюмирована в разделе 5.11 работы Спенса (2013): ^[11] (см. рисунок 5.9).

Теория [ править ]

Представленная здесь форма мультисрезового алгоритма была адаптирована из Peng, Dudarev and Whelan 2003. ^[7] Мультисрезовый алгоритм — это подход к решению уравнения Шрёдингера :

${\begin{aligned}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi (x,t)}{\partial x^{2}}}+V(x,t)\Psi (x,t)&=E\Psi (x,t)\end{aligned}}$

В 1957 году Коули и Муди показали, что уравнение Шредингера можно решить аналитически, чтобы оценить амплитуды дифрагированных лучей. ^[1] Впоследствии можно рассчитать эффекты динамической дифракции, и полученное смоделированное изображение будет иметь хорошее сходство с реальным изображением, полученным с микроскопа в динамических условиях. Более того, мультисрезовый алгоритм не делает никаких предположений о периодичности структуры и, таким образом, может использоваться для моделирования HREM -изображений апериодических систем.

Следующий раздел будет включать математическую формулировку многосрезового алгоритма. Уравнение Шредингера также можно представить в виде падающей и рассеянной волны как:

${\begin{aligned}\Psi ({\mathbf {r} })&=\Psi _{0}({\mathbf {r} })+\int {G({\mathbf {r,r'} })V({\mathbf {r'} })\Psi ({\mathbf {r'} })d{\mathbf {r'} }}\end{aligned}}$

где $G(\mathbf {r,r'} )$ это функция Грина, которая представляет амплитуду волновой функции электрона в точке $\mathbf {r}$ из-за источника в данный момент $\mathbf {r'}$ .

Следовательно, для падающей плоской волны вида $\Psi (r)=\exp(i\mathbf {k\cdot r} )$ уравнение Шредингера можно записать как

{\begin{aligned}\Psi ({\mathbf {r} })=\exp(i{\mathbf {k\cdot r} })-{\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\int {\frac {\exp(ik\cdot {\mathbf {|r-r'|} })}{\mathbf {|r-r'|} }}V({\mathbf {r'} })\Psi ({\mathbf {r'} })dr'.\end{aligned}}

( 1 )

Затем мы выбираем ось координат таким образом, чтобы падающий луч попадал на образец в точке (0,0,0) в ${\hat {z}}$ -направление, т.е. ${\textstyle \mathbf {k} =(0,0,k)}$ . Теперь рассмотрим волновую функцию $\Psi (r)=\phi (\mathbf {r} )\exp(i\mathbf {k\cdot r} )$ с функцией модуляции $\phi ({\mathbf {r} })$ для амплитуды. Тогда уравнение ( 1 ) становится уравнением для функции модуляции, т.е.

${\begin{aligned}\phi ({\mathbf {r} })&=1-{\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\int {{\frac {\exp[ik|{\mathbf {r-r'} }|-i{\mathbf {k} }\cdot ({\mathbf {r-r'} })]}{|{\mathbf {r-r'} }|}}V({\mathbf {r'} )\phi ({\mathbf {r'} })}dr'}\end{aligned}}$ .

Теперь сделаем замены относительно системы координат, которую мы придерживались, т.е.

${\begin{aligned}{\mathbf {k} }\cdot ({\mathbf {r-r'} })&=k(z-z')\\|{\mathbf {r-r'} }|&\approx (z-z')+({\mathbf {X-X'} })^{2}/{2(z-z')}\end{aligned}}$

где ${\boldsymbol {X}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ .

Таким образом

${\begin{aligned}\phi ({\mathbf {r} })=1-i{\frac {\pi }{E\lambda }}\int \int \limits _{z'=-\infty }^{z'=z}V({\mathbf {X'} },z')\phi ({\mathbf {X'} },z'){\frac {1}{i\lambda (z-z')}}\exp \left(ik{\frac {|{\mathbf {X-X'} }|^{2}}{2(z-z')}}\right)d{\mathbf {X'} }dz'\end{aligned}}$ ,

где $\lambda =2\pi /k$ длина волны электронов с энергией $E=\hbar ^{2}k^{2}/{2m}$ и ${\begin{aligned}\sigma =\pi /E\lambda \end{aligned}}$ – константа взаимодействия. До сих пор мы создали математическую формулировку волновой механики, не обращая внимания на рассеяние в материале. Далее нам нужно учитывать поперечное разброс, что делается с помощью функции распространения Френеля.

${\begin{aligned}p({\mathbf {X} },z)={\frac {1}{iz\lambda }}\exp \left(ik{\frac {{\mathbf {X} }^{2}}{2z}}\right)\end{aligned}}$ .

Толщина каждого среза, по которому выполняется итерация, обычно невелика, и в результате внутри среза потенциальное поле можно аппроксимировать постоянным. $V({\mathbf {X'} },z)$ . Впоследствии функцию модуляции можно представить как:

${\begin{aligned}\phi ({\mathbf {X} },z_{n+1})=\int p({\mathbf {X} }-{\mathbf {X'} },z_{n+1}-z_{n})\phi ({\mathbf {X} },z_{n})\exp \left(-i\sigma \int \limits _{z_{n}}^{z_{n+1}}V({\mathbf {X'} },z')dz'\right)dX'\end{aligned}}$

Таким образом, мы можем представить функцию модуляции в следующем срезе.

${\begin{aligned}\phi _{n+1}=\phi ({\mathbf {X} },z_{n+1})=[q_{n}\phi _{n}]*p_{n}\end{aligned}}$

где * представляет свертку, $p_{n}=p({\mathbf {X} },z_{n+1}-z_{n})$ и $q_{n}({\mathbf {X} })$ определяет функцию передачи среза.

${\begin{aligned}q_{n}({\mathbf {X} })=\exp\{-i\sigma \int \limits _{z_{n}}^{z_{n+1}}V({\mathbf {X} },z')dz'\}\end{aligned}}$

Следовательно, итеративное применение вышеупомянутой процедуры обеспечит полную интерпретацию выборки в контексте. Кроме того, следует еще раз подчеркнуть, что не делалось никаких предположений относительно периодичности выборки, кроме предположения, что потенциальная $V(\mathbf {X} ,z)$ является однородным внутри среза. В результате очевидно, что этот метод в принципе будет работать для любой системы. Однако для апериодических систем, в которых потенциал будет быстро меняться вдоль направления луча, толщина среза должна быть значительно малой и, следовательно, приведет к более высоким вычислительным затратам.

Таблица 1. Вычислительная эффективность дискретного преобразования Фурье по сравнению с быстрым преобразованием Фурье
Точки данных	$\mathbf {log_{2}}$ Н	Дискретный ПФ	Фаст ФТ	Соотношение
64	6	4,096	384	10.7
128	7	16,384	896	18.3
256	8	65,536	2,048	32
512	9	262,144	4,608	56.9
1,024	10	1,048,576	10,240	102.4
2,048	11	4,194,304	22,528	186.2

соображения Практические

Основная предпосылка состоит в том, чтобы рассчитать дифракцию от каждого слоя атомов, используя быстрое преобразование Фурье (БПФ) и умножая каждое из них на член фазовой решетки. Затем волна умножается на распространитель, обратное преобразование Фурье, еще раз умножается на член фазовой решетки, и процесс повторяется. Использование БПФ, в частности, дает значительное вычислительное преимущество по сравнению с методом волн Блоха, поскольку алгоритм БПФ включает в себя $N\log N$ шагов по сравнению с проблемой диагонализации волнового решения Блоха, которая масштабируется как $N^{2}$ где $N$ — число атомов в системе. (См. Таблицу 1 для сравнения времени вычислений).

Самый важный шаг в выполнении многосрезового расчета — это настройка элементарной ячейки и определение соответствующей толщины среза. В общем, элементарная ячейка, используемая для моделирования изображений, будет отличаться от элементарной ячейки, которая определяет кристаллическую структуру конкретного материала. Основная причина этого связана с эффектами наложения спектров, которые возникают из-за ошибок округления в вычислениях БПФ. Требование о добавлении дополнительных «заполнений» к элементарной ячейке получило номенклатуру «суперячейка», а требование добавить эти дополнительные пиксели к базовой элементарной ячейке требует вычислительных затрат.

Чтобы проиллюстрировать эффект выбора слишком тонкой толщины среза, рассмотрим простой пример. Пропагатор Френеля описывает распространение электронных волн в направлении z (направлении падающего луча) в твердом теле:

${\tilde {\phi }}(\mathbf {u} ,z)={\tilde {\phi }}(\mathbf {u} ,z=0)\exp(\pi i\lambda \mathbf {u} ^{2}z)$

Где $\mathbf {u}$ – координата обратной решетки, z – глубина образца, $\lambda$ – длина волны электронной волны (связанная с волновым вектором соотношением $k=2\pi /\lambda$ ). В случае малоуглового приближения ( $\theta \sim$ 100 мрад) мы можем аппроксимировать фазовый сдвиг как $\Delta z$ . Для 100 мрад ошибка $d-S$ составляет порядка 0,5%, поскольку $\cos(0.1)=0.995$ . Для малых углов это приближение справедливо независимо от количества срезов, хотя выбор $\Delta z$ больше, чем параметр решетки (или половина параметра решетки в случае перовскитов) для многосрезового моделирования, приведет к отсутствию атомов, которые должны находиться в кристаллическом потенциале.

Дополнительные практические проблемы заключаются в том, как эффективно учитывать такие эффекты, как неупругое и диффузное рассеяние, квантованные возбуждения (например, плазмоны, фононы, экситоны) и т. д. Был один код, который учитывал эти вещи с помощью подхода функции когерентности. ^[12] называется Yet Another Multislice (YAMS), но код больше недоступен ни для скачивания, ни для покупки.

Доступное программное обеспечение [ править ]

Существует несколько пакетов программного обеспечения для выполнения многосрезового моделирования изображений. Среди них NCEMSS, NUMIS, MacTempas и Kirkland. Существуют и другие программы, но, к сожалению, многие из них не поддерживаются (например, SHRLI81 Майка О'Кифа из Национальной лаборатории Лоуренса Беркли и Cerius2 из Accerlys). Краткая хронология мультисрезовых кодов представлена в таблице 2, хотя она ни в коем случае не является исчерпывающей.

Таблица 2. Временная шкала различных мультисрезовых кодов
Кодовое имя	Автор	Год выпуска
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ	О'Киф	1978
ШАГ	Килаас	1987
НУМИС	Знаки	1987
НЦЭМСС	О'Киф и Клаус	1988
МакТЕМПАС	Килаас	1978
ТЕМСИМ	Киркланд	1988
ДЖМУЛТИС	Цзо	1990
HREMRИсследование	Исидзука	2001
ДЖЕЙМС	Штадельманн	2004

ACEM/JCSTEM [ править ]

Это программное обеспечение разработано Эрлом Киркландом из Корнелльского университета. Этот код доступен бесплатно в виде интерактивного Java-апплета и отдельного кода, написанного на C/C++. Java-апплет идеально подходит для быстрого ознакомления и моделирования в рамках базового приближения некогерентной линейной визуализации. Код ACEM сопровождает превосходный одноименный текст Киркланда, в котором подробно описываются базовая теория и вычислительные методы моделирования электронных микрофотографий (включая мультисрезы). Основные процедуры C/C++ используют интерфейс командной строки (CLI) для автоматического пакетного выполнения большого количества симуляций. Пакет ACEM также включает графический интерфейс пользователя, который больше подходит новичкам. Факторы рассеяния атомов в ACEM точно характеризуются 12-параметрической подгонкой гауссианов и лоренцианов к релятивистским расчетам Хартри – Фока.

НЦЭМСС [ править ]

Этот пакет был выпущен Национальным центром электронной микроскопии высокого разрешения. Эта программа использует графический пользовательский интерфейс, управляемый мышью, и написана Роаром Килаасом и Майком О'Кифом из Национальной лаборатории Лоуренса Беркли. Хотя код больше не разрабатывается, программа доступна через пакет Electron Direct Methods (EDM), написанный Лоуренсом Д. Марксом из Северо-Западного университета. Факторы Дебая-Валлера могут быть включены в качестве параметра для учета диффузного рассеяния, хотя точность неясна (т.е. необходимо хорошее предположение о факторе Дебая-Валлера).

НУМИС [ править ]

Система мультисрезов и изображений Северо-Западного университета ( NUMIS ) — это пакет, написанный Лоуренсом Марксом из Северо-Западного университета. Он использует интерфейс командной строки (CLI) и основан на UNIX. Для запуска этого кода в качестве входных данных необходимо предоставить файл структуры, что делает его идеальным для опытных пользователей. Мультисрезовые программы NUMIS используют традиционный мультисрезовый алгоритм, вычисляя волновую функцию электронов на дне кристалла и моделируя изображение с учетом различных параметров, специфичных для прибора, включая $C_{s}$ и конвергенция. Эту программу удобно использовать, если у вас уже есть файлы структуры материала, которые использовались в других расчетах (например, в теории функционала плотности). Эти структурные файлы можно использовать для общих структурных факторов рентгеновского снимка, которые затем используются в качестве входных данных для процедуры PTBV в NUMIS. Параметры микроскопа можно изменить с помощью процедуры MICROVB.

МакТемпас [ править ]

Это программное обеспечение специально разработано для работы в Mac OS X Роаром Килаасом из Национальной лаборатории Лоуренса Беркли. Он имеет удобный пользовательский интерфейс и поддерживается в хорошем состоянии по сравнению со многими другими кодами (последнее обновление — май 2013 г.). Он доступен (за отдельную плату) отсюда .

JMULTIS [ править ]

Это программное обеспечение для многосрезового моделирования было написано на FORTRAN 77 Дж. М. Цзо, когда он был научным сотрудником-постдоком в Университете штата Аризона под руководством Джона Спенса . Исходный код был опубликован в книге «Электронная микродифракция». ^[13] В книге также было опубликовано сравнение мультисрезового моделирования и моделирования волн Блоха для ZnTe. Сообщалось об отдельном сравнении нескольких многосрезовых алгоритмов в 2000 году. ^[14]

КСТЕМ [ править ]

Пакет программного обеспечения для количественного моделирования TEM/STEM (QSTEM) был написан Кристофером Кохом из Берлинского университета имени Гумбольдта в Германии. Позволяет моделировать HAADF, ADF, ABF-STEM, а также обычные TEM и CBED. Исполняемый файл и исходный код доступны для бесплатного скачивания на сайте группы Koch .

СТВОЛОВЫЕ КЛЕТКИ [ править ]

Это код, написанный Винченцо Грилло из Института нанонауки (CNR) в Италии. Этот код, по сути, представляет собой графический интерфейс для многосрезового кода, написанного Киркландом, с большим количеством дополнительных функций. К ним относятся инструменты для создания сложных кристаллических структур, моделирования изображений HADF и моделирования зонда STEM, а также моделирования деформации материалов. Также доступны инструменты для анализа изображений (например, GPA) и фильтрации.Код довольно часто обновляется новыми функциями, и поддерживается список рассылки для пользователей. В свободном доступе на их сайте .

ДР. ЗОНД [ править ]

Моделирование многосрезовых изображений для сканирования с высоким разрешением и когерентной визуализации просвечивающей электронной микроскопии, написанное Юри Бартелем из Центра Эрнста Руска в Исследовательском центре Юлиха . Программное обеспечение включает в себя версию графического пользовательского интерфейса для прямой визуализации расчетов изображений STEM, а также набор модулей командной строки для более комплексных расчетных задач. Программы написаны с использованием Visual C++, Fortran 90 и Perl. Исполняемые двоичные файлы для 32- и 64-битных операционных систем Microsoft Windows доступны бесплатно на веб-сайте .

КЛТЕМ [ править ]

Программное обеспечение OpenCL для ускорения мультисрезов, написанное Адамом Дайсоном и Джонатаном Питерсом из Университета Уорика . По состоянию на октябрь 2019 года clTEM находится в разработке.

cudaEM [ править ]

Код cudaEM — это код с поддержкой нескольких графических процессоров на основе CUDA для многосрезового моделирования, разработанный группой Стивена Пенникука.

Ссылки [ править ]

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Дж. М. Коули и А. Ф. Муди (1957). «Рассеяние электронов атомами и кристаллами. I. Новый теоретический подход». Акта Кристаллографика . Том. 10.
^ Джон М. Коули (1995). Дифракционная физика, 3-е изд . Издательство Северной Голландии.
^ Исидзука, Кадзуо (2004). «Мультисрезовый метод БПФ — серебряная годовщина» . Микроскопия и микроанализ . 10 (1): 34–40. дои : 10.1017/S1431927604040292 . ISSN 1431-9276 .
^ Доктор Эрл Дж. Киркланд. Передовые вычисления в электронной микроскопии .
^ Метерелл, Эй Джей (1975). Электронная микроскопия в материаловедении: Часть II . Комиссия Европейских Сообществ. стр. 397–552.
^ Бете, Х. (1928). «Теория дифракции электронов на кристаллах» . Анналы физики (на немецком языке). 392 (17): 55–129. дои : 10.1002/andp.19283921704 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Пэн, Л.-М.; Дударев С.Л.; Уилан, MJ (2011). Дифракция и микроскопия быстрых электронов . Монографии по физике и химии материалов (1-е изд. в мягкой обложке под изд.). Оксфорд: Оксфордский университет. Нажимать. ISBN 978-0-19-960224-7 .
^ П. Гудман и А. Ф. Муди, Acta Crystallogr. 1974, А30, 280
^ Хирш, ПБ, изд. (1971). Электронная микроскопия тонких кристаллов (4-е оттиск. изд.). Лондон: Баттерворт. ISBN 978-0-408-18550-9 .
^ Стерки, Лоренцо (1962). «Расчет интенсивностей дифракции электронов» . Труды Физического общества . 80 (2): 321–354. дои : 10.1088/0370-1328/80/2/301 . ISSN 0370-1328 .
^ Джон Ч. Спенс (2013). Электронная микроскопия высокого разрешения. 4-е изд . Издательство Оксфордского университета.
^ Хайко Мюллер (2000). Подход с использованием функции когерентности к моделированию изображений (доктор философии). С кафедры физики Дармштадтского технического университета.
^ Электронная микродифракция, JCH Spence и JM Zuo, Plenum, Нью-Йорк, 1992.
^ Кох, К. и Дж. М. Цзо, «Сравнение многосрезовых компьютерных программ для моделирования рассеяния электронов и волнового метода Блоха», Микроскопия и микроанализ, Vol. 6 Доп. 2, 126–127 (2000).

[Cowley-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Дж. М. Коули и А. Ф. Муди (1957). «Рассеяние электронов атомами и кристаллами. I. Новый теоретический подход». Акта Кристаллографика . Том. 10.

[CowleyDP-2] Джон М. Коули (1995). Дифракционная физика, 3-е изд . Издательство Северной Голландии.

[3] Исидзука, Кадзуо (2004). «Мультисрезовый метод БПФ — серебряная годовщина» . Микроскопия и микроанализ . 10 (1): 34–40. дои : 10.1017/S1431927604040292 . ISSN 1431-9276 .

[Kirkland-4] Доктор Эрл Дж. Киркланд. Передовые вычисления в электронной микроскопии .

[5] Метерелл, Эй Джей (1975). Электронная микроскопия в материаловедении: Часть II . Комиссия Европейских Сообществ. стр. 397–552.

[6] Бете, Х. (1928). «Теория дифракции электронов на кристаллах» . Анналы физики (на немецком языке). 392 (17): 55–129. дои : 10.1002/andp.19283921704 .

[:0-7] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Пэн, Л.-М.; Дударев С.Л.; Уилан, MJ (2011). Дифракция и микроскопия быстрых электронов . Монографии по физике и химии материалов (1-е изд. в мягкой обложке под изд.). Оксфорд: Оксфордский университет. Нажимать. ISBN 978-0-19-960224-7 .

[8] П. Гудман и А. Ф. Муди, Acta Crystallogr. 1974, А30, 280

[9] Хирш, ПБ, изд. (1971). Электронная микроскопия тонких кристаллов (4-е оттиск. изд.). Лондон: Баттерворт. ISBN 978-0-408-18550-9 .

[10] Стерки, Лоренцо (1962). «Расчет интенсивностей дифракции электронов» . Труды Физического общества . 80 (2): 321–354. дои : 10.1088/0370-1328/80/2/301 . ISSN 0370-1328 .

[SpenceHREM-11] Джон Ч. Спенс (2013). Электронная микроскопия высокого разрешения. 4-е изд . Издательство Оксфордского университета.

[Physik-12] Хайко Мюллер (2000). Подход с использованием функции когерентности к моделированию изображений (доктор философии). С кафедры физики Дармштадтского технического университета.

[13] Электронная микродифракция, JCH Spence и JM Zuo, Plenum, Нью-Йорк, 1992.

[14] Кох, К. и Дж. М. Цзо, «Сравнение многосрезовых компьютерных программ для моделирования рассеяния электронов и волнового метода Блоха», Микроскопия и микроанализ, Vol. 6 Доп. 2, 126–127 (2000).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]