Тело Сирса – Хаака

Тело Сирса-Хаака - это форма с наименьшим теоретическим волновым сопротивлением в сверхзвуковом потоке для тонкого твердого тела или вращения с заданной длиной и объемом тела. Математический вывод предполагает сверхзвуковой поток с малыми возмущениями (линеаризованный), который определяется уравнением Прандтля – Глауэрта . Вывод и форма были опубликованы независимо двумя отдельными исследователями: Вольфгангом Хааком в 1941 году и позже Уильямом Сирсом в 1947 году. ^[1]^[2]^[3]

Теория Кармана-Мура показывает, что волновое сопротивление масштабируется как квадрат второй производной распределения площади: $D_{\text{wave}}\sim [S''(x)]^{2}$ (см. полное выражение ниже), поэтому для малого волнового сопротивления необходимо, чтобы $S(x)$ быть гладким . Таким образом, тело Сирса–Хаака заострено на каждом конце и плавно растет до максимума, а затем плавно уменьшается ко второй точке.

Полезные формулы

Площадь поперечного сечения тела Сирса – Хаака равна

S(x)={\frac {16V}{3L\pi }}[4x(1-x)]^{3/2}=\pi R_{\text{max}}^{2}[4x(1-x)]^{3/2},

его объем

V={\frac {3\pi ^{2}}{16}}R_{\text{max}}^{2}L,

его радиус

r(x)=R_{\text{max}}[4x(1-x)]^{3/4},

производная (наклон) равна

r'(x)=3R_{\text{max}}[4x(1-x)]^{-1/4}(1-2x),

вторая производная

r''(x)=-3R_{\text{max}}\{[4x(1-x)]^{-5/4}(1-2x)^{2}+2[4x(1-x)]^{-1/4}\},

где:

х — отношение расстояния от носа к длине всего тела (всегда от 0 до 1),
r — местный радиус,
$R_{\text{max}}$ - максимальный радиус (происходит при x = 0,5, в центре формы),
V – объем,
L – длина.

Из теории Кармана-Мура следует, что:

D_{\text{wave}}=-{\frac {1}{4\pi }}\rho U^{2}\int _{0}^{\ell }\int _{0}^{\ell }S''(x_{1})S''(x_{2})\ln |x_{1}-x_{2}|\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2},

альтернативно:

D_{\text{wave}}=-{\frac {1}{2\pi }}\rho U^{2}\int _{0}^{\ell }S''(x)\mathrm {d} x\int _{0}^{x}S''(x_{1})\ln(x-x_{1})\mathrm {d} x_{1}.

Эти формулы можно объединить, чтобы получить следующее:

D_{\text{wave}}={\frac {64V^{2}}{\pi L^{4}}}\rho U^{2}={\frac {9\pi ^{3}R_{max}^{4}}{4L^{2}}}\rho U^{2},

C_{D_{\text{wave}}}={\frac {24V}{L^{3}}}={\frac {9\pi ^{2}R_{max}^{2}}{2L^{2}}},

где:

$D_{\text{wave}}$ – сила волнового сопротивления ,
$C_{D_{\text{wave}}}$ - коэффициент лобового сопротивления (нормированный на динамическое давление и лобовую площадь),
$\rho$ - плотность жидкости,
U — скорость.

Вывод

Согласно теории Кармана-Мура , сила сопротивления волны определяется выражением

F=-{\frac {\rho U^{2}}{2\pi }}\int _{0}^{l}\int _{0}^{l}S''(\xi _{1})S''(\xi _{2})\ln |\xi _{2}-\xi _{1}|d\xi _{1}d\xi _{2}

где $S(x)$ – площадь поперечного сечения тела, перпендикулярного оси тела; здесь $x=0$ представляет передовой край и $x=l$ является задней кромкой, хотя теория Кармана – Мура не различает эти концы, поскольку в линейной теории коэффициент сопротивления не зависит от направления движения. Вместо $S(x)$ , мы можем определить функцию $f(x)=S'(x)$ и разложить его последовательно

f=-l\sum _{n=2}^{\infty }A_{n}\sin n\theta ,\quad x={\frac {l}{2}}(1-\cos \theta )

где $0\leq \theta \leq \pi$ . Серия начинается с $n=2$ из-за состояния $S(0)=S(l)=0$ . У нас есть

S(x)=\int _{0}^{x}f(x)dx,\quad V=\int _{0}^{l}S(x)dx={\frac {\pi }{16}}l^{3}A_{2}.

Заметим, что объем тела зависит только от коэффициента $A_{2}$ .

Чтобы вычислить силу сопротивления, сначала мы перепишем формулу силы сопротивления, проинтегрировав ее по частям один раз:

F=\mathrm {p.v.} {\frac {\rho U^{2}}{2\pi }}\int _{0}^{l}\int _{0}^{l}f(\xi _{1})f'(\xi _{2}){\frac {d\xi _{1}d\xi _{2}}{\xi _{1}-\xi _{2}}}

в котором $\mathrm {p.v.}$ означает главное значение Коши . Теперь мы можем заменить расширение на $f$ и интегрируем выражение, используя следующие два тождества

\mathrm {p.v.} \int _{0}^{\pi }{\frac {\cos n\theta _{2}}{\cos \theta _{2}-\cos \theta _{1}}}d\theta _{2}={\frac {\pi \sin n\theta _{1}}{\sin \theta _{1}}},\quad \int _{0}^{\pi }\sin n\theta _{1}\sin m\theta _{1}d\theta _{1}={\frac {\pi }{2}}{\begin{cases}1\,\,(m=n),\\0,\,\,(m\neq n).\end{cases}}

Конечный результат, выраженный через коэффициент аэродинамического сопротивления $C_{d}=F/\rho U^{2}l^{2}/2$ , просто задается формулой ^[4]

C_{d}={\frac {\pi }{4}}\sum _{n=2}^{\infty }nA_{n}^{2}.

С $V$ зависит только от $A_{2}$ , минимальное значение $F$ достигается, когда $A_{n}=0$ для $n\geq 3$ .

Таким образом, постановка $A_{n}=0$ для $n\geq 3$ , мы получаем $S=(1/3)l^{3}A_{2}\sin ^{3}\theta$ ,

C_{d}={\frac {128}{\pi }}\left({\frac {V}{l^{3}}}\right)^{2}={\frac {9\pi }{2}}\left({\frac {S_{\mathrm {max} }}{l^{2}}}\right)^{2},\quad R(x)={\frac {8{\sqrt {2}}}{\pi }}\left({\frac {V}{3l^{4}}}\right)^{1/2}[x(l-x)]^{3/4},

где $R(x)$ радиус как функция $x$ .

Обобщение RT Jones

Вывод Сирса-Хаака по форме тела верен только в пределах стройного тела.Теория была обобщена на тонкие, но неосесимметричные формы Робертом Т. Джонсом в отчете NACA 1284. ^[5] В этом расширении область $S(x)$ определяется на конусе Маха , вершина которого находится в месте $x$ , а не на $x={\text{constant}}$ самолет, как предполагали Сирс и Хаак. Следовательно, теория Джонса делает ее применимой к более сложным формам, таким как целые сверхзвуковые самолеты.

Правило области

На первый взгляд связанная концепция - это правило площади Уиткомба , которое гласит, что волновое сопротивление, обусловленное объемом в трансзвуковом потоке, зависит в первую очередь от распределения общей площади поперечного сечения, а для низкого волнового сопротивления это распределение должно быть плавным. Распространенным заблуждением является то, что тело Сирса-Хаака имеет идеальное распределение площадей в соответствии с правилом площадей, но это неверно. Уравнение Прандтля -Глауэрта , которое является отправной точкой в выводе формы тела Сирса-Хаака, недействительно в трансзвуковом потоке, где применяется правило площади .

См. также

Ссылки

^ Хаак, В. (1941). Формы снарядов с наименьшим волновым сопротивлением. Отчет Общества Лилиенталя, 136(1), 14-28.
^ Сирс, WR (1947). На снарядах минимального волнового сопротивления. Ежеквартальный журнал прикладной математики, 4 (4), 361–366.
^ Паланиаппан, Картик (2004). Тела, имеющие минимальное сопротивление давлению в сверхзвуковом потоке - исследование нелинейных эффектов (PDF) . 22-я конференция и выставка по прикладной аэродинамике. Энтони Джеймсон . Проверено 16 сентября 2010 г.
^ Ландау, Л.Д., и Лифшиц, Э.М. (2013). Механика жидкости: Ландау и Лифшиц: Курс теоретической физики, Том 6 (Том 6). Эльзевир. стр. 473-474.
^ Отчет NACA 1284, Теория сопротивления крыла и корпуса на сверхзвуковых скоростях, Роберт Т. Джонс, 8 июля 1953 г.

Внешние ссылки

[1] Хаак, В. (1941). Формы снарядов с наименьшим волновым сопротивлением. Отчет Общества Лилиенталя, 136(1), 14-28.

[2] Сирс, WR (1947). На снарядах минимального волнового сопротивления. Ежеквартальный журнал прикладной математики, 4 (4), 361–366.

[3] Паланиаппан, Картик (2004). Тела, имеющие минимальное сопротивление давлению в сверхзвуковом потоке - исследование нелинейных эффектов (PDF) . 22-я конференция и выставка по прикладной аэродинамике. Энтони Джеймсон . Проверено 16 сентября 2010 г.

[4] Ландау, Л.Д., и Лифшиц, Э.М. (2013). Механика жидкости: Ландау и Лифшиц: Курс теоретической физики, Том 6 (Том 6). Эльзевир. стр. 473-474.

[5] Отчет NACA 1284, Теория сопротивления крыла и корпуса на сверхзвуковых скоростях, Роберт Т. Джонс, 8 июля 1953 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]