Четырехспиральная полугруппа

В математике четырехспиральная полугруппа — это специальная полугруппа, порожденная четырьмя идемпотентными элементами. Эта специальная полугруппа была впервые изучена Карлом Байлином в докторской диссертации, представленной в Университете Небраски в 1977 году. Она обладает несколькими интересными свойствами: это один из наиболее важных примеров бипростых, но не вполне простых полугрупп; это также важный пример фундаментальной регулярной полугруппы ; это незаменимый строительный блок бипростых, порожденных идемпотентами регулярных полугрупп. некоторая полугруппа, называемая двойной четырехспиральной полугруппой , порожденная пятью идемпотентными элементами. Наряду с четырехспиральной полугруппой изучалась также

Определение

Полугруппа с четырьмя спиралями, обозначаемая Sp ₄ , является свободной полугруппой , порожденной четырьмя элементами a , b , c и d , удовлетворяющими следующим одиннадцати условиям:

• а ² = а , б ² = б , с ² = с , д ² = д .
• ab знак равно б , ba знак равно а , bc знак равно б , cb знак равно c , cd знак равно d , dc знак равно c .
• от = d .

Первый набор условий подразумевает, что элементы a , b , c , d являются идемпотентами. Из второго набора условий следует, что a R b L c R d где R и L — отношения Грина в полугруппе. Единственное условие в третьем наборе можно записать как d ω ^л a , где ω ^л — это отношение бипорядка , определенное Намбурипадом . На диаграмме ниже суммированы различные отношения между a , b , c , d :

${\begin{matrix}&&{\mathcal {R}}&&\\&a&\longleftrightarrow &b&\\\omega ^{l}&{\Big \uparrow }&&{\Big \updownarrow }&{\mathcal {L}}\\&d&\longleftrightarrow &c&\\&&{\mathcal {R}}&&\end{matrix}}$

Элементы четырехспиральной полугруппы

Спиральная структура идемпотентов в четырехспиральной полугруппе Sp4. На этой диаграмме элементы в одной строке связаны с R , элементы в одном столбце связаны с L , а порядок продолжается по четырем диагоналям (от центра).

Строение четырехспиральной полугруппы Sp4. Показаны множество идемпотентов (точек красного цвета) и подполугруппы A, B, C, D, E.

Общие элементы

Каждый элемент Sp ₄ можно однозначно записать в одной из следующих форм:

[ с ] ( и ) ^м [а]

[ д ] ( д ) ^н [ б ]

[ с ] ( и ) ^м объявление ( др ) ^н [ б ]

где m и n — неотрицательные целые числа, а члены в квадратных скобках можно опускать, если оставшийся продукт не пуст. Из формы этих элементов следует, что Sp ₄ имеет разбиение Sp ₄ = A ∪ B ∪ C ∪ D ∪ E , где

А = { а ( как ) ^н , ( д.р. ) ^{п +1} , чтобы ( как ) ^м д ( д ) ^н : m , n неотрицательные целые числа }

Б = { ( и ) ^{п +1} , б ( дб ) ^н , чтобы ( как ) ^м ( дб ) ^{п +1} : m , n неотрицательные целые числа }

C = { c ( и ) ^м , ( дБ ) ^{п +1} , ( нравиться ) ^{м +1} ( дб ) ^{п +1} : m , n неотрицательные целые числа }

D знак равно { d ( бд ) ^н , ( нравиться ) ^{м +1} ( дб ) ^{п +1} d : m , n неотрицательные целые числа }

E = { ( как ) ^м : m положительное целое число }

Множества A , B , C , D являются бициклическими полугруппами , E — бесконечная циклическая полугруппа , а подполугруппа D ∪ E — нерегулярная полугруппа .

Идемпотентные элементы

Набор идемпотентов Sp ₄ , это { a _n , b _n , c _n , d _n : n = 0, 1, 2, ...} где a ₀ = a , b ₀ = b , c ₀ = c , d ₀ = d , и для п = 0, 1, 2, ....,

а _{п +1} знак равно а ( ок ) ^н ( дб ) ^н д

bn _{1 +} = а ( ок ) ^н ( дб ) ^{п +1}

c _{п +1} знак равно ( ок ) ^{п +1} ( дб ) ^{п +1}

d _{п +1} знак равно ( ок ) ^{п +1} ( дб ) ^{п +л} д

Множества идемпотентов в подполугруппах A , B , C , D идемпотентов нет (в подполугруппе E ) имеют вид соответственно:

E _A = { а _n : n = 0,1,2, ... }

E _B = { b _n : n = 0,1,2, ... }

E _C = { c _n : n = 0,1,2, ... }

E _D = { d _n : n = 0,1,2, ... }

Четырехспиральная полугруппа как полугруппа матрицы Риса

Пусть S будет набором всех четверок ( r , x , y , s ), где r , s , ∈ { 0, 1 } и x и y являются неотрицательными целыми числами, и определим бинарную операцию в S следующим образом:

$(r,x,y,s)*(t,z,w,u)={\begin{cases}(r,x-y+\max(y,z+1),\max(y-1,z)-z+w,u)&{\text{if }}s=0,t=1\\(r,x-y+\max(y,z),\max(y,z)-z+w,u)&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

Множество S с этой операцией является матричной полугруппой Риса над бициклической полугруппой , а четырехспиральная Sp ₄ изоморфна S. полугруппа

Характеристики

• По самому определению четырехспиральная полугруппа является идемпотентно порожденной полугруппой ( Sp ₄ порождается четырьмя идемпотентами a , b , c , d ).
• Четырехспиральная полугруппа является фундаментальной полугруппой, т. е. единственной конгруэнцией на Sp ₄ , содержащейся в отношении Грина H в Sp _4, является отношение равенства.

Двойная четырехспиральная полугруппа

Фундаментальная двойная четырехспиральная полугруппа , обозначаемая DSp ₄ , представляет собой полугруппу, порожденную пятью элементами a , b , c , d , e, удовлетворяющими следующим условиям:

• а ² = а , б ² = б , с ² = с , д ² знак равно д , е ² = и
• ab знак равно б , ba знак равно а , bc знак равно б , cb знак равно c , cd знак равно d , dc знак = c , de = d , ed равно е
• ае = е , еа = е

Первый набор условий подразумевает, что элементы a , b , c , d , e являются идемпотентами. Второй набор условий устанавливает отношения Грина между этими идемпотентами, а именно a R b L c R d L e . Два условия третьего набора означают, что e ω a , где ω — отношение бипорядка, определяемое как ω = ω. ^л ∩ о ^р .