p-стабильная группа

В теории конечных групп p - стабильная группа для нечетного простого числа p — это конечная группа, удовлетворяющая техническому условию, введенному Горенштейном и Уолтером ( 1964 , с.169, 1965 ) для распространения результатов Томпсона о единственности в теореме о нечетном порядке на группы с диэдральными силовскими 2-подгруппами.

Определения

Существует несколько эквивалентных определений p -стабильной группы.

Первое определение.

Мы даем определение p -стабильной группы в двух частях. Используемое здесь определение взято из ( Глауберман 1968 , стр. 1104).

1 . Пусть p — нечетное простое число, а G — конечная группа с нетривиальным p -ядром. $O_{p}(G)$ . Тогда G является p -стабильной, если она удовлетворяет следующему условию: пусть P — произвольная p -подгруппа группы G такая, что $O_{p'\!}(G)$ является нормальной группы G. подгруппой Предположим, что $x\in N_{G}(P)$ и ${\bar {x}}$ является смежным классом $C_{G}(P)$ содержащий х . Если $[P,x,x]=1$ , затем ${\overline {x}}\in O_{n}(N_{G}(P)/C_{G}(P))$ .

Теперь определите ${\mathcal {M}}_{p}(G)$ как множество всех p -подгрупп группы G, максимальных относительно того свойства, что $O_{p}(M)\not =1$ .

2 . Пусть G — конечная группа и p — нечетное простое число. Тогда G называется p -стабильной, если каждый элемент ${\mathcal {M}}_{p}(G)$ является p -стабильным по определению 1 .

Второе определение.

Пусть p — нечетное простое число, а H — конечная группа. Тогда H p -стабильна , если $F^{*}(H)=O_{p}(H)$ и если P — нормальная p -подгруппа группы H и $g\in H$ с $[P,g,g]=1$ , затем $gC_{H}(P)\in O_{p}(H/C_{H}(P))$ .

Характеристики

Если p — нечетное простое число и G — конечная группа такая, что SL ₂ ( p ) не входит в G , то G - стабильна p . Если, кроме того, G содержит нормальную p -подгруппу P такую, что $C_{G}(P)\leqslant P$ , затем $Z(J_{0}(S))$ является характеристической подгруппой группы G , где $J_{0}(S)$ — это подгруппа, введенная Джоном Томпсоном в ( Thompson 1969 , стр. 149–151).

См. также

p -стабильность используется как одно из условий в теореме ZJ Глаубермана .
Квадратичная пара
p - группа с ограничениями
p - разрешимая группа

Ссылки

Глауберман, Джордж (1968), «Характеристическая подгруппа p-стабильной группы» , Canadian Journal of Mathematics , 20 : 1101–1135, doi : 10.4153/cjm-1968-107-2 , ISSN 0008-414X , MR 0230807
Томпсон, Джон Г. (1969), «Теорема о замене для p-групп и гипотеза», Journal of Algebra , 13 (2): 149–151, doi : 10.1016/0021-8693(69)90068-4 , ISSN 0021-8693 , МР 0245683
Горенштейн, Д. ; Уолтер, Джон Х. (1964), «О максимальных подгруппах конечных простых групп», Journal of Algebra , 1 (2): 168–213, doi : 10.1016/0021-8693(64)90032-8 , ISSN 0021- 8693 , МР 0172917
Горенштейн, Д. ; Уолтер, Джон Х. (1965), «Характеристика конечных групп с диэдральными силовскими 2-подгруппами. I», Journal of Algebra , 2 : 85–151, doi : 10.1016/0021-8693(65)90027-X , ISSN 0021-8693 , МР 0177032
Горенштейн, Д. ; Уолтер, Джон Х. (1965), «Характеризация конечных групп с диэдральными силовскими 2-подгруппами. II», Journal of Algebra , 2 (2): 218–270, doi : 10.1016/0021-8693(65)90019- 0 , ISSN 0021-8693 , МР 0177032
Горенштейн, Д. ; Уолтер, Джон Х. (1965), «Характеризация конечных групп с диэдральными силовскими 2-подгруппами. III», Journal of Algebra , 2 (3): 354–393, doi : 10.1016/0021-8693(65)90015- 3 , ISSN 0021-8693 , МР 0190220
Горенштейн, Д. (1979), «Классификация конечных простых групп. I. Простые группы и локальный анализ», Бюллетень Американского математического общества , новая серия, 1 (1): 43–199, doi : 10.1090/S0273- 0979-1979-14551-8 , ISSN 0002-9904 , MR 0513750
Горенштейн, Д. (1980), Конечные группы (2-е изд.), Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0301-6 , МР 0569209