Стабильная группа

О стабильных группах в теории конечных групп см. p-стабильная группа . Для стабильных групп в теории гомотопии см. стабильную гомотопическую группу и прямой предел групп .

В теории моделей — стабильная группа это группа , стабильная в смысле теории стабильности . Важный класс примеров составляют группы конечного ранга Морли (см. ниже).

Примеры

• Группа конечного ранга Морли — это абстрактная группа G что формула x = x имеет конечный ранг Морли для модели G. такая , Из определения следует, что теория группы конечного ранга Морли ω-стабильна ; поэтому группы конечного ранга Морли являются стабильными группами. Группы конечного ранга Морли ведут себя в некотором роде как конечномерные объекты. Поразительное сходство между группами конечного ранга Морли и конечными группами является объектом активных исследований.
• Все конечные группы имеют конечный ранг Морли, фактически ранг 0.
• Алгебраические группы над алгебраически замкнутыми полями имеют конечный ранг Морли, равный их размерности как алгебраических множеств .
• Села (2006) показал, что свободные группы и, в более общем плане, без кручения гиперболические группы стабильны. Свободные группы более чем с одним генератором не являются сверхстабильными .

Черлина

Гипотеза Черлина-Зильбера (также называемая гипотезой алгебраичности ), предложенная Грегори Черлином (1979) и Борисом Зильбером (1977) , предполагает, что бесконечные (ω-стабильные) простые группы являются простыми алгебраическими группами над алгебраически замкнутыми полями . Эта гипотеза вытекала бы из Зильбера гипотезы трихотомии . Черлин поставил вопрос для всех ω-стабильных простых групп, но заметил, что даже случай групп конечного ранга Морли кажется трудным.

Прогресс в направлении этой гипотезы последовал за программой Боровика по передаче методов, используемых в классификации конечных простых групп . Одним из возможных источников контрпримеров являются плохие группы : неразрешимые связные группы конечного ранга Морли, все собственные связные определимые подгруппы которых нильпотентны . (Группа называется связной , если она не имеет определимых подгрупп конечного индекса, кроме нее самой.)

Доказан ряд частных случаев этой гипотезы; например:

• Любая связная группа ранга Морли 1 абелева .
• Черлин доказал, что связная группа ранга 2 разрешима.
• Черлин доказал, что простая группа Морли ранга 3 либо является плохой группой, либо изоморфна PSL ₂ ( K ) для некоторого алгебраически замкнутого поля K , которое G. интерпретирует
• Туна Алтинель, Александр В. Боровик и Грегори Черлин ( 2008 ) показали, что бесконечная группа конечного ранга Морли либо является алгебраической группой над алгебраически замкнутым полем характеристики 2, либо имеет конечный 2-ранг.

Ссылки

• Алтинель, Тунец ; Боровик, Александр; Черлин, Грегори (1997), «Группы смешанного типа», J. Algebra , 192 (2): 524–571, ​​doi : 10.1006/jabr.1996.6950 , MR   1452677
• Алтинель, Тунец; Боровик, Александр Владимирович; Черлин, Грегори (2008), Простые группы конечного ранга Морли , Математические обзоры и монографии, том. 145, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , номер документа : 10.1090/surv/145 , ISBN.  978-0-8218-4305-5 , МР   2400564
• Боровик А.В. (1998), «Ручные группы нечетного и четного типа», Картер, Р.В.; Саксл, Дж. (ред.), Алгебраические группы и их представления , NATO ASI Series C: Mathematical and Physical Sciences, vol. 517, Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, стр. 341–366.
• Боровик А.В.; Несин, Али (1994), Группы конечного ранга Морли , Oxford Logic Guides, vol. 26, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета, ISBN.  0-19-853445-0 , МР   1321141
• Берджес, Джеффри (2007), «Метод Бендера в группах конечного ранга Морли» (PDF) , J. Algebra , 312 (1): 33–55, doi : 10.1016/j.jalgebra.2005.10.009 , MR   2320445 , S2CID   9031997
• Черлин, Г. (1979), «Группы малого ранга Морли», Ann. Математика. Логика , 17 (1–2): 1–28, doi : 10.1016/0003-4843(79)90019-6
• Макферсон, Дугалд (2010), «Обзор «Простых групп конечного ранга Морли» Т. Алтинеля, А. В. Боровика и Г. Черлина», Бюллетень Американского математического общества , 47 (4): 729–734, doi : 10.1090 /S0273-0979-10-01287-5
• Пиллэй, Ананд (2001) [1994], «Группа конечного ранга Морли» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Пуаза, Бруно (2001), Стабильные группы , Математические обзоры и монографии, том. 87, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. xiv+129, doi : 10.1090/surv/087 , ISBN  0-8218-2685-9 , MR   1827833 (Перевод с французского оригинала 1987 года.)
• Скэнлон, Томас (2002), «Обзор «стабильных групп» », Bull. амер. Математика. Соц. , 39 (4): 573–579, doi : 10.1090/S0273-0979-02-00953-9
• Села, Злил (2006), Диофантова геометрия в группах VIII: стабильность , arXiv : math/0609096 , Bibcode : 2006math......9096S
• Вагнер, Фрэнк Олаф (1997), Стабильные группы , Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-59839-7
• Zil'ber, B. I. (1977), "Группы и кольца, теория которых категорична (Groups and rings whose theory is categorical)" , Fundam. Math. , 95 : 173–188, doi : 10.4064/fm-95-3-173-188 , MR  0441720