Непрерывность (теория вероятностей)

В теории вероятностей две последовательности вероятностных мер называются смежными, если асимптотически они имеют один и тот же носитель . Таким образом, понятие смежности расширяет понятие абсолютной непрерывности на последовательности мер.

Эта концепция была первоначально введена Ле Камом (1960) как часть его основополагающего вклада в развитие асимптотической теории в математической статистике . Он наиболее известен своими общими концепциями локальной асимптотической нормальности и смежности. ^[1]

Определение

Позволять $(\Omega _{n},{\mathcal {F}}_{n})$ — последовательность измеримых пространств которых снабжено двумя мерами Pn _и из Qn _{, каждое} .

Мы говорим, что P _n ( обозначается Q n смежно относительно Q _n ◁ P _n ) , _если каждой последовательности An _из P измеримых множеств для n ₍ An ) _→ 0 следует Q _n ( An ₎ → 0 .
Последовательности P _n и Q _n называются взаимно смежными или двусмежными (обозначаются Q _n ◁▷ P _n ), если оба Q _n смежны относительно P _n и P _n смежны относительно Q _n . ^[2]

Понятие непрерывности тесно связано с понятием абсолютной непрерывности . Мы говорим, что мера Q относительно абсолютно непрерывна P ( обозначается Q ≪ P ), если для любого измеримого множества A из P ( A ) = 0 следует Q ( A ) = 0 . То есть Q абсолютно непрерывен относительно P , если носитель Q , является подмножеством носителя P за исключением случаев, когда это неверно, включая, например, меру, которая концентрируется на открытом множестве, поскольку ее носитель равен Это замкнутое множество, и оно присваивает границе нулевую меру, поэтому другая мера может концентрироваться на границе и, таким образом, иметь поддержку, содержащуюся в носителе первой меры, но они будут взаимно сингулярны. Подводя итог, можно сказать, что утверждение об абсолютной преемственности в предыдущем предложении неверно. Свойство смежности асимптотическим: Qn _{является} относительно Pn _Qn , если «предельный носитель» является _{заменяет это требование} подмножеством предельного носителя Pn _{смежным} . По вышеизложенной логике это утверждение также неверно.

Однако возможно, что каждая из мер абсолютно _Qn Pn , _{непрерывной} а последовательность Qn _будет не будет непрерывной относительно Pn _. относительно

Фундаментальная теорема Радона–Никодима для абсолютно непрерывных мер утверждает, что если Q абсолютно непрерывен относительно P , то Q имеет плотность относительно P , обозначаемую как ƒ = d Q ⁄ d P , такой, что для любого измеримого множества A

Q(A)=\int _{A}f\,\mathrm {d} P,\,

что интерпретируется как возможность «реконструировать» меру Q, зная меру P и производную ƒ . Аналогичный результат существует для смежных последовательностей мер и дается третьей леммой Ле Кама .

Характеристики

Для случая $(P_{n},Q_{n})=(P,Q)$ для всех n это применимо $Q_{n}\triangleleft P_{n}\Leftrightarrow Q\ll P$ .
Возможно, что $P_{n}\ll Q_{n}$ верно для всех n без $P_{n}\triangleleft Q_{n}$ . ^[3]

Первая лемма Ле Кама

Для двух последовательностей мер $(P_{n}){\text{ and }}(Q_{n})$ на измеримых пространствах $(\Omega _{n},{\mathcal {F}}_{n})$ следующие утверждения эквивалентны: ^[4]

$P_{n}\triangleleft Q_{n}$
${\frac {\mathrm {d} Q_{n}}{\mathrm {d} P_{n}}}{\overset {P_{n}}{\,\longrightarrow \,}}U{\text{ along a subsequence }}\Rightarrow P(U>0)=1$
${\frac {\mathrm {d} P_{n}}{\mathrm {d} Q_{n}}}{\overset {Q_{n}}{\,\longrightarrow \,}}V{\text{ along a subsequence }}\Rightarrow E(V)=1$
$T_{n}{\overset {P_{n}}{\,\longrightarrow \,}}0\,\Rightarrow \,T_{n}{\overset {Q_{n}}{\,\longrightarrow \,}}0$ для любой статистики $T_{n}:\Omega _{n}\rightarrow \mathbb {R}$ .

где $U$ и $V$ являются случайными величинами на $(\Omega ,{\mathcal {F}},P){\text{ and }}(\Omega ',{\mathcal {F}}',Q)$ .

Интерпретация

Теорема Прохорова говорит нам, что для данной последовательности вероятностных мер каждая подпоследовательность имеет следующую подпоследовательность, которая слабо сходится . Первая лемма Ле Кама показывает, что свойства связанных предельных точек определяют, применима ли смежность или нет. Это можно понять по аналогии с неасимптотическим понятием абсолютной непрерывности меры . ^[5]

Приложения

Эконометрика ^[6]

См. также

Примечания

^ Вулфовиц Дж. (1974) Рецензия на книгу Джорджа Г. Руссаса «Непрерывность вероятностных мер: некоторые приложения в статистике», Журнал Американской статистической ассоциации , 69, 278–279 jstor.
^ ван дер Ваарт (1998 , стр. 87)
^ «Непрерывность: примеры» (PDF) .
^ ван дер Ваарт (1998 , стр. 88)
^ Ваарт А.В. ван дер. Асимптотическая статистика. Издательство Кембриджского университета; 1998.
^ Веркер, Бас (июнь 2005 г.). «Продвинутые темы финансовой эконометрики» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) г. 30 апреля 2006 Проверено 12 ноября 2009 г.

Ссылки

Гаек, Дж.; Шидак, З. (1967). Теория ранговых тестов . Нью-Йорк: Академическая пресса.
Ле Кам, Люсьен (1960). «Локально асимптотически нормальные семейства распределений». Публикации Калифорнийского университета по статистике . 3 : 37–98.
Руссас, Джордж Г. (2001) [1994], «Непрерывность вероятностных мер» , Энциклопедия математики , EMS Press
ван дер Ваарт, AW (1998). Асимптотическая статистика . Издательство Кембриджского университета.

Дополнительная литература

Руссас, Джордж Г. (1972), Неразрывность вероятностных мер: некоторые приложения в статистике , CUP, ISBN 978-0-521-09095-7 .
Скотт, DJ (1982) Неразрывность вероятностных мер, Австралийский и новозеландский статистический журнал , 24 (1), 80–88.

Внешние ссылки

[1] Вулфовиц Дж. (1974) Рецензия на книгу Джорджа Г. Руссаса «Непрерывность вероятностных мер: некоторые приложения в статистике», Журнал Американской статистической ассоциации , 69, 278–279 jstor.

[2] ван дер Ваарт (1998 , стр. 87)

[3] «Непрерывность: примеры» (PDF) .

[4] ван дер Ваарт (1998 , стр. 88)

[5] Ваарт А.В. ван дер. Асимптотическая статистика. Издательство Кембриджского университета; 1998.

[6] Веркер, Бас (июнь 2005 г.). «Продвинутые темы финансовой эконометрики» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) г. 30 апреля 2006 Проверено 12 ноября 2009 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]