Матрица Адамара типа Батсона

В математике комплексная матрица Адамара H размера N со всеми ее столбцами (строками), взаимно ортогональными , относится к типу Батсона H ( q , N ), если все ее элементы являются степенями корня q -й степени из единицы,

$(H_{jk})^{q}=1\quad {\text{for}}\quad j,k=1,2,\dots ,N.$

Существование

Если p простое ​ и $N>1$, затем $H(p,N)$ может существовать только для $N=mp$ с целым числом m и предполагается , что они существуют для всех таких случаев с $p\geq 3$. Для $p=2$соответствующая гипотеза заключается в существовании всех кратных 4. В общем, задача нахождения всех множеств $\{q,N\}$ такие, что матрицы типа Батсона $H(q,N)$ существует, остается открытым .

Примеры

• $H(2,N)$ содержит действительные матрицы Адамара размера N ,
• $H(4,N)$ содержит матрицы Адамара, состоящие из $\pm 1,\pm i$ – такие матрицы Тюрин назвал комплексными матрицами Адамара.
• в пределе $q\to \infty$ можно аппроксимировать все комплексные матрицы Адамара .
• Фурье Матрицы $[F_{N}]_{jk}:=\exp[(2\pi i(j-1)(k-1)/N]{\text{ for }}j,k=1,2,\dots ,N$

принадлежат к типу Батсона,

$F_{N}\in H(N,N),$

пока

$F_{N}\otimes F_{N}\in H(N,N^{2}),$

$F_{N}\otimes F_{N}\otimes F_{N}\in H(N,N^{3}).$

$D_{6}:={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1\\1&-1&i&-i&-i&i\\1&i&-1&i&-i&-i\\1&-i&i&-1&i&-i\\1&-i&-i&i&-1&i\\1&i&-i&-i&i&-1\\\end{bmatrix}}\in \,H(4,6)$,

$S_{6}:={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1\\1&1&z&z&z^{2}&z^{2}\\1&z&1&z^{2}&z^{2}&z\\1&z&z^{2}&1&z&z^{2}\\1&z^{2}&z^{2}&z&1&z\\1&z^{2}&z&z^{2}&z&1\\\end{bmatrix}}\in \,H(3,6)$

где $z=\exp(2\pi i/3).$

Ссылки

• А. Т. Батсон, Обобщенные матрицы Адамара, Proc. Являюсь. Математика. Соц. 13, 894-898 (1962).
• А. Т. Батсон, Отношения между обобщенными матрицами Адамара, множествами относительных разностей и линейными повторяющимися последовательностями максимальной длины, Can. Дж. Математика. 15, 42–48 (1963).
• Р. Дж. Тьюрин, Комплексные матрицы Адамара, стр. 435–437, в книге «Комбинаторные структуры и их приложения», Гордон и Брич, Лондон (1970).

Внешние ссылки

• Комплексные матрицы Адамара типа Батсона - каталог Войцеха Брузды, Войцеха Тадея и Кароля Жичковского, получено 24 октября 2006 г.