Формула Франка – Тамма

Формула Франка-Тамма дает количество черенковского излучения , испускаемого на заданной частоте при движении заряженной частицы через среду со сверхсветовой скоростью. Он назван в честь русских физиков Ильи Франка и Игоря Тамма , разработавших теорию эффекта Черенкова в 1937 году, за что им была присуждена Нобелевская премия по физике в 1958 году.

Когда заряженная частица движется быстрее, чем фазовая скорость света в среде, электроны, взаимодействующие с частицей, могут испускать когерентные фотоны , сохраняя при этом энергию и импульс . Этот процесс можно рассматривать как распад. См. Черенковское излучение и условие нерадиации для объяснения этого эффекта.

Уравнение

Энергия ​ $dE$ излучается на единицу длины, пройденной частицей на единицу частоты $d\omega$ является: $${\frac {\partial ^{2}E}{\partial x\,\partial \omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi }}\mu (\omega )\omega \left(1-{\frac {c^{2}}{v^{2}n^{2}(\omega )}}\right)$$ при условии, что $\beta ={\frac {v}{c}}>{\frac {1}{n(\omega )}}$. Здесь $\mu (\omega )$ и $n(\omega )$ - частотно-зависимая проницаемость и показатель преломления среды соответственно, $q$ - электрический заряд частицы, $v$ - скорость частицы, а $c$ это скорость света в вакууме.

Черенковское излучение не имеет характерных спектральных пиков, характерных для флуоресценции спектров или эмиссии. Относительная интенсивность одной частоты примерно пропорциональна частоте. То есть более высокие частоты (более короткие волны) более интенсивны в черенковском излучении. Вот почему видимое черенковское излучение имеет ярко-синий цвет. Фактически, большая часть черенковского излучения приходится на ультрафиолетовый спектр; чувствительность человеческого глаза достигает максимума в зеленом цвете и очень низка в фиолетовой части спектра.

Полное количество энергии, излучаемой на единицу длины, равно: $${\frac {dE}{dx}}={\frac {q^{2}}{4\pi }}\int _{v>{\frac {c}{n(\omega )}}}\mu (\omega )\omega \left(1-{\frac {c^{2}}{v^{2}n^{2}(\omega )}}\right)\,d\omega$$

Этот интеграл выполняется по частотам $\omega$ для которого скорость частицы $v$ больше скорости света носителя ${\textstyle {\frac {c}{n(\omega )}}}$. Интеграл является сходящимся (конечным), поскольку на высоких частотах показатель преломления становится меньше единицы, а на очень высоких частотах он становится единицей.

Вывод формулы Франка – Тамма.

Рассмотрим заряженную частицу, движущуюся релятивистски вдоль $x$-ось в среде с показателем преломления ${\textstyle n(\omega )={\sqrt {\varepsilon (\omega )}}}$ с постоянной скоростью ${\vec {v}}=(v,0,0)$. Начните с уравнений Максвелла (в единицах Гаусса ) в волновых формах (также известных как калибровочное условие Лоренца ) и примите преобразование Фурье: $$\left(k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )\right)\Phi ({\vec {k}},\omega )={\frac {4\pi }{\varepsilon (\omega )}}\rho ({\vec {k}},\omega )$$ $$\left(k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )\right){\vec {A}}({\vec {k}},\omega )={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}({\vec {k}},\omega )$$

За заряд величины $ze$ (где $e$ — элементарный заряд ), движущийся со скоростью $v$, плотность и плотность заряда можно выразить как $\rho ({\vec {x}},t)=q\delta ({\vec {x}}-{\vec {v}}t)$ и ${\vec {J}}({\vec {x}},t)={\vec {v}}\rho ({\vec {x}},t)$, приняв преобразование Фурье дает: $$\rho ({\vec {k}},\omega )={\frac {q}{2\pi }}\delta (\omega -{\vec {k}}\cdot {\vec {v}})$$ $${\vec {J}}({\vec {k}},\omega )={\vec {v}}\rho ({\vec {k}},\omega )$$

Подставив эту плотность и ток заряда в волновое уравнение, мы можем решить потенциалы в форме Фурье: $$\Phi ({\vec {k}},\omega )={\frac {2q}{\varepsilon (\omega )}}{\frac {\delta (\omega -{\vec {k}}\cdot {\vec {v}})}{k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )}}$$ и $${\vec {A}}({\vec {k}},\omega )=\varepsilon (\omega ){\frac {\vec {v}}{c}}\Phi ({\vec {k}},\omega )$$

Используя определение электромагнитных полей через потенциалы, мы получаем Фурье-форму электрического и магнитного поля: $${\vec {E}}({\vec {k}},\omega )=i\left({\frac {\omega \varepsilon (\omega )}{c}}{\frac {\vec {v}}{c}}-{\vec {k}}\right)\Phi ({\vec {k}},\omega )$$ и $${\vec {B}}({\vec {k}},\omega )=i\varepsilon (\omega ){\vec {k}}\times {\frac {\vec {v}}{c}}\Phi ({\vec {k}},\omega )$$

Чтобы найти излучаемую энергию, рассмотрим электрическое поле как функцию частоты на некотором перпендикулярном расстоянии от траектории частицы, скажем, при $(0,b,0)$, где $b$ является ударным параметром. Оно определяется обратным преобразованием Фурье: $${\vec {E}}(\omega )={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int d^{3}k\,{\vec {E}}({\vec {k}},\omega )e^{ibk_{2}}$$

Сначала мы вычисляем $x$-компонент $E_{1}$ электрического поля (параллельно ${\vec {v}}$): $$E_{1}(\omega )={\frac {2iq}{\varepsilon (\omega )(2\pi )^{3/2}}}\int d^{3}k\,e^{ibk_{2}}\left({\frac {\omega \varepsilon (\omega )v}{c^{2}}}-k_{1}\right){\frac {\delta (\omega -vk_{1})}{k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )}}$$

Для краткости определим ${\textstyle \lambda ^{2}={\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )={\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}\left(1-\beta ^{2}\varepsilon (\omega )\right)}$. Разбивая интеграл на $k_{1},k_{2},k_{3}$, $k_{1}$ Интеграл можно сразу проинтегрировать по определению дельты Дирака: $$E_{1}(\omega )=-{\frac {2iq\omega }{v^{2}(2\pi )^{3/2}}}\left({\frac {1}{\varepsilon (\omega )}}-\beta ^{2}\right)\int _{-\infty }^{\infty }dk_{2}\,e^{ibk_{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dk_{3}}{k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+\lambda ^{2}}}$$

Интеграл по $k_{3}$ имеет значение ${\textstyle {\frac {\pi }{\left(\lambda ^{2}+k_{2}^{2}\right)^{1/2}}}}$, давая: $$E_{1}(\omega )=-{\frac {iq\omega }{v^{2}{\sqrt {2\pi }}}}\left({\frac {1}{\varepsilon (\omega )}}-\beta ^{2}\right)\int _{-\infty }^{\infty }dk_{2}{\frac {e^{ibk_{2}}}{(\lambda ^{2}+k_{2}^{2})^{1/2}}}$$

Последний интеграл по $k_{2}$ находится в виде модифицированной функции Бесселя (Макдональда) , дающей оцениваемую параллельную составляющую в виде: $$E_{1}(\omega )=-{\frac {iq\omega }{v^{2}}}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}\left({\frac {1}{\varepsilon (\omega )}}-\beta ^{2}\right)K_{0}(\lambda b)$$

По аналогичной схеме можно рассчитывать и для остальных компонентов полей, получая:

$E_{2}(\omega )={\frac {q}{v}}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}{\frac {\lambda }{\varepsilon (\omega )}}K_{1}(\lambda b),\quad E_{3}=0\quad$ и $\quad B_{1}=B_{2}=0,\quad B_{3}(\omega )=\varepsilon (\omega )\beta E_{2}(\omega )$

Теперь мы можем рассмотреть излучаемую энергию $dE$ расстояние, пройденное частицей $dx_{\text{particle}}$. Это можно выразить через поток электромагнитной энергии. $P_{a}$ через поверхность бесконечного цилиндра радиуса $a$ вокруг пути движущейся частицы, который задается интегралом от вектора Пойнтинга $\mathbf {S} =c/(4\pi )[\mathbf {E} \times \mathbf {H} ]$ по поверхности цилиндра: $$\left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}}}\right)_{\text{rad}}={\frac {1}{v}}P_{a}=-{\frac {c}{4\pi v}}\int _{-\infty }^{\infty }2\pi aB_{3}E_{1}\,dx$$

Интеграл по $dx$ в один момент времени равна интегралу в одной точке за все время. С использованием $dx=v\,dt$: $$\left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}}}\right)_{\text{rad}}=-{\frac {ca}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }B_{3}(t)E_{1}(t)\,dt$$

Преобразование этого в частотную область: $$\left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}}}\right)_{\text{rad}}=-ca\operatorname {Re} \left(\int _{0}^{\infty }B_{3}^{*}(\omega )E_{1}(\omega )\,d\omega \right)$$

Чтобы перейти к области черенковского излучения, мы теперь рассмотрим перпендикулярное расстояние $b$ много больше атомных расстояний в среде, т.е. $|\lambda b|\gg 1$. При этом предположении мы можем разложить функции Бесселя до их асимптотической формы: $$E_{1}(\omega )\rightarrow {\frac {iq\omega }{c^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\beta ^{2}\varepsilon (\omega )}}\right){\frac {e^{-\lambda b}}{\sqrt {\lambda b}}}$$

$E_{2}(\omega )\rightarrow {\frac {q}{v\varepsilon (\omega )}}{\sqrt {\frac {\lambda }{b}}}e^{-\lambda b}$ и $B_{3}(\omega )=\varepsilon (\omega )\beta E_{2}(\omega )$

Таким образом:

$$\left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}}}\right)_{\text{rad}}=\operatorname {Re} \left(\int _{0}^{\infty }{\frac {q^{2}}{c^{2}}}\left(-i{\sqrt {\frac {\lambda ^{*}}{\lambda }}}\right)\omega \left(1-{\frac {1}{\beta ^{2}\varepsilon (\omega )}}\right)e^{-(\lambda +\lambda ^{*})a}\,d\omega \right)$$

Если $\lambda$ имеет положительную действительную часть (обычно истинную), экспонента приведет к быстрому исчезновению выражения на больших расстояниях, то есть вся энергия будет сосредоточена вблизи пути. Однако это неверно, когда $\lambda$ является чисто мнимым – вместо этого экспонента становится равной 1 и затем не зависит от $a$, то есть часть энергии уходит в бесконечность в виде излучения – это черенковское излучение.

$\lambda$ является чисто мнимым, если $\varepsilon (\omega )$ реально и $\beta ^{2}\varepsilon (\omega )>1$. То есть, когда $\varepsilon (\omega )$ реально, черенковское излучение имеет условие, что ${\textstyle v>{\frac {c}{{\sqrt {\varepsilon (\omega }})}}={\frac {c}{n}}}$. Это утверждение, что скорость частицы должна быть больше фазовой скорости электромагнитного поля в среде на частоте $\omega$ чтобы было черенковское излучение. С этим чисто воображаемым $\lambda$ состояние, ${\textstyle {\sqrt {{\lambda ^{*}}/{\lambda }}}=i}$ и интеграл можно упростить до: $$\left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}}}\right)_{\text{rad}}={\frac {q^{2}}{c^{2}}}\int _{\varepsilon (\omega )>{\frac {1}{\beta ^{2}}}}\omega \left(1-{\frac {1}{\beta ^{2}\varepsilon (\omega )}}\right)\,d\omega ={\frac {q^{2}}{c^{2}}}\int _{v>{\frac {c}{n(\omega )}}}\omega \left(1-{\frac {c^{2}}{v^{2}n^{2}(\omega )}}\right)\,d\omega$$

Это уравнение Франка-Тамма в гауссовских единицах.

Ссылки

• Мид, Калифорния (1958). «Квантовая теория показателя преломления». Физический обзор . 110 (2): 359. Бибкод : 1958PhRv..110..359M . дои : 10.1103/PhysRev.110.359 .
• Черенков П.А. (1937). «Видимое излучение, создаваемое электронами, движущимися в среде со скоростями, превышающими скорость света». Физический обзор . 52 (4): 378. Бибкод : 1937PhRv...52..378C . дои : 10.1103/PhysRev.52.378 .

Внешние ссылки

• Черенковское излучение (с меткой «формула Франка-Тамма»)