Тест дальности Тьюки

Не путать с тестом Тьюки на разность средних значений .

Тест диапазона Тьюки , также известный как тест Тьюки , метод Тьюки , тест честной значимости Тьюки или Тьюки HSD ( честно значимое различие ) тест , представляет собой одноэтапную процедуру множественного сравнения и статистический тест . Его можно использовать для правильной интерпретации статистической значимости разницы между средними значениями, выбранными для сравнения из-за их крайних значений.

Этот метод был первоначально разработан и представлен Джоном Тьюки для использования в дисперсионном анализе (ANOVA), и обычно его преподают только в связи с ANOVA. Однако распределение стьюдентизированных диапазонов, используемое для определения уровня значимости различий, учитываемых в тесте Тьюки, имеет гораздо более широкое применение: оно полезно для исследователей, которые искали в собранных данных значительные различия между группами, но затем не могут достоверно определить, насколько значимы их различия. обнаруженное выдающееся различие заключается в использовании стандартных статистических распределений, используемых для других традиционных статистических тестов, для которых данные должны быть выбраны случайным образом. Поскольку при сравнении выдающихся данных они по определению выбирались не случайным образом, а скорее специально, потому что они были экстремальными, они требуют другой, более строгой интерпретации, обусловленной вероятной частотой и размером стьюдентизированного диапазона ; современная практика « интеллектуального анализа данных » является примером его использования.

Разработка

Тест назван в честь Джона Тьюки . он сравнивает все возможные пары средних и основан на стьюдентизированном распределении диапазонов ( q ) (это распределение аналогично распределению t из t -теста . См. ниже).

Тест Тьюки сравнивает средства каждого лечения со средствами любого другого лечения; то есть оно применяется одновременно ко множеству всех парных сравнений

$\mu _{i}-\mu _{j}\ ,$

и определяет любую разницу между двумя средними значениями, превышающую ожидаемую стандартную ошибку . Коэффициент доверия для набора , когда все размеры выборки равны, точно равен $\ 1-\alpha \$ для любого $\ \alpha ~:~0\leq \alpha \leq 1~.$ Для неравных размеров выборки коэффициент достоверности больше, чем $\ 1-\alpha ~.$ Другими словами, метод Тьюки консервативен при неравных размерах выборок .

За этим тестом часто следует статистическая процедура Compact Letter Display (CLD), чтобы сделать результаты этого теста более прозрачными для аудитории, не связанной со статистикой.

Предположения

1. Проверяемые наблюдения независимы внутри и между группами.
2. Подгруппы, связанные с каждым средним значением в тесте, распределены нормально .
3. Внутриподгрупповая дисперсия одинакова во всех подгруппах, связанных с каждым средним значением в тесте ( однородность дисперсии ).

Тестовая статистика

Тест Тьюки основан на формуле, очень похожей на формулу t -критерия . Фактически, тест Тьюки по сути является t -тестом, за исключением того, что он корректирует частоту семейных ошибок .

Формула теста Тьюки:

$q_{\mathsf {s}}={\frac {\ \left|Y_{\mathsf {A}}-Y_{\mathsf {B}}\right|\ }{\ {\mathsf {SE}}\ }}\ ,$

где Y _A и Y _B — два сравниваемых средних значения, а SE — стандартная ошибка суммы средних значений. Значение q _s представляет собой тестовую статистику выборки. (Обозначение | x | означает абсолютное значение x ) ; величину x со знаком + , независимо от исходного знака x .

Эту статистику теста qs _из затем можно сравнить со значением q для выбранного уровня значимости α таблицы стьюдентизированного распределения диапазонов . Если q _s значение больше критического значения q _α, полученного из распределения, говорят, что два средних значения существенно различаются на уровне $\ \alpha ~:~0\leq \alpha \leq 1~.$

Поскольку гипотеза сравниваемые средние относятся и _той же для _{совокупности} т.е. что ₍ теста Тьюки утверждает , нулевая _все одной к ) с тем же стандартным отклонением модели σ , оцененным с помощью объединенной стандартной ошибки , $\ {\mathsf {SE}}\ ,$ для всех образцов; его расчет обсуждается в следующих разделах. Это приводит к предположению о нормальности теста Тьюки.

стьюдентизированного диапазона ( q ) Распределение

Метод Тьюки использует стьюдентизированное распределение диапазонов . Предположим, что мы берем выборку размером n из каждой из k популяций с одинаковым нормальным распределением N ( µ , σ ² ) и предположим, что $\ {\bar {y}}_{\mathsf {min}}\$ является наименьшим из этих выборочных средних и $\ {\bar {y}}_{\mathsf {max}}\$ является наибольшим из этих выборочных средних, и предположим, что S ² — это объединенная выборочная дисперсия этих выборок. Тогда следующая случайная величина имеет распределение по стьюдентизированному диапазону:

$q\equiv {\frac {\ {\overline {y}}_{\mathsf {max}}-{\overline {y}}_{\mathsf {min}}\ }{\ S{\sqrt {2/n}}\ }}$

Это определение статистики q, данное выше, является основой критически значимого значения q _α, обсуждаемого ниже, и основано на этих трех факторах:

$\ \alpha ~\quad$ частота ошибок типа I , или вероятность отклонения истинной нулевой гипотезы;

$\ k~\quad$ количество сравниваемых субпопуляций;

$\ {\mathsf {df}}\quad$ количество степеней свободы для каждого среднего

( df = N − k ) , где N — общее количество наблюдений.)

Распределение q сведено в таблицы и встречается во многих учебниках по статистике. В некоторых таблицах распределение q приведено без учета $\ {\sqrt {2\ }}\$ фактор. Чтобы понять, что это за таблица, мы можем вычислить результат для k = 2 и сравнить его с результатом t-распределения Стьюдента с теми же степенями свободы и тем же α . Кроме того, R предлагает кумулятивную функцию распределения ( ptukey) и функция квантиля ( qtukey) для q .

Доверительные пределы

Тьюки Пределы доверия для всех парных сравнений с коэффициентом доверия не менее   1 − α равны

${\bar {y}}_{i\bullet }-{\bar {y}}_{j\bullet }\ \pm \ {\frac {\ q_{\ \alpha \ ;\ k\ ;\ N-k}\ }{\ {\sqrt {2\ }}\ }}\ {\widehat {\sigma }}_{\varepsilon }\ {\sqrt {{\frac {2}{n}}\ }}\quad :\quad i,\ j=1,\ldots ,k\quad i\neq j~.$

Обратите внимание, что точечная оценка и предполагаемая дисперсия такие же, как и для одного попарного сравнения. Единственная разница между доверительными пределами для одновременных сравнений и границами для одного сравнения – это кратность оцененного стандартного отклонения.

Также обратите внимание, что размеры выборок должны быть равными при использовании подхода стьюдентизированного диапазона. $\ {\widehat {\sigma }}_{\varepsilon }\$ — это стандартное отклонение всего плана, а не только двух сравниваемых групп. Возможна работа с неравными размерами выборок. В этом случае необходимо рассчитать предполагаемое стандартное отклонение для каждого парного сравнения, как это формализовано Клайдом Крамером в 1956 году, поэтому процедуру для неравных размеров выборки иногда называют методом Тьюки – Крамера , который заключается в следующем:

${\bar {y}}_{i\bullet }-{\bar {y}}_{j\bullet }\ \pm \ {\frac {\ q_{\ \alpha \ ;\ k\ ;\ N-k}\ }{\ {\sqrt {2\ }}\ }}\ {\widehat {\sigma }}_{\varepsilon }\ {\sqrt {\ {\frac {\ 1\ }{n_{i}}}\ +\ {\frac {\ 1\ }{n_{j}}}\ }}\$

где n _i и n _j — размеры групп i и j соответственно. Также применяются степени свободы для всей конструкции.

Сравнение тестов ANOVA и тестов Тьюки – Крамера

И ANOVA, и тест Тьюки – Крамера основаны на одних и тех же предположениях. Однако эти два теста для k групп (т.е. µ ₁ = µ ₂ = ... = µ _k ) могут привести к логическим противоречиям, когда k > 2 , даже если предположения выполняются.

Можно сгенерировать набор псевдослучайных выборок строго отрицательной меры, так что гипотеза µ ₁ = µ ₂ отвергается на уровне значимости. $\ 1-\alpha >0.95\$ в то время как µ ₁ = µ ₂ = µ ₃ не отвергается даже при $\ 1-\alpha =0.975~.$

См. также

• Уровень семейных ошибок
• Метод Ньюмана-Кейлса

Дальнейшее чтение

• Монтгомери, Дуглас К. (2013). Планирование и анализ экспериментов (8-е изд.). Уайли. Раздел 3.5.7.

Внешние ссылки

• «Метод Тьюки» . Электронный справочник по статистическим методам. itl.nist.gov/div898/handbook . СЕМАТЕХ. Национальный институт стандартов и технологий / Министерство торговли США .