Генетическая алгебра

В математической генетике генетическая алгебра — это (возможно, неассоциативная ) алгебра, используемая для моделирования наследования в генетике. Некоторые варианты этих алгебр называются алгебрами поездов , специальными алгебрами поездов , гаметическими алгебрами , алгебрами Бернштейна , копулярными алгебрами , зиготическими алгебрами и барическими алгебрами (также называемыми взвешенными алгебрами ). Изучение этих алгебр было начато Айвором Этерингтоном ( 1939 ).

В приложениях к генетике эти алгебры часто имеют базис, соответствующий генетически различным гаметам , а структурные константы алгебры кодируют вероятности рождения потомков различных типов. Законы наследования затем кодируются как алгебраические свойства алгебры.

Обзоры генетических алгебр см. в Bertrand (1966) , Wörz-Busekros (1980) и Reed (1997) .

Барические алгебры

Барические алгебры (или весовые алгебры) были введены Этерингтоном (1939) . Барическая алгебра над полем K возможно, неассоциативная алгебра над K вместе с гомоморфизмом w , называемым весом, из алгебры в K. — это , ^[1]

Алгебры Бернштейна

Алгебра Бернштейна, основанная на работе Сергея Натановича Бернштейна ( 1923 ) о законе Харди-Вайнберга в генетике, представляет собой (возможно, неассоциативную) барическую алгебру B над полем K с весовым гомоморфизмом w из B в K, удовлетворяющим $(x^{2})^{2}=w(x)^{2}x^{2}$ . Каждая такая алгебра имеет идемпотенты e вида $e=a^{2}$ с $w(a)=1$ . Разложение Пирса B , соответствующее e, равно

B=Ke\oplus U_{e}\oplus Z_{e}

где $U_{e}=\{a\in \ker w:ea=a/2\}$ и $Z_{e}=\{a\in \ker w:ea=0\}$ . эти подпространства зависят от e , их размерности инвариантны и тип B. составляют Хотя алгебра Исключительная Бернштейна — это такая алгебра, у которой $U_{e}^{2}=0$ . ^[2]

Копулировать алгебры

Копулярные алгебры были введены Этерингтоном (1939 , раздел 8).

Эволюционные алгебры

Эволюционная алгебра над полем — это алгебра с базисом, в котором умножение определяется как произведение различных базисных членов, равное нулю, а квадрат каждого базисного элемента представляет собой линейную форму в базисных элементах. Настоящая если эволюционная алгебра — это алгебра, определенная над действительными числами: она неотрицательна, все структурные константы в линейной форме неотрицательны. ^[3] Эволюционная алгебра обязательно коммутативна и гибка , но не обязательно ассоциативна или степенно-ассоциативна . ^[4]

Гаметические алгебры

Гаметическая алгебра — это конечномерная вещественная алгебра, все структурные константы которой лежат в диапазоне от 0 до 1. ^[5]

Генетические алгебры

Генетические алгебры были введены Шафером (1949), который показал, что специальные алгебры поездов являются генетическими алгебрами, а генетические алгебры являются алгебрами поездов.

Специальные алгебры поездов

Специальные алгебры поездов были введены Этерингтоном (1939 , раздел 4) как частные случаи барических алгебр.

Алгебра специального поезда — это барическая алгебра, в которой ядро N весовой функции нильпотентно, а главные степени N являются идеалами. ^[1]

Этерингтон (1941) показал, что специальные алгебры поездов являются алгебрами поездов.

Обучение алгебрам

Алгебры поезда были введены Этерингтоном (1939 , раздел 4) как частные случаи барических алгебр.

Позволять $c_{1},\ldots ,c_{n}$ — элементы поля K с $1+c_{1}+\cdots +c_{n}=0$ . Формальный полином

x^{n}+c_{1}w(x)x^{n-1}+\cdots +c_{n}w(x)^{n}

является поездным полиномом . Барическая алгебра B с весом w является алгеброй поезда, если

a^{n}+c_{1}w(a)a^{n-1}+\cdots +c_{n}w(a)^{n}=0

для всех элементов $a\in B$ , с $a^{k}$ определяются как основные полномочия, $(a^{k-1})a$ . ^[1]^[6]

Зиготические алгебры

Зиготические алгебры были введены Этерингтоном (1939 , раздел 7).

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Гонсалес, С.; Мартинес, К. (2001), «Об алгебрах Бернштейна», в Гранхе, Анхель (ред.), Теория колец и алгебраическая геометрия. Материалы 5-й международной конференции по алгебре и алгебраической геометрии, SAGA V, Леон, Испания , Lect. Примечания Pure Appl. Матем., вып. 221, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Марсель Деккер, стр. 223–239, Zbl 1005.17021.
^ Каталан, А. (2000). «E-идеалы в алгебрах Бернштейна». В Косте, Роберто (ред.). Неассоциативная алгебра и ее приложения. Материалы четвертой международной конференции, Сан-Паулу, Бразилия . Лект. Примечания Pure Appl. Математика. Том. 211. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Марсель Деккер. стр. 35–42. Збл 0968.17013 .
^ Тиан (2008) стр.18
^ Тиан (2008) стр.20
^ Кон, Пол М. (2000). Введение в теорию колец . Серия Springer по математике для студентов. Спрингер-Верлаг . п. 56. ИСБН 1852332069 . ISSN 1615-2085 .
^ Каталан С., Абдон (1994). « Е -идеалы в барических алгебрах». Мэтт. Созерцание . 6 :7–12. Збл 0868.17023 .

Бернштейн С. Н. (1923), «Принцип стационарности и обобщение закона Менделя», CR Acad. наук. Париж , 177 : 581–584 .
Бертран, Моник (1966), Неассоциативные алгебры и генетические алгебры , Mémorial des Sciences Mathématiques, Fasc. 162, Готье-Виллар Эдитёр, Париж, MR 0215885
Этерингтон, IMH (1939), «Генетические алгебры» (PDF) , Proc. Р. Сок. Эдинбург , 59 : 242–258, MR 0000597 , Zbl 0027.29402 , заархивировано из оригинала (PDF) 6 июля 2011 г.
Этерингтон, IMH (1941), «Специальные алгебры поездов», Ежеквартальный журнал математики , вторая серия, 12 : 1–8, doi : 10.1093/qmath/os-12.1.1 , ISSN 0033-5606 , JFM 67.0093.04 , МР 0005111 , Збл 0027.29401
Любич, Ю.И. (2001) [1994], «Задача Бернштейна в математической генетике» , Энциклопедия математики , EMS Press
Микали, А. (2001) [1994], «Бариковая алгебра» , Энциклопедия математики , EMS Press
Микали, А. (2001) [1994], «Алгебра Бернштейна» , Энциклопедия математики , EMS Press
Рид, Мэри Линн (1997), «Алгебраическая структура генетического наследования», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 34 (2): 107–130, doi : 10.1090/S0273-0979-97-00712-X , ISSN 0002-9904 , МР 1414973 , Збл 0876.17040
Шафер, Ричард Д. (1949), «Структура генетических алгебр», Американский журнал математики , 71 : 121–135, doi : 10.2307/2372100 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372100 , MR 0027751
Тиан, Цзяньцзюнь Пол (2008), Эволюционные алгебры и их приложения , Конспекты лекций по математике, том. 1921, Берлин: Springer-Verlag , ISBN. 978-3-540-74283-8 , Збл 1136.17001
Вёрц-Бусекрос, Анжелика (1980), Алгебры в генетике , Конспекты лекций по биоматематике, том. 36, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-09978-1 , МР 0599179
Вёрц-Бусекрос, А. (2001) [1994], «Генетическая алгебра» , Энциклопедия математики , EMS Press

Дальнейшее чтение

Lyubich, Yu.I. (1983), Mathematical structures in population genetics. (Matematicheskie struktury v populyatsionnoj genetike) (in Russian), Kiev: Naukova Dumka, Zbl 0593.92011

[GM2001-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Гонсалес, С.; Мартинес, К. (2001), «Об алгебрах Бернштейна», в Гранхе, Анхель (ред.), Теория колец и алгебраическая геометрия. Материалы 5-й международной конференции по алгебре и алгебраической геометрии, SAGA V, Леон, Испания , Lect. Примечания Pure Appl. Матем., вып. 221, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Марсель Деккер, стр. 223–239, Zbl 1005.17021.

[2] Каталан, А. (2000). «E-идеалы в алгебрах Бернштейна». В Косте, Роберто (ред.). Неассоциативная алгебра и ее приложения. Материалы четвертой международной конференции, Сан-Паулу, Бразилия . Лект. Примечания Pure Appl. Математика. Том. 211. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Марсель Деккер. стр. 35–42. Збл 0968.17013 .

[Tian18-3] Тиан (2008) стр.18

[Tian20-4] Тиан (2008) стр.20

[Cohn-5] Кон, Пол М. (2000). Введение в теорию колец . Серия Springer по математике для студентов. Спрингер-Верлаг . п. 56. ИСБН 1852332069 . ISSN 1615-2085 .

[6] Каталан С., Абдон (1994). « Е -идеалы в барических алгебрах». Мэтт. Созерцание . 6 :7–12. Збл 0868.17023 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]