Алгебра Аквиса

В математике и, в частности, в изучении алгебры , алгебра Акивиса — это неассоциативная алгебра, оснащенная бинарным оператором, коммутатором. $[x,y]$ и тернарный оператор, ассоциатор $[x,y,z]$ которые удовлетворяют особым отношениям, известным как идентичность Акивиса. Они названы в честь русского математика Макса Акивиса.

Формально, если $A$ это векторное пространство над полем $\mathbb {F}$ , нулевой характеристики мы говорим $A$ является алгеброй Акивиса, если операция $\left(x,y\right)\mapsto \left[x,y\right]$ билинейен и антикоммутативен ; и трилинейный оператор $\left(x,y,z\right)\mapsto \left[x,y,z\right]$ удовлетворяет тождеству Акивиса :

$\left[\left[x,y\right],z\right]+\left[\left[y,z\right],x\right]+\left[\left[z,x\right],y\right]=\left[x,y,z\right]+\left[y,z,x\right]+\left[z,x,y\right]-\left[x,z,y\right]-\left[y,x,z\right]-\left[z,y,x\right].$

Алгебра Акивиса с $\left[x,y,z\right]=0$ является алгеброй Ли , ибо тождество Акивиса сводится к тождеству Якоби . Обратите внимание, что члены в правой части имеют положительный знак для четных перестановок и отрицательный знак для нечетных перестановок. $x,y,z$.

Любая алгебра (даже если она неассоциативна) является алгеброй Акивиса, если мы определим $\left[x,y\right]=xy-yx$ и $\left[x,y,z\right]=(xy)z-x(yz)$. Известно, что таким образом все алгебры Акивиса можно представить как подалгебру (возможно, неассоциативной) алгебры (для ассоциативных алгебр ассоциатор тождественно равен нулю, и тождество Акивиса сводится к тождеству Якоби).

Ссылки

• М. Р. Бремнер, И. Р. Хентцель и Л. А. Перези 2005. «Формулы размерностей для свободной неассоциативной алгебры». Коммуникации в алгебре 33:4063-4081.