Уравнение Уэлча – Саттертуэйта

В статистике и анализе неопределенности уравнение Уэлча-Саттертуэйта используется для расчета аппроксимации эффективных степеней свободы линейной комбинации независимых выборочных дисперсий , также известных как объединенные степени свободы . ^[1]^[2] соответствующий объединенной дисперсии .

Для $n$ выборочных дисперсий $s i 2 (i = 1, ..., n)$ , каждый из которых соответственно имеет $ν i$ степеней свободы, часто вычисляется линейная комбинация.

\chi '=\sum _{i=1}^{n}k_{i}s_{i}^{2}.

где $k_{i}$ - действительное положительное число, обычно $k_{i}={\frac {1}{\nu _{i}+1}}$ . В общем, распределение вероятностей χ $'$ не может быть выражено аналитически. Однако его распределение можно аппроксимировать другим распределением хи-квадрат , эффективные степени свободы которого задаются уравнением Уэлча – Саттертуэйта.

\nu _{\chi '}\approx {\frac {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}s_{i}^{2}\right)^{2}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {(k_{i}s_{i}^{2})^{2}}{\nu _{i}}}}}

Не предполагается , что лежащие в основе генеральной дисперсии $σ i 2$ равны. Это известно как проблема Беренса-Фишера .

Результат можно использовать для проведения приблизительных статистических тестов. Простейшим применением этого уравнения является выполнение Уэлча t -критерия .

См. также

Объединенная дисперсия

Ссылки

^ Спеллман, Фрэнк Р. (12 ноября 2013 г.). Справочник по математике и статистике окружающей среды . Уайтинг, Нэнси Э. Бока Ратон. ISBN 978-1-4665-8638-3 . OCLC 863225343 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Ван Эмден, HF (Гельмут Фриц) (2008). Статистика для перепуганных биологов . Молден, Массачусетс: Паб Blackwell. ISBN 978-1-4443-0039-0 . OCLC 317778677 .

Дальнейшее чтение

Саттертуэйт, Ф. Е. (1946), «Приблизительное распределение оценок компонентов дисперсии», Бюллетень биометрии , 2 (6): 110–114, doi : 10.2307/3002019 , JSTOR 3002019 , PMID 20287815
Уэлч, Б.Л. (1947), «Обобщение проблемы «студента», когда задействовано несколько различных дисперсий генеральной совокупности», Biometrika , 34 (1/2): 28–35, doi : 10.2307/2332510 , JSTOR 2332510 , PMID 20287819
Нетер, Джон; Джон Нетер; Уильям Вассерман; Майкл Х. Катнер (1990). Прикладные линейные статистические модели . Ричарда Д. Ирвина, Inc. ISBN 0-256-08338-Х .
Майкл Олвуд (2008) «Формула Саттертуэйта для степеней свободы в двухвыборочном t- тесте», AP Статистика , Программа повышения квалификации, Совет колледжей. [1]

[1] Спеллман, Фрэнк Р. (12 ноября 2013 г.). Справочник по математике и статистике окружающей среды . Уайтинг, Нэнси Э. Бока Ратон. ISBN 978-1-4665-8638-3 . OCLC 863225343 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[2] Ван Эмден, HF (Гельмут Фриц) (2008). Статистика для перепуганных биологов . Молден, Массачусетс: Паб Blackwell. ISBN 978-1-4443-0039-0 . OCLC 317778677 .

[1]

[2]