Уэлча t -критерий

В статистике , Уэлча t -критерий или неравных дисперсий t -критерий с двумя выборками представляет собой тест местоположения который используется для проверки (нулевой) гипотезы о том, что две популяции имеют равные средние значения. Он назван в честь своего создателя Бернарда Льюиса Уэлча и представляет собой адаптацию Стьюдента t -критерия . ^{[ 1 ]} и является более надежным, когда две выборки имеют неравные дисперсии и, возможно, неравные размеры выборки. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Эти тесты часто называют t -тестами «непарных» или «независимых выборок», поскольку они обычно применяются, когда статистические единицы, лежащие в основе двух сравниваемых выборок, не перекрываются. -критерий Уэлча Учитывая, что t менее популярен, чем t -критерий Стьюдента ^{[ 2 ]} и может быть менее знакомо читателям, более информативное название — « t -критерий неравных дисперсий Уэлча» или для краткости « t -критерий неравных дисперсий». ^{[ 3 ]}

Предположения

-критерий Стьюдента t предполагает, что сравниваемые средние выборки для двух популяций нормально распределены и что популяции имеют равные дисперсии. -критерий Уэлча T разработан для неравных генеральных дисперсий, но сохраняется допущение о нормальности. ^{[ 1 ]} -критерий Уэлча t является приближенным решением проблемы Беренса-Фишера .

Расчеты

-критерий Уэлча t определяет статистику t по следующей формуле:

t={\frac {\Delta {\overline {X}}}{s_{\Delta {\bar {X}}}}}={\frac {{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}}{\sqrt {{s_{{\bar {X}}_{1}}^{2}}+{s_{{\bar {X}}_{2}}^{2}}}}}\,

s_{{\bar {X}}_{i}}={s_{i} \over {\sqrt {N_{i}}}}\,

где ${\overline {X}}_{i}$ и $s_{{\bar {X}}_{i}}$ являются $i^{\text{th}}$ выборочное среднее и его стандартная ошибка , при этом $s_{i}$ обозначающий скорректированное стандартное отклонение выборки и размер выборки $N_{i}$ . В отличие от Стьюдента t -критерия , знаменатель не основан на оценке объединенной дисперсии .

Степени свободы $\nu$ связанная с этой оценкой дисперсии, аппроксимируется с помощью уравнения Уэлча – Саттертуэйта : ^{[ 4 ]}

\nu \quad \approx \quad {\frac {\left(\;{\frac {s_{1}^{2}}{N_{1}}}\;+\;{\frac {s_{2}^{2}}{N_{2}}}\;\right)^{2}}{\quad {\frac {s_{1}^{4}}{N_{1}^{2}\nu _{1}}}\;+\;{\frac {s_{2}^{4}}{N_{2}^{2}\nu _{2}}}\quad }}.

Это выражение можно упростить, если $N_{1}=N_{2}$ :

\nu \approx {\frac {s_{\Delta {\bar {X}}}^{4}}{\nu _{1}^{-1}s_{{\bar {X}}_{1}}^{4}+\nu _{2}^{-1}s_{{\bar {X}}_{2}}^{4}}}.

Здесь, $\nu _{i}=N_{i}-1$ — это степени свободы, связанные с i -й оценкой дисперсии.

Статистика приблизительно соответствует t -распределению , поскольку у нас есть аппроксимация распределения хи-квадрат . Это приближение лучше выполнять, когда оба $N_{1}$ и $N_{2}$ больше 5. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

Статистический тест

Как только т и $\nu$ были вычислены, эту статистику можно использовать с t -распределением для проверки одной из двух возможных нулевых гипотез :

что два средних значения совокупности равны, и двусторонний критерий применяется ; или
что одно из средних значений генеральной совокупности больше или равно другому, в котором односторонний критерий . применяется

Приблизительные степени свободы являются действительными числами. $\left(\nu \in \mathbb {R} ^{+}\right)$ и используются как таковые в программном обеспечении, ориентированном на статистику, тогда как в электронных таблицах они округляются до ближайшего целого числа.

Преимущества и ограничения

-критерий Уэлча t более устойчив, чем t -критерий Стьюдента, и поддерживает частоту ошибок типа I , близкую к номинальной, для неравных дисперсий и неравных размеров выборки при нормальности. Более того, эффективность -критерия Уэлча t -критерия Стьюдента близка к силе t , даже когда генеральные дисперсии равны и размеры выборки сбалансированы. ^{[ 2 ]} -критерий Уэлча t можно обобщить на более чем две выборки, ^{[ 7 ]} который является более надежным, чем однофакторный дисперсионный анализ (ANOVA).

предварительно Не рекомендуется проверять равенство дисперсий, а затем выбирать между t -критерием Уэлча -критерием Стьюдента или t . ^{[ 8 ]} -критерий Уэлча Скорее, t может применяться напрямую и без каких-либо существенных недостатков по сравнению с t -критерием Стьюдента, как отмечалось выше. -критерий Уэлча t остается устойчивым для асимметричных распределений и больших размеров выборки. ^{[ 9 ]} -критерий Уэлча Надежность снижается для асимметричных распределений и выборок меньшего размера, где можно было бы выполнить t . ^{[ 10 ]}

Реализации программного обеспечения

Язык/Программа	Функция	Документация
LibreOffice	`TTEST(Data1; Data2; Mode; Type)`	^{[ 11 ]}
МАТЛАБ	`ttest2(data1, data2, 'Vartype', 'unequal')`	^{[ 12 ]}
Microsoft Excel до 2010 г. (Т-тест студента)	`TTEST(array1, array2, tails, type)`	^{[ 13 ]}
Microsoft Excel 2010 и более поздние версии (Т-тест учащегося)	`T.TEST(array1, array2, tails, type)`	^{[ 14 ]}
Минитаб	Доступ через меню	^{[ 15 ]}
Исходное программное обеспечение	Результаты t-критерия Уэлча автоматически выводятся в таблицу результатов при проведении t-критерия с двумя выборками (Статистика: проверка гипотез: t-критерий с двумя выборками)	^{[ 16 ]}
САС (Программное обеспечение)	Вывод по умолчанию из `proc ttest` (с надписью «Саттертуэйт»)
Python (через стороннюю библиотеку SciPy )	`scipy.stats.ttest_ind(a, b, equal_var=False)`	^{[ 17 ]}
Р	`t.test(data1, data2, var.equal = FALSE)`	^{[ 18 ]}
JavaScript	`ttest2(data1, data2)`	^{[ 19 ]}
Хаскелл	`Statistics.Test.StudentT.welchTTest SamplesDiffer data1 data2`	^{[ 20 ]}
СПМ	`Oneway( Y( YColumn), X( XColumn), Unequal Variances( 1 ) );`	^{[ 21 ]}
Юлия	`UnequalVarianceTTest(data1, data2)`	^{[ 22 ]}
Был	`ttest varname1 == varname2, welch`	^{[ 23 ]}
Google Таблицы	`TTEST(range1, range2, tails, type)`	^{[ 24 ]}
Графпад Призма	Это выбор в диалоговом окне t test.
Статистика IBM SPSS	Опция в меню	^{[ 25 ]}^{[ 26 ]}
GNU Октава	`welch_test(x, y)`	^{[ 27 ]}

См. также

Стьюдента t -тест
Z -тест
Факторный эксперимент
Односторонний дисперсионный анализ
Двухвыборочная Т-квадратная статистика Хотеллинга , многомерное расширение t -критерия Уэлча.

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Уэлч, Б.Л. (1947). «Обобщение задачи «Студента», когда задействовано несколько различных дисперсий генеральной совокупности». Биометрика . 34 (1–2): 28–35. дои : 10.1093/biomet/34.1-2.28 . МР 0019277 . ПМИД 20287819 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Ракстон, Джорджия (2006). «Т-критерий неравной дисперсии является недостаточно используемой альтернативой t-критерию Стьюдента и U-критерию Манна – Уитни» . Поведенческая экология . 17 (4): 688–690. дои : 10.1093/beheco/ark016 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Деррик, Б; Тохер, Д; Уайт, П. (2016). «Почему тест Уэлча устойчив к ошибкам типа I» (PDF) . Количественные методы в психологии . 12 (1): 30–38. дои : 10.20982/tqmp.12.1.p030 .
^ 7.3.1. Имеют ли два процесса одинаковое значение? , Справочник по инженерной статистике, NIST . (Интернет-источник, доступ 30 июля 2021 г.)
^ Оллвуд, Майкл (2008). «Формула Саттертуэйта для степеней свободы в двухвыборочном t-тесте» (PDF) . п. 6.
^ Йейтс; Мур; Старнс (2008). Практика статистики (3-е изд.). Нью-Йорк: WH Freeman and Company. п. 792. ИСБН 9780716773092 .
^ Уэлч, Б.Л. (1951). «О сравнении нескольких средних значений: альтернативный подход». Биометрика . 38 (3/4): 330–336. дои : 10.2307/2332579 . JSTOR 2332579 .
^ Циммерман, Д.В. (2004). «Заметка о предварительных проверках равенства дисперсий». Британский журнал математической и статистической психологии . 57 (Часть 1): 173–181. дои : 10.1348/000711004849222 . ПМИД 15171807 .
^ Фагерланд, МВт (2012). «Т-тесты, непараметрические тесты и крупные исследования — парадокс статистической практики?» . Методология медицинских исследований BMC . 12:78 . дои : 10.1186/1471-2288-12-78 . ПМЦ 3445820 . ПМИД 22697476 .
^ Фагерланд, МВт; Сандвик, Л. (2009). «Выполнение пяти двухвыборочных тестов местоположения для асимметричных распределений с неравными дисперсиями». Современные клинические исследования . 30 (5): 490–496. дои : 10.1016/j.cct.2009.06.007 . ПМИД 19577012 .
^ «Статистические функции, часть пятая — Справка LibreOffice» .
^ «Двухвыборочный t-критерий — MATLAB ttest2 — MathWorks United Kingdom» .
^ «ТТЕСТ – Excel – Microsoft Office» . office.microsoft.com . Архивировано из оригинала 13 июня 2010 г.
^ «Функция Т.ТЕСТ» .
^ Обзор 2-Sample t - Minitab: - официальная документация для Minitab версии 18. По состоянию на 19 сентября 2020 г.
^ «Интернет-справка — Краткая справка — Часто задаваемые вопросы-314 Поддерживает ли Origin t-критерий Уэлча?» . www.originlab.com . Проверено 9 ноября 2023 г.
^ «Scipy.stats.ttest_ind — Руководство по SciPy v1.7.1» .
^ «R: t-тест Стьюдента» .
^ «JavaScript npm: @stdlib/stats-ttest2» .
^ «Статистика.Тест.СтудентТ» .
^ «Указатель /Поддержка/Помощь» .
^ «Добро пожаловать к прочтению документации — новейшая документация HypothesisTests.jl» .
^ «Помощь по Stata 17 для ttest» .
^ «T.TEST — Помощь редакторам документации» .
^ Джереми Майлз: t-критерий неравных отклонений или U-критерий Манна-Уитни? , по состоянию на 11 апреля 2014 г.
^ Одновыборочный тест - Официальная документация для SPSS Статистика версии 24. По состоянию на 22 января 2019 г.
^ «Справочник по функции: Welch_test» .

[Welch1947-1] Перейти обратно: ^а ^б Уэлч, Б.Л. (1947). «Обобщение задачи «Студента», когда задействовано несколько различных дисперсий генеральной совокупности». Биометрика . 34 (1–2): 28–35. дои : 10.1093/biomet/34.1-2.28 . МР 0019277 . ПМИД 20287819 .

[Ruxton2006-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Ракстон, Джорджия (2006). «Т-критерий неравной дисперсии является недостаточно используемой альтернативой t-критерию Стьюдента и U-критерию Манна – Уитни» . Поведенческая экология . 17 (4): 688–690. дои : 10.1093/beheco/ark016 .

[WhyWelch-3] Перейти обратно: ^а ^б Деррик, Б; Тохер, Д; Уайт, П. (2016). «Почему тест Уэлча устойчив к ошибкам типа I» (PDF) . Количественные методы в психологии . 12 (1): 30–38. дои : 10.20982/tqmp.12.1.p030 .

[4] 7.3.1. Имеют ли два процесса одинаковое значение? , Справочник по инженерной статистике, NIST . (Интернет-источник, доступ 30 июля 2021 г.)

[5] Оллвуд, Майкл (2008). «Формула Саттертуэйта для степеней свободы в двухвыборочном t-тесте» (PDF) . п. 6.

[6] Йейтс; Мур; Старнс (2008). Практика статистики (3-е изд.). Нью-Йорк: WH Freeman and Company. п. 792. ИСБН 9780716773092 .

[Welch1951-7] Уэлч, Б.Л. (1951). «О сравнении нескольких средних значений: альтернативный подход». Биометрика . 38 (3/4): 330–336. дои : 10.2307/2332579 . JSTOR 2332579 .

[Zimmerman2004-8] Циммерман, Д.В. (2004). «Заметка о предварительных проверках равенства дисперсий». Британский журнал математической и статистической психологии . 57 (Часть 1): 173–181. дои : 10.1348/000711004849222 . ПМИД 15171807 .

[Fagerland2012-9] Фагерланд, МВт (2012). «Т-тесты, непараметрические тесты и крупные исследования — парадокс статистической практики?» . Методология медицинских исследований BMC . 12:78 . дои : 10.1186/1471-2288-12-78 . ПМЦ 3445820 . ПМИД 22697476 .

[Fagerland2009-10] Фагерланд, МВт; Сандвик, Л. (2009). «Выполнение пяти двухвыборочных тестов местоположения для асимметричных распределений с неравными дисперсиями». Современные клинические исследования . 30 (5): 490–496. дои : 10.1016/j.cct.2009.06.007 . ПМИД 19577012 .

[11] «Статистические функции, часть пятая — Справка LibreOffice» .

[12] «Двухвыборочный t-критерий — MATLAB ttest2 — MathWorks United Kingdom» .

[13] «ТТЕСТ – Excel – Microsoft Office» . office.microsoft.com . Архивировано из оригинала 13 июня 2010 г.

[14] «Функция Т.ТЕСТ» .

[15] Обзор 2-Sample t - Minitab: - официальная документация для Minitab версии 18. По состоянию на 19 сентября 2020 г.

[16] «Интернет-справка — Краткая справка — Часто задаваемые вопросы-314 Поддерживает ли Origin t-критерий Уэлча?» . www.originlab.com . Проверено 9 ноября 2023 г.

[17] «Scipy.stats.ttest_ind — Руководство по SciPy v1.7.1» .

[18] «R: t-тест Стьюдента» .

[19] «JavaScript npm: @stdlib/stats-ttest2» .

[20] «Статистика.Тест.СтудентТ» .

[21] «Указатель /Поддержка/Помощь» .

[22] «Добро пожаловать к прочтению документации — новейшая документация HypothesisTests.jl» .

[23] «Помощь по Stata 17 для ttest» .

[24] «T.TEST — Помощь редакторам документации» .

[25] Джереми Майлз: t-критерий неравных отклонений или U-критерий Манна-Уитни? , по состоянию на 11 апреля 2014 г.

[26] Одновыборочный тест - Официальная документация для SPSS Статистика версии 24. По состоянию на 22 января 2019 г.

[27] «Справочник по функции: Welch_test» .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]