Однородное дерево

В дескриптивной теории множеств — дерево над множеством произведений. $Y\times Z$ называется однородным, если существует система мер $\langle \mu _{s}\mid s\in {}^{<\omega }Y\rangle$ такие, что выполняются следующие условия:

• $\mu _{s}$ является счетно-аддитивной мерой на $\{t\mid \langle s,t\rangle \in T\}$ .
• Меры в некотором смысле совместимы при ограничении последовательностей: если $s_{1}\subseteq s_{2}$, затем $\mu _{s_{1}}(X)=1\iff \mu _{s_{2}}(\{t\mid t\upharpoonright lh(s_{1})\in X\})=1$.
• Если $x$ находится в проекции $T$, сверхдержава ​ $\langle \mu _{x\upharpoonright n}\mid n\in \omega \rangle$ является вполне обоснованным.

Эквивалентное определение получается, когда последнее условие заменяется следующим:

• Есть $\langle \mu _{s}\mid s\in {}^{\omega }Y\rangle$ такое, что если $x$ находится в проекции $[T]$ и $\forall n\in \omega \,\mu _{x\upharpoonright n}(X_{n})=1$, то есть $f\in {}^{\omega }Z$ такой, что $\forall n\in \omega \,f\upharpoonright n\in X_{n}$. Это условие можно рассматривать как своего рода счетное условие полноты системы мер.

$T$ Говорят, что это $\kappa$-однороден, если каждый $\mu _{s}$ является $\kappa$-полный.

Однородные деревья используются в Мартина и Стила доказательстве проективной детерминированности .

Ссылки

• Мартин, Дональд А. и Джон Р. Стил (январь 1989 г.). «Доказательство проективной детерминированности» . Журнал Американского математического общества . 2 (1). Журнал Американского математического общества, Vol. 2, № 1: 71–125. дои : 10.2307/1990913 . JSTOR   1990913 .