Теорема Героха о расщеплении

В теории причинной структуры на лоренцевых многообразиях теорема Героха или теорема о расщеплении Героха (впервые доказанная Робертом Герохом ) дает топологическую характеристику глобально гиперболического пространства-времени.

Теорема

Поверхность Коши может иметь углы и, следовательно, не обязательно должна быть дифференцируемым подмногообразием пространства-времени; однако он всегда непрерывен (и даже липшицев непрерывен ). Используя поток векторного поля, выбранного как полное, гладкое и времениподобное, элементарно доказать, что если поверхность Коши $S$ есть $C к$ -гладкое, тогда пространство-время равно $C к$ -диффеоморфно произведению $S \times R$ и что любые две такие поверхности Коши являются $C к$ -диффеоморфный. ^{[ 1 ]}

Роберт Герох доказал в 1970 году, что каждое глобально гиперболическое пространство-время имеет поверхность Коши $S$ и что гомеоморфизм (как $C 0$ -диффеоморфизм) в $S \times R$ можно выбрать так, чтобы каждая поверхность вида $S \times {a}$ была поверхностью Коши, а каждая кривая вида ${s} \times R$ была непрерывной времениподобной кривой. ^{[ 2 ]}

Различные фундаментальные учебники, такие как Джорджа Эллиса и Стивена Хокинга » «Крупномасштабная структура пространства-времени и » Роберта Уолда «Общая теория относительности , ^{[ 3 ]} утверждал, что методы сглаживания позволяют усилить результат Героха из топологического контекста в гладкий. Однако это не было удовлетворительно доказано до работы Антонио Берналя и Мигеля Санчеса в 2003 году. В результате их работы известно, что каждое глобально гиперболическое пространство-время имеет поверхность Коши, которая гладко вложена и пространственноподобна. ^{[ 4 ]} Как они доказали в 2005 году, диффеоморфизм к $S \times R$ можно выбрать так, чтобы каждая поверхность вида $S \times {a}$ была пространственноподобной гладкой поверхностью Коши и чтобы каждая кривая вида ${s} \times R$ была гладкой времениподобной кривой. ортогонально каждой поверхности $S \times {a}$ . ^{[ 5 ]}

Ссылки

^ Герох 1970 , Собственность 7; Берналь и Санчес 2005 , Раздел 2.
^ Герох 1970 , Раздел 5; Берналь и Санчес, 2005 г. , раздел 2; Хокинг и Эллис, 1973 , Предложение 6.6.8; Мингуцци и Санчес, 2008 г. , раздел 3.11.2.
^ Хокинг и Эллис 1973 , с. 212; Уолд 1984 , с. 209.
^ Бернал и Санчес 2003 , Теорема 1.1; Мингуцци и Санчес, 2008 г. , раздел 3.11.3.
^ Бернал и Санчес 2005 , Теорема 1.1; Мингуцци и Санчес, 2008 г. , раздел 3.11.3.

Источники

Берналь, Антонио Н.; Санчес, Мигель (2003). «О гладких гиперповерхностях Коши и теореме Героха о расщеплении». Связь в математической физике . 243 (3): 461–470. arXiv : gr-qc/0306108 . дои : 10.1007/s00220-003-0982-6 . МР 2029362 . Збл 1085.53060 .
Берналь, Антонио Н.; Санчес, Мигель (2005). «Гладкость функций времени и метрическое расщепление глобально гиперболического пространства-времени». Связь в математической физике . 257 (1): 43–50. arXiv : gr-qc/0401112 . дои : 10.1007/s00220-005-1346-1 . МР 2163568 . Збл 1081.53059 .
Герох, Роберт (1970). «Домен зависимости». Журнал математической физики . 11 (2): 437–449. дои : 10.1063/1.1665157 . МР 0270697 . Збл 0189.27602 .
Хокинг, Юго-Запад ; Эллис, СКФ (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Кембриджские монографии по математической физике. Том. 1. Лондон-Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/CBO9780511524646 . ISBN 9780521099066 . МР 0424186 . Збл 0265.53054 .
Мингуцци, Этторе; Санчес, Мигель (2008). «Каузальная иерархия пространства-времени». В Алексеевском, Дмитрий Васильевич; Баум, Хельга (ред.). Последние достижения в псевдоримановой геометрии . Лекции ESI по математике и физике. Цюрих: Европейское математическое общество . стр. 299–358. arXiv : gr-qc/0609119 . дои : 10.4171/051-1/9 . ISBN 978-3-03719-051-7 . МР 2436235 . Збл 1148.83002 .
Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Чикаго, Иллинойс: Издательство Чикагского университета . ISBN 0-226-87032-4 . МР 0757180 . Збл 0549.53001 .

Эта относительности статья, посвященная теории , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

Эта математической физикой статья, связанная с , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

Эта дифференциальной геометрией, статья, связанная с незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[FOOTNOTEGeroch1970Property_7BernalSánchez2005Section_2-1] Герох 1970 , Собственность 7; Берналь и Санчес 2005 , Раздел 2.

[FOOTNOTEGeroch1970Section_5BernalSánchez2005Section_2HawkingEllis1973Proposition_6.6.8MinguzziSánchez2008Section_3.11.2-2] Герох 1970 , Раздел 5; Берналь и Санчес, 2005 г. , раздел 2; Хокинг и Эллис, 1973 , Предложение 6.6.8; Мингуцци и Санчес, 2008 г. , раздел 3.11.2.

[FOOTNOTEHawkingEllis1973212Wald1984209-3] Хокинг и Эллис 1973 , с. 212; Уолд 1984 , с. 209.

[FOOTNOTEBernalSánchez2003Theorem_1.1MinguzziSánchez2008Section_3.11.3-4] Бернал и Санчес 2003 , Теорема 1.1; Мингуцци и Санчес, 2008 г. , раздел 3.11.3.

[FOOTNOTEBernalSánchez2005Theorem_1.1MinguzziSánchez2008Section_3.11.3-5] Бернал и Санчес 2005 , Теорема 1.1; Мингуцци и Санчес, 2008 г. , раздел 3.11.3.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]