Парадокс ящика Бертрана

Парадокс ящика Бертрана — это настоящий парадокс в элементарной теории вероятностей . Впервые он был сформулирован Жозефом Бертраном в его работе 1889 года «Исчисление вероятностей» .

Есть три коробки:

ящик с двумя золотыми монетами,
ящик с двумя серебряными монетами,
ящик, в котором находится одна золотая и одна серебряная монета.

Выберите коробку наугад. Из этой коробки наугад достаньте одну монету. Если это окажется золотая монета, то какова вероятность того, что следующая монета, вынутая из того же ящика, тоже будет золотой монетой?

Истинный парадокс — это парадокс, правильное решение которого кажется нелогичным. Может показаться интуитивным, что вероятность того, что оставшаяся монета окажется золотой, должна быть равна ⁠ 1 / 2 ⁠ , но на самом деле вероятность равна ⁠ 2 / 3 ⁠ . ^[1] Бертран показал, что если ⁠ 1/2 были бы ⁠ правильными , это привело бы к противоречию, поэтому ⁠ 1/2 может быть не ⁠ верным.

Эта простая, но противоречивая головоломка используется в качестве стандартного примера при преподавании теории вероятностей. Решение иллюстрирует некоторые основные принципы, включая аксиомы Колмогорова .

Решение

Парадокс коробки Бертрана: три равновероятных исхода после первого розыгрыша золотой монеты. Вероятность вытащить еще одну золотую монету из того же ящика равна 0 в (а) и 1 в (б) и (в). Таким образом, общая вероятность вытянуть золотую монету во втором розыгрыше равна ⁠ 0 / 3 ⁠ + ⁠ 1 / 3 ⁠ + ⁠ 1 / 3 ⁠ = ⁠ 2 / 3 ⁠ .

Проблему можно переформулировать, описав коробки как имеющие по одному ящику с каждой из двух сторон. В каждом ящике лежит монета. В одной коробке с каждой стороны лежит золотая монета ( GG ), в другой — серебряная монета с каждой стороны ( SS ), а в другой — золотая монета с одной стороны и серебряная монета с другой ( GS ). Наугад выбирают коробку, открывают случайный ящик и внутри него обнаруживают золотую монету. Какова вероятность того, что на другой стороне монеты окажется золото?

Следующее ошибочное рассуждение, по-видимому, дает вероятность ⁠ 1 / 2 ⁠ :

Первоначально все три поля были выбраны с одинаковой вероятностью.
Выбранный ящик не может быть ящиком SS .
Значит это должна быть коробка GG или GS .
Две оставшиеся возможности равновероятны. Таким образом, вероятность того, что коробка GG , а другая монета тоже золотая, равна ⁠ 1 / 2 ⁠ .

Ошибка находится на последнем этапе. Хотя эти два случая изначально были одинаково вероятны, тот факт, что вы наверняка найдете золотую монету, если вы выбрали коробку GG , но уверены только на 50%, что найдете золотую монету, если вы выбрали коробку GS , означает, что они уже не столь вероятно, учитывая, что вы нашли золотую монету. Конкретно:

Вероятность того, что ГГ выдаст золотую монету, равна 1.
Вероятность того, что SS выдаст золотую монету, равна 0.
Вероятность того, что GS выпустит золотую монету, равна ⁠ 1 / 2 ⁠ .

Первоначально GG , SS и GS одинаково вероятны. $\left(\mathrm {i.e.,P(GG)=P(SS)=P(GS)} ={\frac {1}{3}}\right)$ . Следовательно, по правилу Байеса условная вероятность того, что выбранный ящик — GG , при условии, что мы наблюдали золотую монету, равна:

\mathrm {P(GG\mid see\ gold)={\frac {P(see\ gold\mid GG)\times {\frac {1}{3}}}{P(see\ gold\mid GG)\times {\frac {1}{3}}+P(see\ gold\mid SS)\times {\frac {1}{3}}+P(see\ gold\mid GS)\times {\frac {1}{3}}}}} ={\frac {\frac {1}{3}}{\frac {1}{3}}}\times {\frac {1}{1+0+{\frac {1}{2}}}}={\frac {2}{3}}

Правильный ответ от ⁠ 2/3 ⁠ : также можно получить следующим образом

Первоначально все шесть монет были выбраны с одинаковой вероятностью.
Выбранная монета не может находиться в ящике S коробки GS или в любом из ящиков коробки SS .
Значит, он должен быть из ящика G коробки GS или любого из ящиков коробки GG .
Три оставшихся возможности равновероятны, поэтому вероятность того, что ящик окажется из ящика GG, равна ⁠ 2 / 3 ⁠ .

Целью Бертрана при построении этого примера было показать, что простой подсчет случаев не всегда уместен. Вместо этого следует суммировать вероятности того, что случаи дадут наблюдаемый результат; и эти два метода эквивалентны только в том случае, если эта вероятность в каждом случае равна 1 или 0. Это условие правильно применяется вторым методом решения, но не первым. ^{[ нужна ссылка ]}

Экспериментальные данные

В ходе опроса 53 первокурсников психологии, проходящих вводный курс вероятностей, 35 ответили неправильно. ⁠ 1/2 ⁠ ; только 3 ученика ответили правильно ⁠ 2 / 3 ⁠ . ^[2]

Связанные проблемы

Другие достоверные парадоксы вероятности включают:

Задачи Монти Холла и трех узников математически идентичны парадоксу ящика Бертрана. Конструкция парадокса «Мальчик или девочка» аналогична: по сути, добавляется четвертая коробка с золотой монетой и серебряной монетой. Его ответ противоречив, поскольку предполагается, что был выбран «ящик».

Ссылки

^ «Парадокс ящика Бертрана» . Оксфордский справочник .
^ Бар-Хилель, Майя ; Фальк, Рума (1982). «Некоторые тизеры, касающиеся условных вероятностей». Познание . 11 (2): 109–22. дои : 10.1016/0010-0277(82)90021-X . ПМИД 7198956 . S2CID 44509163 .

Никерсон, Раймонд (2004). Познание и шанс: психология вероятностного рассуждения , Лоуренс Эрльбаум. Ч. 5, «Некоторые поучительные задачи: три карты», стр. 157–160. ISBN 0-8058-4898-3
Майкл Кларк, «Парадоксы от А до Я» , с. 16;
Говард Марголис, Уэйсон, Монти Холл и неблагоприятные дефолты .

Внешние ссылки

Оценка вероятности с помощью случайных ящиков и имен , моделирование

[Oxford-1] «Парадокс ящика Бертрана» . Оксфордский справочник .

[Bar-Hillel-2] Бар-Хилель, Майя ; Фальк, Рума (1982). «Некоторые тизеры, касающиеся условных вероятностей». Познание . 11 (2): 109–22. дои : 10.1016/0010-0277(82)90021-X . ПМИД 7198956 . S2CID 44509163 .

[1]

[2]