Множители Лагранжа в банаховых пространствах

В области вариационного исчисления в математике метод множителей Лагранжа в банаховых пространствах может быть использован для решения некоторых бесконечномерных с ограничениями задач оптимизации . Метод является обобщением классического метода множителей Лагранжа используемого для поиска экстремумов функции , конечного числа переменных.

Теорема Лагранжа о множителях для банаховых пространств

Пусть X и Y — вещественные банаховы пространства . Пусть U — открытое подмножество X и пусть f : U → R — непрерывно дифференцируемая функция . Пусть g : U → Y — другая непрерывно дифференцируемая функция, ограничение : цель состоит в том, чтобы найти экстремальные точки (максимумы или минимумы) f при условии, что g равно нулю.

Предположим, что u ₀ является ограниченным экстремумом , f т.е. экстремумом f на

$g^{-1}(0)=\{x\in U\mid g(x)=0\in Y\}\subseteq U.$

Предположим также, что Dg ( является u0 ) _в : X → Y функции g точке u0 _Фреше сюръективным производная линейным отображением . Тогда существует множитель Лагранжа λ : Y → R в Y ^∗ , двойственное пространство к Y , такое, что

$\mathrm {D} f(u_{0})=\lambda \circ \mathrm {D} g(u_{0}).\quad {\mbox{(L)}}$

Поскольку D f ( u ₀ ) является элементом двойственного пространства X ^∗ , уравнение (L) также можно записать в виде

$\mathrm {D} f(u_{0})=\left(\mathrm {D} g(u_{0})\right)^{*}(\lambda ),$

где (D г ( ты ₀ )) ^∗ ( λ ) — это обратный образ с λ помощью D g ( u ₀ ), т.е. действие присоединенного отображения (D g ( u ₀ )) ^∗ на λ , как определено формулой

$\left(\mathrm {D} g(u_{0})\right)^{*}(\lambda )=\lambda \circ \mathrm {D} g(u_{0}).$

Связь с конечномерным случаем

В случае, когда и Y конечномерны (т.е. линейно изоморфны R X ^м и Р ^н для некоторых натуральных чисел m и n ), то запись уравнения (L) в матричной форме показывает, что λ — обычный вектор множителя Лагранжа; в случае n = 1 λ — обычный множитель Лагранжа, вещественное число.

Приложение

Во многих задачах оптимизации стремятся минимизировать функционал, определенный в бесконечномерном пространстве, таком как банахово пространство.

Рассмотрим, например, пространство Соболева ${\textstyle X=H_{0}^{1}([-1,+1];\mathbb {R} )}$ и функционал ${\textstyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$ данный

$f(u)=\int _{-1}^{+1}u'(x)^{2}\,\mathrm {d} x.$

Без каких-либо ограничений минимальное значение f было бы равно 0 и достигалось бы при u ₀ ( x ) = 0 для всех x между −1 и +1. Можно также рассмотреть задачу ограниченной оптимизации, чтобы минимизировать f среди всех тех u ∈ X , что среднее значение u равно +1. В терминах приведенной выше теоремы ограничение g будет иметь вид

$g(u)={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{+1}u(x)\,\mathrm {d} x-1.$

Однако эту задачу можно решить, как и в конечномерном случае, поскольку множитель Лагранжа $\lambda$ является только скаляром.

См. также

• Принцип минимума Понтрягина , Гамильтонов метод в вариационном исчислении

Ссылки

• Люенбергер, Дэвид Г. (1969). «Локальная теория ограниченной оптимизации». Оптимизация методами векторного пространства . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр. 239–270. ISBN  0-471-55359-Х .
• Зейдлер, Эберхард (1995). Прикладной функциональный анализ: вариационные методы и оптимизация . Прикладные математические науки 109. Том. 109. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0821-1 . ISBN  978-1-4612-0821-1 . (См. раздел 4.14, стр. 270–271.)

Эта статья включает в себя материал из множителей Лагранжа в банаховых пространствах на платформе PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .