Треугольная личность Фэй

В алгебраической геометрии тождество тройной секущей Фэя — это тождество между тэта-функциями римановых поверхностей, введенное Фэем ( 1973 , глава 3, стр. 34, формула 45). Тождество Фэя справедливо для тэта-функций якобианов кривых, но не для тэта-функций общих абелевых многообразий .

Название «тождество тройной секущей» относится к геометрической интерпретации, данной Мамфордом (1984 , стр.3.219), который использовал его, чтобы показать, что многообразие Куммера римановой поверхности рода g , заданное изображением отображения якобиана в проективную пространство размерности 2 ^г – 1, индуцированная тэта-функциями второго порядка, имеет 4-мерное пространство тройных секущих.

Заявление

Предположим, что

C — компактная риманова поверхность
g — род C
θ — тэта-функция Римана C , функция из C ^г до С
E — простая форма на C × C
u , v , x , y — точки C
z — элемент C ^г
ω — 1-форма на C со значениями в C ^г

Личность Фэй гласит, что

${\begin{aligned}&E(x,v)E(u,y)\theta \left(z+\int _{u}^{x}\omega \right)\theta \left(z+\int _{v}^{y}\omega \right)\\-&E(x,u)E(v,y)\theta \left(z+\int _{v}^{x}\omega \right)\theta \left(z+\int _{u}^{y}\omega \right)\\=&E(x,y)E(u,v)\theta (z)\theta \left(z+\int _{u+v}^{x+y}\omega \right)\end{aligned}}$

с

${\begin{aligned}&\int _{u+v}^{x+y}\omega =\int _{u}^{x}\omega +\int _{v}^{y}\omega =\int _{u}^{y}\omega +\int _{v}^{x}\omega \end{aligned}}$

Ссылки

Фэй, Джон Д. (1973), Тета-функции на римановых поверхностях , Конспект лекций по математике, том. 352, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0060090 , ISBN. 978-3-540-06517-3 , МР 0335789
Мамфорд, Дэвид (1974), «Сорта Прима. I», в Альфорсе, Ларс В.; Кра, Ирвин; Ниренберг, Луи; и др. (ред.), Вклад в анализ (сборник статей, посвященный Липману Берсу) , Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 325–350, ISBN 978-0-12-044850-0 , МР 0379510
Мамфорд, Дэвид (1984), Тата-лекции по тэте. II , Прогресс в математике, том. 43, Бостон, Массачусетс: Биркхойзер Бостон, ISBN 978-0-8176-3110-9 , МР 0742776