Коэффициент асимметрии Лоренца

Коэффициент асимметрии Лоренца ( LAC ) представляет собой сводную статистику кривой Лоренца , которая измеряет степень асимметрии кривой. Кривая Лоренца используется для описания неравенства в распределении какой-либо величины (обычно дохода или богатства в экономике или размера или репродуктивного продукта в экологии). Наиболее распространенной сводной статистикой для кривой Лоренца является коэффициент Джини, который является общей мерой неравенства среди населения. Коэффициент асимметрии Лоренца может быть полезным дополнением к коэффициенту Джини. Коэффициент асимметрии Лоренца определяется как

$S=F(\mu )+L(\mu )$

где функции F и L определены как для кривой Лоренца , а µ — среднее значение. Если S > 1, то точка, где кривая Лоренца параллельна линии равенства, находится над осью симметрии. Соответственно, если S < 1, то точка, в которой кривая Лоренца параллельна линии равенства, находится ниже оси симметрии.

Если данные возникают из логнормального распределения , то S = 1, т. е. кривая Лоренца симметрична.

Статистика выборки S может быть рассчитана на основе n : данных упорядоченного размера $(x_{1},...,x_{m},x_{m+1},...,x_{n})$, используя следующие уравнения:

$\delta ={\frac {\mu -x_{m}}{x_{m+1}-x_{m}}}$

$F(\mu )={\frac {m+\delta }{n}}$

$L(\mu )={\frac {L_{m}+\delta x_{m+1}}{L_{n}}}$,

где m - количество людей с размером или богатством меньше μ и $L_{i}=\sum _{j=1}^{i}x_{j}$. Однако если один или несколько размеров данных равны µ , то S необходимо определить как интервал, а не число (см. #LAC-интервал, когда некоторые данные равны µ ).

Коэффициент асимметрии Лоренца характеризует важный аспект формы кривой Лоренца. Он показывает, какой размер или классы благосостояния вносят наибольший вклад в общее неравенство населения, измеряемое коэффициентом Джини. Если LAC меньше 1, неравенство в первую очередь связано с относительно большим количеством маленьких или бедных людей. Если LAC больше 1, неравенство возникает в первую очередь из-за нескольких крупнейших или богатейших людей.

Для доходов, распределенных по логарифмически нормальному распределению , LAC тождественно равен 1.

Интервал LAC, когда некоторые данные равны μ

В приведенных выше формулах предполагается, что ни одно из значений данных не равно μ ; строго говоря, мы предполагаем, что размеры данных непрерывно распределены, так что $P(x_{i}=\mu )\approx 0$. В противном случае, если один или несколько из $x_{i}=\mu$, то участок кривой Лоренца параллелен диагонали, и S необходимо определить как интервал, а не как число. Интервал можно определить следующим образом:

$\left[{\frac {m}{n}}+{\frac {L_{m}}{L_{n}}},{\frac {m+a}{n}}+{\frac {L_{m+a}}{L_{n}}}\right]$

где a — количество значений данных, равных μ .

Ссылки

• Дамгаард, Кристиан; Вайнер, Джейкоб (2000). «Описание неравенства в размерах и плодовитости растений». Экология . 81 (4): 1139–1142. doi : 10.1890/0012-9658(2000)081[1139:DIIPSO]2.0.CO;2 .

Внешние ссылки

• LORENZ 3.0 — это блокнот Mathematica , в котором рисуются образцы кривых Лоренца и рассчитываются коэффициенты Джини и коэффициенты асимметрии Лоренца на основе данных в листе Excel.