Вернер штат

Состояние Вернера это $d^{2}$ × $d^{2}$-мерная двудольная квантовых состояний матрица плотности , инвариантная относительно всех унитарных операторов вида $U\otimes U$. То есть это двучастное квантовое состояние. $\rho _{AB}$ это удовлетворяет

$\rho _{AB}=(U\otimes U)\rho _{AB}(U^{\dagger }\otimes U^{\dagger })$

для всех унитарных операторов U, действующих в d -мерном гильбертовом пространстве. Эти состояния были впервые разработаны Рейнхардом Ф. Вернером в 1989 году.

Общее определение

Каждое состояние Вернера $W_{AB}^{(p,d)}$ представляет собой смесь проекторов на симметричное и антисимметричное подпространства с относительным весом $p\in [0,1]$ являющийся основным параметром, определяющим состояние, помимо размерности $d\geq 2$:

$W_{AB}^{(p,d)}=p{\frac {2}{d(d+1)}}P_{AB}^{\text{sym}}+(1-p){\frac {2}{d(d-1)}}P_{AB}^{\text{as}},$

где

$P_{AB}^{\text{sym}}={\frac {1}{2}}(I_{AB}+F_{AB}),$

$P_{AB}^{\text{as}}={\frac {1}{2}}(I_{AB}-F_{AB}),$

это проекторы и

$F_{AB}=\sum _{ij}|i\rangle \langle j|_{A}\otimes |j\rangle \langle i|_{B}$

который меняет местами две подсистемы A и B. — это оператор перестановки или переворота ,

Состояния Вернера разделимы при p ≥ 1 ⁄ 2 и запутаны при p < 1 ⁄ 2 . Все запутанные состояния Вернера нарушают критерий разделимости PPT , но при d ≥ 3 ни одно состояние Вернера не нарушает более слабый критерий редукции . Состояния Вернера можно параметризовать по-разному. Один из способов их записи —

$\rho _{AB}={\frac {1}{d^{2}-d\alpha }}(I_{AB}-\alpha F_{AB}),$

где новый параметр α варьируется от −1 до 1 и относится к p как

$\alpha =((1-2p)d+1)/(1-2p+d).$

Пример с двумя кубитами

Двухкубитные состояния Вернера, соответствующие $d=2$ выше, можно явно записать в матричной форме как $$W_{AB}^{(p,2)}={\frac {p}{6}}{\begin{pmatrix}2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&2\end{pmatrix}}+{\frac {(1-p)}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&1&-1&0\\0&-1&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {p}{3}}&0&0&0\\0&{\frac {3-2p}{6}}&{\frac {-3+4p}{6}}&0\\0&{\frac {-3+4p}{6}}&{\frac {3-2p}{6}}&0\\0&0&0&{\frac {p}{3}}\end{pmatrix}}.$$Эквивалентно, их можно записать как выпуклую комбинацию полностью смешанного состояния с состоянием Белла (проекцией на него): $$W_{AB}^{(\lambda ,2)}=\lambda |\Psi ^{-}\rangle \!\langle \Psi ^{-}|+{\frac {1-\lambda }{4}}I_{AB},\qquad |\Psi ^{-}\rangle \equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|01\rangle -|10\rangle ),$$ где $\lambda \in [-1/3,1]$ (или, ограничиваясь положительными ценностями, $\lambda \in [0,1]$) относится к $p$ к $\lambda =(3-4p)/3$. Тогда двухкубитные состояния Вернера разделимы для $\lambda \leq 1/3$ и запутался в $\lambda >1/3$.

Каналы Вернера-Холево

Вернера-Холево. Квантовый канал ${\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\left(p,d\right)}$ с параметрами $p\in \left[0,1\right]$ и целое число $d\geq 2$определяется как

${\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\left(p,d\right)}=p{\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{sym}}+\left(1-p\right){\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{as}},$

где квантовые каналы ${\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{sym}}$ и ${\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{as}}$ определяются как

${\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{sym}}(X_{A})={\frac {1}{d+1}}\left[\operatorname {Tr} [X_{A}]I_{B}+\operatorname {id} _{A\rightarrow B}(T_{A}(X_{A}))\right],$

${\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{as}}(X_{A})={\frac {1}{d-1}}\left[\operatorname {Tr} [X_{A}]I_{B}-\operatorname {id} _{A\rightarrow B}(T_{A}(X_{A}))\right],$

и $T_{A}$ обозначает частичное системы A. транспонирование Обратите внимание, что Состояние Цой канала Вернера-Холево ${\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{p,d}$является состоянием Вернера:

${\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\left(p,d\right)}(\Phi _{RA})=p{\frac {2}{d\left(d+1\right)}}P_{RB}^{\text{sym}}+\left(1-p\right){\frac {2}{d\left(d-1\right)}}P_{RB}^{\text{as}},$

где $\Phi _{RA}={\frac {1}{d}}\sum _{i,j}|i\rangle \langle j|_{R}\otimes |i\rangle \langle j|_{A}$.

Многосторонние государства Вернера

Состояния Вернера можно обобщить на многочастный случай. N - партийное состояние Вернера — это состояние, инвариантное относительно $U\otimes U\otimes \cdots \otimes U$ для любого унитарного U в одной подсистеме. Состояние Вернера больше не описывается одним параметром, а N ! − 1 параметров и представляет собой линейную комбинацию N ! различные перестановки в N системах.