Распространение, сохраняющее среднее значение

В вероятности и статистике разброс , сохраняющий среднее значение ( MPS ). ^[1] — это переход от одного распределения вероятностей A к другому распределению вероятностей B, где B формируется путем распределения одной или нескольких частей функции плотности вероятности или функции массы вероятности A , при этом среднее значение ( ожидаемое значение ) остается неизменным. По сути, концепция спредов, сохраняющих среднее значение, обеспечивает стохастическое упорядочение игр с равным средним значением (распределение вероятностей) в соответствии со степенью их риска ; это упорядочение является частичным , что означает, что из двух игр с равными средними не обязательно верно, что одна из них является разбросом другой, сохраняющим среднее значение. Распределение A называется сокращением распределения B, сохраняющим среднее значение, если B является распространением A, сохраняющим среднее значение.

Ранжирование азартных игр по спредам, сохраняющим среднее значение, представляет собой особый случай ранжирования азартных игр по стохастическому доминированию второго порядка , а именно, особый случай равных средних: если B является сохраняющим среднее разбросом A, то A является стохастическим доминированием второго порядка над Б; и обратное справедливо, если A и B имеют равные средние значения.

Если B представляет собой разброс A, сохраняющий среднее значение, то B имеет более высокую дисперсию, чем A, и ожидаемые значения A и B идентичны; но обратное в целом неверно, поскольку дисперсия представляет собой полное упорядочение, тогда как упорядочение с помощью спредов, сохраняющих среднее значение, является лишь частичным.

Пример

Этот пример показывает, что для того, чтобы иметь разброс, сохраняющий среднее значение, не требуется, чтобы вся или большая часть вероятностной массы отклонялась от среднего значения. ^[2] Пусть А имеет равные вероятности $1/100$ по каждому результату $x_{Ai}$ , с $x_{Ai}=198$ для $i=1,\dots ,50$ и $x_{Ai}=202$ для $i=51,\dots ,100$ ; и пусть B имеет равные вероятности $1/100$ по каждому результату $x_{Bi}$ , с $x_{B1}=100$ , $x_{Bi}=200$ для $i=2,\dots ,99$ , и $x_{B100}=300$ . Здесь B был построен из A путем перемещения одного фрагмента вероятности 1% со 198 на 100 и перемещения 49 фрагментов вероятности со 198 на 200, а затем перемещения одного фрагмента вероятности с 202 на 300 и перемещения 49 фрагментов вероятности с 202 на 200. Это последовательность двух разбросов, сохраняющих среднее значение, сама по себе является разбросом, сохраняющим среднее значение, несмотря на то, что 98% вероятностной массы переместилось к среднему значению (200).

Математические определения

Позволять $x_{A}$ и $x_{B}$ — случайные величины, связанные с играми A и B. Тогда B — сохраняющий среднее распространение A тогда и только тогда, когда $x_{B}{\overset {d}{=}}(x_{A}+z)$ для некоторой случайной величины $z$ имея $E(z\mid x_{A})=0$ для всех значений $x_{A}$ . Здесь ${\overset {d}{=}}$ означает « равен по распределению » (то есть «имеет такое же распределение, как»).

Спреды, сохраняющие среднее значение, также можно определить с помощью кумулятивных функций распределения. $F_{A}$ и $F_{B}$ A и B. Если A и B имеют равные средние значения, B является сохраняющим среднее распространение A тогда и только тогда, когда площадь под $F_{A}$ от минус бесконечности до $x$ меньше или равно значению, указанному в $F_{B}$ от минус бесконечности до $x$ для всех действительных чисел $x$ , со строгим неравенством в некоторых $x$ .

Оба этих математических определения повторяют определения стохастического доминирования второго порядка для случая равных средних.

Связь с теорией ожидаемой полезности

Если B представляет собой разброс A, сохраняющий среднее значение, то A будет предпочтительнее всеми максимизаторами ожидаемой полезности, имеющими вогнутую полезность. Обратное также справедливо: если A и B имеют равные средние значения и A предпочитают все максимизаторы ожидаемой полезности, имеющие вогнутую полезность, то B представляет собой сохраняющий среднее распространение A.

См. также

Ссылки

^ Ротшильд, Майкл ; Стиглиц, Джозеф (1970). «Повышающийся риск I: определение». Журнал экономической теории . 2 (3): 225–243. дои : 10.1016/0022-0531(70)90038-4 .
^ Ландсбергер, М.; Мейлиджсон, И. (1993). «Доминирование портфеля с сохранением среднего значения». Обзор экономических исследований . 60 (2): 479–485. дои : 10.2307/2298068 . JSTOR 2298068 .

Дальнейшее чтение

Мас-Колелл, А .; Уинстон, доктор медицины; Грин, младший (1995). Микроэкономическая теория . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. 197–199. ISBN 0-19-510268-1 – через Google Книги .

[1] Ротшильд, Майкл ; Стиглиц, Джозеф (1970). «Повышающийся риск I: определение». Журнал экономической теории . 2 (3): 225–243. дои : 10.1016/0022-0531(70)90038-4 .

[2] Ландсбергер, М.; Мейлиджсон, И. (1993). «Доминирование портфеля с сохранением среднего значения». Обзор экономических исследований . 60 (2): 479–485. дои : 10.2307/2298068 . JSTOR 2298068 .

[1]

[2]