Ожидаемая ценность выборочной информации

В теории принятия решений ожидаемая ценность выборочной информации ( EVSI ) — это ожидаемое увеличение полезности, которое лицо, принимающее решения, может получить от получения доступа к выборке дополнительных наблюдений перед принятием решения. Дополнительная информация, полученная из выборки, может позволить им принять более обоснованное и, следовательно, лучшее решение, что приведет к увеличению ожидаемой полезности. EVSI пытается оценить, каким будет это улучшение, прежде чем увидеть фактические данные выборки; следовательно, EVSI представляет собой форму так называемого препостериорного анализа . Использование EVSI в теории принятия решений было популяризировано Робертом Шлайфером и Говардом Райффой в 1960-х годах.

Формулировка

Позволять

${\begin{array}{ll}d\in D&{\mbox{the decision being made, chosen from space }}D\\x\in X&{\mbox{an uncertain state, with true value in space }}X\\z\in Z&{\mbox{an observed sample composed of }}n{\mbox{ observations }}\langle z_{1},z_{2},..,z_{n}\rangle \\U(d,x)&{\mbox{the utility of selecting decision }}d{\mbox{ from }}x\\p(x)&{\mbox{the prior subjective probability distribution (density function) on }}x\\p(z|x)&{\mbox{the conditional prior probability of observing the sample }}z\end{array}}$

Это обычное (но не обязательное) явление в сценариях EVSI для $Z_{i}=X$, $p(z|x)=\prod p(z_{i}|x)$ и $\int zp(z|x)dz=x$, то есть каждое наблюдение представляет собой объективное показание датчика основного состояния. $x$, при этом показания каждого датчика независимы и одинаково распределены.

Полезность оптимального решения, основанного только на априорных данных, без каких-либо дополнительных наблюдений, определяется выражением

$E[U]=\max _{d\in D}~\int _{X}U(d,x)p(x)~dx.$

Если бы лицо, принимающее решения, могло получить доступ к одному образцу, $z$оптимальная апостериорная полезность будет равна

$E[U|z]=\max _{d\in D}~\int _{X}U(d,x)p(x|z)~dx$

где $p(x|z)$ получается по правилу Байеса :

$p(x|z)={{p(z|x)p(x)} \over {p(z)}};$

$p(z)=\int p(z|x)p(x)~dx.$

Поскольку они не знают, какая выборка на самом деле была бы получена, если бы она была получена, они должны усреднить все возможные выборки, чтобы получить ожидаемую полезность для данной выборки:

$E[U|SI]=\int _{Z}E[U|z]p(z)dz=\int _{Z}\max _{d\in D}~\int _{X}U(d,x)p(z|x)p(x)~dx~dz.$

Ожидаемое значение выборочной информации затем определяется как

${\begin{array}{rl}EVSI&=E[U|SI]-E[U]\\&=\left(\int _{Z}\max _{d\in D}~\int _{X}U(d,x)p(z|x)p(x)~dx~dz\right)-\left(\max _{d\in D}~\int _{X}U(d,x)p(x)~dx\right).\end{array}}$

Вычисление

Аналитическое интегрирование по пространству возможных наблюдений в E[U|SI] редко представляется возможным, поэтому вычисление EVSI обычно требует моделирования методом Монте-Карло . Метод предполагает случайное моделирование выборки, $z^{i}=\langle z_{1}^{i},z_{2}^{i},..,z_{n}^{i}\rangle$, затем используя его для вычисления апостериорного $p(x|z^{i})$ и максимизация полезности на основе $p(x|z^{i})$. Весь этот процесс затем повторяется много раз, т. $i=1,..,M$ чтобы получить Монте-Карло выборку оптимальных полезностей . Они усредняются для получения ожидаемой полезности для гипотетической выборки.

Пример

Регулирующий орган должен решить, одобрить ли новый метод лечения. Прежде чем принять окончательное решение об одобрении/отклонении, они задаются вопросом, какова будет польза от проведения дальнейшего пробного исследования по $n$ предметы. На этот вопрос отвечает EVSI.

схема модели EVSI

На диаграмме показана диаграмма влияния на расчет EVSI в этом примере.

Модель классифицирует результат для любого данного субъекта в одну из пяти категорий:

$Z_{i}=$ {"Лечение", "Улучшение", "Неэффективно", "Легкий побочный эффект", "Серьезный побочный эффект"}

И для каждого из этих результатов назначается полезность, равная расчетной денежной стоимости результата, эквивалентной пациенту.

Состояние решения, $x$ в этом примере представляет собой вектор из пяти чисел от 0 до 1, сумма которых равна 1, что дает долю будущих пациентов, которые испытают каждый из пяти возможных результатов. Например, государство $x=[5\%,60\%,20\%,10\%,5\%]$ обозначает случай, когда 5% пациентов излечиваются, 60% чувствуют себя лучше, 20% находят лечение неэффективным, 10% испытывают легкие побочные эффекты и 5% испытывают опасные побочные эффекты.

Предыдущий, $p(x)$ кодируется с использованием распределения Дирихле , требующего пяти чисел (сумма которых не равна 1), относительные значения которых отражают ожидаемую относительную долю каждого результата, а сумма которых кодирует силу этого предварительного убеждения. На диаграмме параметры распределения Дирихле содержатся в переменной dirichlet Alpha Prior , а само априорное распределение находится в случайной переменной Prior . График плотности вероятности маргиналов : показан здесь

В случайной переменной Trial data данные испытания моделируются как выборка Монте-Карло из полиномиального распределения . Например, когда Trial_size=100, каждая выборка Trial_data Монте-Карло содержит вектор, сумма которого равна 100, показывающая количество субъектов в смоделированном исследовании, которые испытали каждый из пяти возможных результатов. В следующей таблице результатов показаны результаты первых 8 смоделированных испытаний:

Для объединения этих данных испытания с априорным распределением Дирихле требуется только добавить частоты результатов к априорным значениям альфа Дирихле, что приведет к получению апостериорного распределения Дирихле для каждого смоделированного испытания. Для каждого из них решение об одобрении принимается на основании того, является ли средняя полезность положительной, и используя нулевую полезность, когда лечение не одобрено, получается препостериорная полезность . Повторяя вычисления для диапазона возможных размеров испытания, EVSI получается для каждого возможного размера испытания-кандидата, как показано на этом графике:

Сравнение с соответствующими мерами

Ожидаемая ценность выборочной информации (EVSI) представляет собой ослабление метрики ожидаемой ценности совершенной информации (EVPI), которая кодирует увеличение полезности, которое было бы получено, если бы кто-то узнал истинное основное состояние. $x$. По сути, EVPI указывает на ценность точной информации, тогда как EVSI указывает на ценность некоторой ограниченной и неполной информации.

Ожидаемая ценность включения неопределенности (EVIU) сравнивает ценность моделирования неопределенной информации с моделированием ситуации без учета неопределенности. Поскольку влияние неопределенности на результаты расчетов часто анализируется с использованием методов Монте-Карло , EVIU, по-видимому, очень похоже на ценность проведения анализа с использованием выборки Монте-Карло , что по формулировке очень похоже на понятие, зафиксированное с помощью EVSI. Однако EVSI и EVIU совершенно различны — заметная разница между тем, как EVSI использует байесовское обновление для включения моделируемой выборки.

См. также

• Байесовский экспериментальный план
• Ожидаемая ценность совершенной информации (EVPI)
• Ожидаемое значение с учетом неопределенности (EVIU)

Дальнейшее чтение

• Гамбург, Моррис; Янг, Пег (1993). «Разработка оптимальных стратегий перед отбором проб». Статистический анализ для принятия решений . Форт-Уэрт: Драйден Пресс. стр. 731–766. ISBN  0-03-096914-Х .