Ожидаемая ценность совершенной информации

В теории принятия решений ожидаемая ценность совершенной информации ( EVPI ) – это цена, которую человек был бы готов заплатить, чтобы получить доступ к совершенной информации . Распространенной дисциплиной, использующей концепцию EVPI, является экономика здравоохранения . В этом контексте и при принятии решения о том, следует ли применять новую технологию лечения, всегда существует некоторая степень неопределенности, связанная с этим решением, поскольку всегда существует вероятность того, что решение окажется неверным. Ожидаемая ценность анализа совершенной информации пытается измерить ожидаемую стоимость этой неопределенности, которую «можно интерпретировать как ожидаемую ценность совершенной информации (EVPI), поскольку совершенная информация может исключить возможность принятия неправильного решения», по крайней мере, с теоретической точки зрения. теоретическая перспектива.

Уравнение

Задача моделируется с помощью матрицы выигрышей R _ij, в которой индекс строки i описывает выбор, который должен сделать игрок, а индекс столбца j описывает случайную величину, о которой игрок еще не знает, и которая имеет вероятность p _j пребывания в состоянии j . Если игрок должен выбрать i, не зная значения j , лучшим выбором будет тот, который максимизирует ожидаемую денежную стоимость :

${\mbox{EMV}}=\max _{i}\sum _{j}p_{j}R_{ij}$

где

$\sum _{j}p_{j}R_{ij}$

- ожидаемый выигрыш за действие , т.е. математическое ожидание , и

${\mbox{EMV}}=\max _{i}$

выбирает максимум из этих ожиданий для всех доступных действий. С другой стороны, обладая прекрасным знанием j , игрок может выбрать значение i , которое оптимизирует ожидание для этого конкретного j . Следовательно, ожидаемое значение при наличии полной информации равно

${\mbox{EV}}|{\mbox{PI}}=\sum _{j}p_{j}(\max _{i}R_{ij}),$

где $p_{j}$ — вероятность того, что система находится в состоянии j , а $R_{ij}$ — это выигрыш, если следовать действию i , пока система находится в состоянии j . Здесь, $(\max _{i}R_{ij})$ указывает лучший выбор действия i для каждого состояния j .

Ожидаемая ценность совершенной информации — это разница между этими двумя величинами:

${\mbox{EVPI}}={\mbox{EV}}|{\mbox{PI}}-{\mbox{EMV}}.$

Эта разница в ожидании описывает, насколько большее значение игрок может надеяться получить, зная j и выбирая лучшее i для этого j , по сравнению с выбором значения i до того, как j станет известно . Поскольку EV|PI обязательно больше или равен EMV, EVPI всегда неотрицательен.

EVPI представляет собой критерий, по которому можно судить обычных, недостаточно информированных прогнозистов. EVPI можно использовать для отклонения дорогостоящих предложений: если кому-то предлагают знания по цене, превышающей EVPI, лучше отказаться от этого предложения. Однако это менее полезно при принятии решения о том, принимать ли предложение прогнозирования, поскольку необходимо знать качество получаемой информации.

Пример

Настраивать:

Предположим, вы собираетесь инвестировать только в один из трех инвестиционных инструментов: акции, паевые инвестиционные фонды или депозитные сертификаты (CD). Далее предположим, что рынок имеет 50%-ную вероятность роста, 30%-ную вероятность остаться ровной и 20%-ную вероятность снижения. Если рынок вырастет, инвестиции в акции принесут 1500 долларов, а взаимный фонд — 900 долларов. Если рынок останется ровным, инвестиции в акции принесут 300 долларов, а взаимный фонд — 600 долларов. Если рынок упадет, инвестиции в акции потеряют 800 долларов, а взаимный фонд потеряет 200 долларов. Депозитный сертификат принесет доход в 500 долларов независимо от колебаний рынка.

Вопрос:

Какова ожидаемая ценность совершенной информации?

Решение:

Здесь матрица выигрышей:

$R={\begin{bmatrix}1500&300&-800\\900&600&-200\\500&500&500\end{bmatrix}}$

Вектор вероятности:

$p={\begin{bmatrix}0.5\\0.3\\0.2\end{bmatrix}}$

Ожидание для каждого автомобиля ( $Rp$):

${\mbox{Exp}}_{\text{stock}}=0.5\times 1500+0.3\times 300+0.2\times (-800)=680$

${\mbox{Exp}}_{\text{mutual fund}}=0.5\times 900+0.3\times 600+0.2\times (-200)=590$

${\mbox{Exp}}_{\text{certificate of deposit}}=0.5\times 500+0.3\times 500+0.2\times 500=500$

Максимум этих ожиданий — это серийный автомобиль. Не зная, в каком направлении пойдет рынок (зная только вероятность этого направления), мы ожидаем заработать больше денег на стандартном автомобиле.

Таким образом,

${\mbox{EMV}}=680$

С другой стороны, подумайте, знали ли мы заранее, в какую сторону повернется рынок. Учитывая знание направления рынка, мы (потенциально) приняли бы другое решение об инвестиционном инструменте.

Ожидание максимизации прибыли с учетом состояния рынка:

${\mbox{EV}}|{\mbox{PI}}=0.5\times 1500+0.3\times 600+0.2\times 500=1030$

То есть, учитывая каждое направление рынка, мы выбираем тот инвестиционный инструмент, который максимизирует прибыль.

Следовательно,

${\mbox{EVPI}}={\mbox{EV}}|{\mbox{PI}}-{\mbox{EMV}}=1030-680=350.$

Заключение:

Знание направления, в котором будет двигаться рынок (т.е. наличие точной информации), стоит 350 долларов.

Обсуждение:

Если бы кто-то продавал информацию, гарантирующую точный прогноз будущего направления рынка, мы хотели бы покупать эту информацию только в том случае, если цена была менее 350 долларов. Если бы цена была выше 350 долларов, мы бы не купили информацию, если бы цена была меньше 350 долларов, мы бы купили информацию. Если цена составила ровно 350 долларов, то наше решение бесполезно.

Предположим, цена информации составила 349,99 долларов, и мы ее купили. Тогда мы ожидаем получить 1030 - 349,99 = 680,01 > 680. Следовательно, купив информацию, мы смогли заработать на 0,01 доллара больше, чем если бы мы не покупали информацию.

Предположим, цена информации составила 350,01 доллара, и мы купили ее. Тогда мы ожидаем, что получим 1030 - 350,01 = 679,99 < 680. Следовательно, купив информацию, мы потеряли 0,01 доллара по сравнению с тем, чтобы не покупать информацию.

Предположим, цена информации составила 350 долларов, и мы купили ее. Тогда мы ожидаем, что получим 1030 – 350,00 = 680,00 = 680. Следовательно, приобретая информацию, мы не выиграли и не потеряли никаких денег, решив купить эту информацию, по сравнению с тем, чтобы не покупать информацию.

Примечание. В качестве практического примера можно привести стоимость использования денег для покупки товаров (временную стоимость денег), которую также необходимо учитывать.

Характеристики

Есть несколько характеристик EVPI, которые всегда сохраняются:

• Ценность информации никогда не может быть меньше нуля, поскольку лицо, принимающее решение, всегда может проигнорировать дополнительную информацию и принять решение, как будто такая информация недоступна.
• Никакая другая деятельность по сбору/обмену информацией не может быть более ценной, чем та, которую количественно определяет EVPI.
• В задаче принятия решения с двумя вариантами выбора и двумя возможными исходами для случайной величины EVPI не может превышать половину максимальной разницы в вознаграждении при каждом исходе.

См. также

• Ожидаемая ценность выборочной информации
• Ожидаемая ценность включения неопределенности