Ожидаемая ценность включения неопределенности

В теории принятия решений и количественном анализе политики ожидаемая ценность включения неопределенности ( EVIU ) представляет собой ожидаемую разницу в ценности решения, основанного на вероятностном анализе , и решения, основанного на анализе, который игнорирует неопределенность . ^[1]^[2]^[3]

Фон

Решения приходится принимать каждый день в условиях повсеместной неопределенности. Для большинства повседневных решений используются различные эвристики, позволяющие разумно действовать в условиях неопределенности, часто даже не задумываясь о ее наличии. Однако при принятии более важных решений или решений в публичных ситуациях лица, принимающие решения, часто могут извлечь выгоду из более систематического подхода к своей проблеме принятия решений, например, посредством количественного анализа или анализа решений .

При построении количественной модели принятия решений разработчик модели определяет различные соответствующие факторы и кодирует их как входные переменные . На основе этих входных данных другие величины, называемые результирующими переменными можно вычислить ; они предоставляют информацию для лица, принимающего решения. Например, в примере, подробно описанном ниже, лицо, принимающее решение, должно решить, как скоро до вылета рейса по расписанию он должен выехать в аэропорт (решение). Одна входная переменная — сколько времени потребуется, чтобы доехать до гаража аэропорта. На основе этих и других входных данных модель может вычислить, насколько вероятно, что лицо, принимающее решение, пропустит рейс и каковы будут чистые затраты (в минутах) для различных решений.

Чтобы принять решение, очень распространенной практикой является игнорирование неопределенности. Решения принимаются посредством количественного анализа и построения модели путем простого использования наилучшего предположения (единственного значения) для каждой входной переменной. Решения затем принимаются на основе вычисленных точечных оценок . Однако во многих случаях игнорирование неопределенности может привести к очень плохим решениям, а оценки результирующих переменных часто вводят в заблуждение лица, принимающего решения. ^[4]

Альтернативой игнорированию неопределенности в количественных моделях принятия решений является явное кодирование неопределенности как части модели. При таком подходе для каждой входной переменной предоставляется распределение вероятностей , а не одно наилучшее предположение. Отклонение в этом распределении отражает степень субъективной неопределенности (или отсутствия знаний) в отношении входного количества. Затем программные инструменты используют такие методы, как анализ Монте-Карло, для распространения неопределенности на результирующие переменные, так что лицо, принимающее решения, получает явную картину влияния, которое неопределенность оказывает на его решения, и во многих случаях может принять гораздо лучшее решение, поскольку результат.

При сравнении двух подходов — игнорирования неопределенности и явного моделирования неопределенности — естественный вопрос заключается в том, насколько это действительно влияет на качество принимаемых решений. В 1960-х годах Рональд А. Ховард предложил ^[5] Одна из таких мер — ожидаемая ценность совершенной информации (EVPI), мера того, сколько стоило бы узнать «истинные» значения для всех неопределенных входных переменных. Предоставляя весьма полезную меру чувствительности к неопределенности, EVPI не отражает напрямую фактическое улучшение решений, полученных в результате явного представления и рассуждений о неопределенности. Для этого Макс Генрион в своей докторской диссертации диссертация представила ожидаемую ценность включения неопределенности (EVIU), тему этой статьи.

Формализация

Позволять

{\begin{array}{ll}d\in D&{\text{the decision being made, chosen from space }}D\\x\in X&{\text{the uncertain quantity, with true value in space }}X\\U(d,x)&{\text{the utility function}}\\f(x)&{\text{the prior subjective probability distribution (density function) on }}x\end{array}}

Если не учитывать неопределенность, оптимальное решение находится с использованием только $E[x]$ , ожидаемое значение неопределенной величины. Следовательно, решение, игнорирующее неопределенность, определяется следующим образом:

d_{iu}={\arg \max _{d}}~U(d,E[x]).

Оптимальным решением, учитывающим неопределенность, является стандартное байесовское решение, которое максимизирует ожидаемую полезность :

d^{*}={\arg \max _{d}}{\int U(d,x)f(x)\,dx}.

EVIU — это разница в ожидаемой полезности между этими двумя решениями:

EVIU=\int _{X}\left[U(d^{*},x)-U(d_{iu},x)\right]f(x)\,dx.

Неопределенная величина x и переменная решения d могут состоять из множества скалярных переменных, и в этом случае пространства X и D являются векторными пространствами.

Пример

Диаграмма справа представляет собой диаграмму влияния, позволяющую решить, насколько рано лицу, принимающему решение, следует выйти из дома, чтобы успеть на рейс в аэропорту. Единственное решение в зеленом прямоугольнике — это количество минут, за которое вы решите покинуть самолет до вылета самолета. На диаграмме показаны четыре неопределенные переменные, выделенные голубыми овалами: время, необходимое для того, чтобы доехать от дома до гаража аэропорта (в минутах), время, чтобы добраться от гаража до ворот (в минутах), время до вылета, которое необходимо быть у выхода на посадку, а также убытки (в минутах), понесенные в случае опоздания на рейс. Каждый из этих узлов содержит распределение вероятностей, а именно:

Time_to_drive_to_airport   := LogNormal(median:60,gsdev:1.3)
Time_from_parking_to_gate  := LogNormal(median:10,gsdev:1.3)
Gate_time_before_departure := Triangular(min:20,mode:30,max:40)
Loss_if_miss_the_plane     := LogNormal(median:400,stddev:100)

Каждое из этих распределений считается статистически независимым . Распределение вероятностей для первой неопределенной переменной Time_to_drive_to_airport с медианой 60 и геометрическим стандартным отклонением 1,3 показано на этом графике:

Модель рассчитывает стоимость (красная шестиугольная переменная) как количество минут (или их эквивалентов), затраченных на успешную посадку в самолет. Если кто-то прибудет слишком поздно, он опоздает на самолет и понесет большие потери (отрицательную полезность), связанные с ожиданием следующего рейса. Если кто-то прибывает слишком рано, он несет расходы на неоправданно долгое ожидание рейса.

Модели, использующие EVIU, могут использовать функцию полезности или, что то же самое, они могут использовать функцию потерь , и в этом случае функция полезности является просто отрицательным значением функции потерь . В любом случае EVIU будет положительным. Основное отличие состоит лишь в том, что при использовании функции потерь решение принимается путем минимизации потерь, а не максимизации полезности. В примере здесь используется функция потерь Cost.

Таким образом, определения для каждой из вычисляемых переменных следующие:

Time_from_home_to_gate := Time_to_drive_to_airport + Time_from_parking_to_gate + Loss_if_miss_the_plane
Value_per_minute_at_home := 1

Cost := Value_per_minute_at_home * Time_I_leave_home +
           (If Time_I_leave_home < Time_from_home_to_gate Then Loss_if_miss_the_plane Else 0)

На следующем графике показано ожидаемое значение с учетом неопределенности (гладкая синяя кривая) и ожидаемая полезность без учета неопределенности, представленная в виде функции переменной решения.

Когда неопределенность игнорируется, человек действует так, как будто полет будет выполнен с уверенностью, если он вылетает как минимум за 100 минут до полета, и с уверенностью пропустит рейс, если вылетит позже этого срока. Поскольку человек ведет себя так, как будто все определенно, оптимальное действие — уйти ровно за 100 минут (или 100 минут, 1 секунду) до полета.

При учете неопределенности ожидаемое значение сглаживается (синяя кривая), и оптимальное действие — вылететь за 140 минут до полета. Кривая ожидаемой стоимости с решением за 100 минут до полета показывает, что ожидаемые затраты при игнорировании неопределенности составляют 313,7 минуты, тогда как ожидаемые затраты при выходе за 140 минут до полета составляют 151 минуту. Разница между этими двумя заключается в EVIU:

EVIU=313.7-151=162.7{\text{ minutes}}

Другими словами, если неопределенность будет явно принята во внимание при принятии решения, будет реализована средняя экономия в 162,7 минуты.

Линейно-квадратичное управление

В контексте централизованного линейно-квадратичного управления , с аддитивной неопределенностью в уравнении эволюции, но без неопределенности относительно значений коэффициентов в этом уравнении, оптимальное решение для переменных управления с учетом неопределенности совпадает с решением, игнорирующим неопределенность. Это свойство, которое дает нулевое ожидаемое значение, включая неопределенность, называется эквивалентностью достоверности .

Отношение к ожидаемой ценности совершенной информации (EVPI)

И EVIU, и EVPI сравнивают ожидаемое значение решения Байеса с другим решением, принятым без неопределенности. Для EVIU это другое решение принимается, когда неопределенность игнорируется , хотя она существует, тогда как для EVPI это другое решение принимается после того, как неопределенность устранена путем получения точной информации о x .

EVPI — это ожидаемая стоимость неуверенности в отношении x , тогда как EVIU — это дополнительные ожидаемые затраты, связанные с предположением о том, что человек уверен.

EVIU, как и EVPI, дает ожидаемую ценность в единицах функции полезности.

См. также

Ссылки

^ Морган, М. Грейнджер; Генрион, Макс (1990). «Глава 12». Неопределенность: Руководство по борьбе с неопределенностью в количественном анализе рисков и политике . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-36542-2 .
^ Генрион, М. (1982). Ценность знания того, как мало вы знаете: преимущества вероятностного подхода к неопределенности в политическом анализе (докторская диссертация). Университет Карнеги-Меллон.
^ Агентство по охране окружающей среды (2001). «Приложение D: Расширенные подходы к моделированию для характеристики изменчивости и неопределенности». Руководство по оценке рисков для Суперфонда (RAGS), Том III. Часть A: Процесс проведения вероятностной оценки рисков (PDF) . Агентство по охране окружающей среды США. п. Д-20.
^ Данцигер, Джефф; Сэм Л. Сэвидж (2009). Недостаток средних значений: почему мы недооцениваем риск перед лицом неопределенности . Нью-Йорк: Уайли. ISBN 978-0-471-38197-6 .
^ Ховард, Рон А. (1966). «Теория ценности информации». Транзакции IEEE по системным наукам и кибернетике . 1 : 22–6. дои : 10.1109/TSSC.1966.300074 .

[1] Морган, М. Грейнджер; Генрион, Макс (1990). «Глава 12». Неопределенность: Руководство по борьбе с неопределенностью в количественном анализе рисков и политике . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-36542-2 .

[2] Генрион, М. (1982). Ценность знания того, как мало вы знаете: преимущества вероятностного подхода к неопределенности в политическом анализе (докторская диссертация). Университет Карнеги-Меллон.

[3] Агентство по охране окружающей среды (2001). «Приложение D: Расширенные подходы к моделированию для характеристики изменчивости и неопределенности». Руководство по оценке рисков для Суперфонда (RAGS), Том III. Часть A: Процесс проведения вероятностной оценки рисков (PDF) . Агентство по охране окружающей среды США. п. Д-20.

[4] Данцигер, Джефф; Сэм Л. Сэвидж (2009). Недостаток средних значений: почему мы недооцениваем риск перед лицом неопределенности . Нью-Йорк: Уайли. ISBN 978-0-471-38197-6 .

[5] Ховард, Рон А. (1966). «Теория ценности информации». Транзакции IEEE по системным наукам и кибернетике . 1 : 22–6. дои : 10.1109/TSSC.1966.300074 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]