Треугольное распределение

Треугольный

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$a:~a\in (-\infty ,\infty )$ $b:~a<b\,$ $c:~a\leq c\leq b\,$
Поддерживать	$a\leq x\leq b\!$
PDF	${\begin{cases}0&{\text{for }}x<a,\\{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&{\text{for }}a\leq x<c,\\[4pt]{\frac {2}{b-a}}&{\text{for }}x=c,\\[4pt]{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&{\text{for }}c<x\leq b,\\[4pt]0&{\text{for }}b<x.\end{cases}}$
CDF	${\begin{cases}0&{\text{for }}x\leq a,\\[2pt]{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}}&{\text{for }}a<x\leq c,\\[4pt]1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}}&{\text{for }}c<x<b,\\[4pt]1&{\text{for }}b\leq x.\end{cases}}$
Иметь в виду	${\frac {a+b+c}{3}}$
медиана	${\begin{cases}a+{\sqrt {\frac {(b-a)(c-a)}{2}}}&{\text{for }}c\geq {\frac {a+b}{2}},\\[6pt]b-{\sqrt {\frac {(b-a)(b-c)}{2}}}&{\text{for }}c\leq {\frac {a+b}{2}}.\end{cases}}$
Режим	$c\,$
Дисперсия	${\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}$
асимметрия	${\frac {{\sqrt {2}}(a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^{2}\!+\!b^{2}\!+\!c^{2}\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^{\frac {3}{2}}}}$
Избыточный эксцесс	$-{\frac {3}{5}}$
Энтропия	${\frac {1}{2}}+\ln \left({\frac {b-a}{2}}\right)$
МГФ	$2{\frac {(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}$
CF	$-2{\frac {(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}$

В теории вероятностей и статистике треугольное распределение представляет собой непрерывное распределение вероятностей с нижним пределом a , верхним пределом b и режимом c , где a < b и a ≤ c ≤ b .

Особые случаи

Режим на границе

Распределение упрощается, когда c = a или c = b . Например, если a = 0, b = 1 и c = 1, PDF и CDF станут:

$\left.{\begin{array}{rl}f(x)&=2x\\[8pt]F(x)&=x^{2}\end{array}}\right\}{\text{ for }}0\leq x\leq 1$

${\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&={\frac {2}{3}}\\[8pt]\operatorname {Var} (X)&={\frac {1}{18}}\end{aligned}}$

Распределение абсолютной разницы двух стандартных однородных переменных

Это распределение для a = 0, b = 1 и c = 0 является распределением X = | X ₁ − X ₂ |, где X ₁ , X ₂ — две независимые случайные величины со стандартным равномерным распределением .

${\begin{aligned}f(x)&=2-2x{\text{ for }}0\leq x<1\\[6pt]F(x)&=2x-x^{2}{\text{ for }}0\leq x<1\\[6pt]E(X)&={\frac {1}{3}}\\[6pt]\operatorname {Var} (X)&={\frac {1}{18}}\end{aligned}}$

Симметричное треугольное распределение

Симметричный случай возникает, когда c = ( a + b )/2. В этом случае альтернативная форма функции распределения имеет вид:

${\begin{aligned}f(x)&={\frac {(b-c)-|c-x|}{(b-c)^{2}}}\\[6pt]\end{aligned}}$

Распределение среднего значения двух стандартных однородных переменных

Это распределение для a = 0, b = 1 и c = 0,5 — мода (т. е. пик) находится точно в середине интервала — соответствует распределению среднего значения двух стандартных однородных переменных, то есть распределению X + = ( X ₁ ) / X ₂ 2, где X ₁ , X ₂ — две независимые случайные величины со стандартным равномерным распределением в [0, 1]. Это случай распределения Бейтса для двух переменных.

$f(x)={\begin{cases}4x&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\4(1-x)&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x\leq 1\end{cases}}$

$F(x)={\begin{cases}2x^{2}&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\2x^{2}-(2x-1)^{2}&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x\leq 1\end{cases}}$

${\begin{aligned}E(X)&={\frac {1}{2}}\\[6pt]\operatorname {Var} (X)&={\frac {1}{24}}\end{aligned}}$

Генерация случайных переменных

Учитывая случайную величину U, взятую из равномерного распределения в интервале (0, 1), тогда переменная

$X={\begin{cases}a+{\sqrt {U(b-a)(c-a)}}&{\text{ for }}0<U<F(c)\\&\\b-{\sqrt {(1-U)(b-a)(b-c)}}&{\text{ for }}F(c)\leq U<1\end{cases}}$

где $F(c)=(c-a)/(b-a)$, имеет треугольное распределение с параметрами $a,b$ и $c$. Это можно получить из кумулятивной функции распределения.

Использование дистрибутива

См. Также: Трехбалльная оценка

Треугольное распределение обычно используется в качестве субъективного описания совокупности, для которой имеются лишь ограниченные выборочные данные, особенно в тех случаях, когда взаимосвязь между переменными известна, но данных недостаточно (возможно, из-за высокой стоимости сбора). Он основан на знании минимума и максимума и «вдохновленном предположении». что касается модального значения. По этим причинам треугольное распределение было названо распределением «недостатка знаний».

Бизнес-симуляции

Поэтому треугольное распределение часто используется при принятии бизнес-решений , особенно в симуляциях . результата известно немного Как правило, когда о распределении (скажем, только его наименьшее и наибольшее значения), можно использовать равномерное распределение . Но если также известен наиболее вероятный результат, то его можно смоделировать с помощью треугольного распределения. См., например, раздел «Корпоративные финансы» .

Управление проектом

Треугольное распределение, наряду с распределением PERT , также широко используется в управлении проектами (в качестве входных данных для PERT и, следовательно, метода критического пути (CPM)) для моделирования событий, которые происходят в интервале, определяемом минимальным и максимальным значением.

Сглаживание звука

Симметричное треугольное распределение обычно используется при сглаживании звука , где оно называется TPDF (треугольная функция плотности вероятности).

См. также

• Трапециевидное распределение
• Томас Симпсон
• Трехбалльная оценка
• Пятизначное резюме
• Семизначное резюме
• Треугольная функция
• Центральная предельная теорема . Треугольное распределение часто возникает в результате сложения двух однородных случайных величин. Другими словами, распределение треугольников часто (не всегда) является результатом первой итерации процесса суммирования центральной предельной теоремы (т. е. ${\textstyle n=2}$). В этом смысле треугольное распределение иногда может возникать естественным образом. Если этот процесс суммирования большего количества случайных величин продолжится (т.е. ${\textstyle n\geq 3}$), то распределение будет становиться все более колоколообразным.
• Распределение Ирвина-Холла . Использование распределения Ирвина-Холла — это простой способ создать треугольное распределение.
• Распределение Бейтса — аналогично распределению Ирвина-Холла, но значения масштабированы обратно в диапазон от 0 до 1. Полезно для расчета треугольного распределения, которое впоследствии можно масштабировать и сдвигать для создания других треугольных распределений за пределами диапазона от 0 до 1.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Треугольное распределение» . Математический мир .
• Распределение треугольников , Decisionsciences.org
• Треугольное распределение , Brighton-webs.co.uk
• Доказательство дисперсии треугольного распределения , math.stackexchange.com