Теорема двойственности Фенхеля

В математике теорема двойственности Фенхеля — результат теории выпуклых функций имени Вернера Фенхеля .

Пусть ƒ собственная выпуклая функция на R ^н и пусть g — собственная вогнутая функция на R ^н. Тогда, если условия регулярности выполнены,

\inf _{x}(f(x)-g(x))=\sup _{p}(g_{*}(p)-f^{*}(p)).

где ƒ ^* — выпуклое сопряжение ƒ g (также называемое преобразованием Фенхеля–Лежандра), * _— вогнутое сопряжение g а . То есть,

f^{*}\left(x^{*}\right):=\sup \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -f\left(x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}

g_{*}\left(x^{*}\right):=\inf \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -g\left(x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}

Математическая теорема

Пусть X и Y — банаховы пространства , $f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ и $g:Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ быть выпуклыми функциями и $A:X\to Y$ — ограниченное линейное отображение . Тогда задачи Фенхеля:

p^{*}=\inf _{x\in X}\{f(x)+g(Ax)\}

d^{*}=\sup _{y^{*}\in Y^{*}}\{-f^{*}(A^{*}y^{*})-g^{*}(-y^{*})\}

удовлетворяют слабой двойственности , т.е. $p^{*}\geq d^{*}$ . Обратите внимание, что $f^{*},g^{*}$ являются выпуклыми сопряжениями f , g соответственно, и $A^{*}$ является сопряженным оператором . Функция возмущения для этой двойственной задачи имеет вид $F(x,y)=f(x)+g(Ax-y)$ .

Предположим, что f , g и A удовлетворяют либо

f и g снизу полунепрерывны и $0\in \operatorname {core} (\operatorname {dom} g-A\operatorname {dom} f)$ где $\operatorname {core}$ является алгебраической внутренностью и $\operatorname {dom} h$ , где h — некоторая функция, — множество $\{z:h(z)<+\infty \}$ , или
$A\operatorname {dom} f\cap \operatorname {cont} g\neq \emptyset$ где $\operatorname {cont}$ – это точки, в которых функция непрерывна .

Тогда имеет место сильная двойственность , т.е. $p^{*}=d^{*}$ . Если $d^{*}\in \mathbb {R}$ тогда супремум . достигается ^[1]

Одномерная иллюстрация

На следующем рисунке проиллюстрирована задача минимизации в левой части уравнения. Пытаются изменить x так, чтобы расстояние по вертикали между выпуклой и вогнутой кривыми в точке x было как можно меньшим. Положение вертикальной линии на рисунке является (приблизительным) оптимальным.

Следующий рисунок иллюстрирует задачу максимизации в правой части приведенного выше уравнения. К каждой из двух кривых проведены касательные так, что обе касательные имеют одинаковый наклон p . Проблема состоит в том, чтобы настроить p таким образом, чтобы две касательные находились как можно дальше друг от друга (точнее, так, чтобы точки, в которых они пересекают ось y, были как можно дальше друг от друга). Представьте себе две касательные в виде металлических стержней с вертикальными пружинами между ними, которые раздвигают их и прижимают к двум закрепленным на месте параболам.

Теорема Фенхеля утверждает, что обе проблемы имеют одно и то же решение. Точки, имеющие минимальное вертикальное разделение, также являются точками касания максимально разделенных параллельных касательных.

См. также

Ссылки

^ Борвейн, Джонатан; Чжу, Цицзи (2005). Методы вариационного анализа . Спрингер. стр. 135-137 . ISBN 978-1-4419-2026-3 .

Баушке, Хайнц Х.; Комбеттс, Патрик Л. (2017). «Двойственность Фенхеля-Рокафеллара». Выпуклый анализ и теория монотонных операторов в гильбертовых пространствах . Спрингер. стр. 247–262. дои : 10.1007/978-3-319-48311-5_15 . ISBN 978-3-319-48310-8 .
Рокафеллар, Ральф Тиррелл (1996). Выпуклый анализ . Издательство Принстонского университета. п. 327 . ISBN 0-691-01586-4 .

[1] Борвейн, Джонатан; Чжу, Цицзи (2005). Методы вариационного анализа . Спрингер. стр. 135-137 . ISBN 978-1-4419-2026-3 .

[1]