Индуктивный набор

Бурбаки также определяет индуктивное множество как частично упорядоченное множество, которое удовлетворяет гипотезе леммы Цорна, когда оно непусто.

В дескриптивной теории множеств действительных индуктивный набор ( чисел или, в более общем смысле, индуктивное подмножество польского пространства ) — это набор, который можно определить как наименьшую неподвижную точку монотонной операции, определяемой положительной Σ. ¹_{формула n} для некоторого натурального числа n вместе с вещественным параметром.

Индуктивные множества образуют класс точек, выделенный жирным шрифтом ; то есть они замкнуты относительно непрерывных прообразов . В иерархии Ваджа они лежат выше проективных множеств и ниже множеств в L(R) . Предполагая достаточную определенность , класс индуктивных множеств обладает свойством масштаба и, следовательно, свойством предупорядочивания .

Этот термин может иметь несколько различных значений: ^[1]

По определению Рассела, индуктивное множество — это непустое частично упорядоченное множество, в котором каждый элемент имеет преемника. Примером может служить набор натуральных чисел N, где 0 — первый элемент, а остальные получаются последовательным добавлением 1. ^[2]
Ройтман рассматривает ту же конструкцию в более конкретной форме: элементы — множества, пустое множество $\emptyset$ среди них, и преемник каждого элемента $y$ это набор $y\cup \{y\}$ . В частности, каждое индуктивное множество содержит последовательность $\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\},\dots$ . ^[3]
Для многих других авторов (например, Бурбаки) индуктивное множество — это частично упорядоченное множество, в котором каждое полностью упорядоченное подмножество имеет верхнюю границу, т. е. это множество, удовлетворяющее предположению леммы Цорна. ^[4]

Ссылки

^ Вайсштейн, Эрик В. «Индуктивный набор» . mathworld.wolfram.com . Проверено 5 июня 2024 г.
^ Рассел, Б. (1963). Введение в математическую философию, 11-е изд . Лондон: Джордж Аллен и Анвин. стр. 21–22.
^ Ройтман, Дж (1990). Введение в современную теорию множеств . Нью-Йорк: Уайли. п. 40.
^ Бурбаки, Н. (1970). Индуктивные множества». Глава 3, §2.4 в «Теории множеств» . Париж, Франция: Hermann. С. 20–21.

Мошовакис, Яннис Н. (1980). Описательная теория множеств . Северная Голландия. ISBN 0-444-70199-0 .

Эта теории множеств статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Индуктивный набор» . mathworld.wolfram.com . Проверено 5 июня 2024 г.

[2] Рассел, Б. (1963). Введение в математическую философию, 11-е изд . Лондон: Джордж Аллен и Анвин. стр. 21–22.

[3] Ройтман, Дж (1990). Введение в современную теорию множеств . Нью-Йорк: Уайли. п. 40.

[4] Бурбаки, Н. (1970). Индуктивные множества». Глава 3, §2.4 в «Теории множеств» . Париж, Франция: Hermann. С. 20–21.

[1]

[2]

[3]

[4]