Чудо-генератор октад

В математике Чудо-генератор октад , или MOG , — это математический инструмент, предложенный Робом Т. Кертисом. ^[1] за изучение групп Матье , двоичного кода Голея и решетки Лича .

Описание

Генератор чудо-октад представляет собой массив комбинаций 4x6, описывающий любую точку 24-мерного пространства. Он сохраняет все симметрии и максимальные подгруппы группы Матье M ₂₄ , а именно группу монад, группу дуады, группу триад, группу октад, группу октад, группу секстета, группу трио и группу дуума. Поэтому его можно использовать для изучения всех этих симметрий.

Код Голея

Другое применение Miracle Octad Generator — быстрая проверка кодовых слов двоичного кода Голея . Каждый элемент генератора октад Miracle может хранить либо «1», либо «0», обычно отображаемые в виде звездочки и пробела соответственно. Каждый столбец и верхняя строка имеют свойство, известное как count , которое представляет собой количество звездочек в этой конкретной строке. Одним из критериев того, что набор из 24 координат является кодовым словом в двоичном коде Голея, является то, что все семь отсчетов имеют одинаковую четность . Другое ограничение состоит в том, что значения каждого столбца образуют слово в шестнадцатеричном коде . Оценка столбца может быть 0, 1, ω или ω-бар, в зависимости от его содержимого. Оценка столбца оценивается по следующим правилам:

Если столбец содержит ровно одну звездочку, он получает оценку 0, если он находится в верхней строке, 1, если он находится во второй строке, ω для третьей строки и ω-бар для нижней строки.
Одновременное дополнение каждого бита в столбце не влияет на его оценку.
Дополнение бита в верхнем ряду также не влияет на его оценку.

Кодовое слово может быть получено только из его верхней строки и оценки, что доказывает, что в двоичном коде Голея ровно 4096 кодовых слов.

МиниМОГ

Джон Хортон Конвей разработал массив 4×3, известный как MiniMOG . MiniMOG обеспечивает ту же функцию для группы Матье M ₁₂ и троичного кода Голея , что и Miracle Octad Generator для M ₂₄ и двоичного кода Голея соответственно. Вместо использования четверичного гексакода MiniMOG использует троичный тетракод.

Примечания

^ Кертис (1976)

Ссылки

Конвей, Джон Хортон ; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Основы математических наук, том. 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98585-5 , МР 0920369
Кертис, RT (1976), «Новый комбинаторный подход к M ₂₄ », Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 79 (1): 25–42, doi : 10.1017/S0305004100052075 , ISSN 0305-0041 , MR 0399247

Внешние ссылки

[1] Кертис (1976)

[1]