Гельмгольц катушка

Катушка Helmholtz - это устройство для производства области почти равномерного магнитного поля , названного в честь немецкого физика Германа фон Хельмгольца . Он состоит из двух электромагнитов на одной и той же оси, несущей равный электрический ток в одном и том же направлении. Помимо создания магнитных полей, катушки Helmholtz также используются в научном аппарате для отмены внешних магнитных полей, таких как магнитное поле Земли.

Когда пара двух электромагнитов катушки гельмгольца переносит равный электрический ток в противоположном направлении, она известна как анти-хельмгольц катушка , которая создает область почти однородного градиента магнитного поля и используется для создания магнитных ловушек для атомной физики эксперименты.

Описание

Пара Гельмгольц состоит из двух идентичных круговых магнитных катушек, которые расположены симметрично вдоль общей оси, по одной на каждой стороне экспериментальной области и разделены на расстояние $h$ равен радиусу $R$ катушки. Каждая катушка несет равный электрический ток в одном и том же направлении. ^{[ 1 ]}

Параметр $h=R$ , что является то, что определяет пару Гельмгольца, сводит к минимуму неоднородность поля в центре катушек в смысле настройки $\partial ^{2}B/\partial x^{2}=0$ ^{[ 2 ]} (Это означает, что первая ненулевая производная $\partial ^{4}B/\partial x^{4}$ Как объяснено ниже), но оставляет около 7% вариации силы поля между центром и плоскостями катушек. Немного большее значение $h$ уменьшает разницу в поле между центром и плоскостями катушек, за счет ухудшения однородности поля в области вблизи центра, как измеряется $\partial ^{2}B/\partial x^{2}$ . ^{[ 3 ]}

Когда пара катушек Helmholtz несет равный электрический ток в противоположном направлении, они создают область почти равномерного градиента магнитного поля. Это известно как анти-хельмгольц катушка и используется для создания магнитных ловушек для экспериментов по атомной физике.

В некоторых приложениях катушка Helmholtz используется для отмены магнитного поля Земли , создавая область с интенсивностью магнитного поля, намного ближе к нулю. ^{[ 4 ]}

Математика

Расчет точного магнитного поля в любой точке пространства является математически сложным и включает в себя изучение функций Бесселя . Все проще по оси пары катушки, и это удобно подумать о расширении прочности поля серии Тейлора как функции $x$ , расстояние от центральной точки пары катушки вдоль оси. По симметрии, термины нечетного порядка в расширении равны нулю. Установив катушки так, чтобы происхождение $x=0$ является точкой перегиба для прочности поля из -за каждой катушки отдельно, можно гарантировать, что заказ $x^{2}$ Термин также равен нулю, и, следовательно, ведущий неизвестный термин имеет порядок $x^{4}$ Полем Точка перегиба для простой катушки расположена вдоль оси катушки на расстоянии $R/2$ из его центра. Таким образом, местоположения для двух катушек $x=\pm R/2$ .

Расчет, описанный ниже, дает точное значение магнитного поля в центральной точке. Если радиус равен r , количество поворотов в каждой катушке равно n , а ток через катушки - это i , то магнитное поле B в средней точке между катушками будет дано

B={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}nI}{R}},

где $\mu _{0}$ является проницаемостью свободного пространства ( $4\pi \times 10^{-7}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}}$ ) .

Вывод

Начните с формулы для поля на оси из-за одного цикла проволоки, которая сама получена из закона Biot-Savart : ^{[ 5 ]}

B_{1}(x)={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2(R^{2}+x^{2})^{3/2}}}=\xi (x){\frac {\mu _{0}I}{2R}}.

Здесь

\mu _{0}\;

= Постоянная проницаемость =

4\pi \times 10^{-7}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}}=1.257\times 10^{-6}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}},

I\;

= ток катушки, в Амперах ,

R\;

= радиус катушки, в метрах,

x\;

= расстояние катушки на оси, в точку, в метрах,

\xi (x)=[1+(x/R)^{2}]^{-3/2}\;

зависит от расстояния, безразмерный коэффициент.

Катушка Helmholtz состоит из N поворотов проволоки, поэтому эквивалентный ток в катушке с одним поворотом n раз в ток I в катушке n -turn. Заменить Ni для I в вышеупомянутой формуле дает поле для катушки N -Turn:

B_{1}(x)=\xi (x){\frac {\mu _{0}nI}{2R}}.

Для $x\ll R$ , коэффициент расстояния $\xi (x)=[1+(x/R)^{2})]^{-3/2}\;$ может быть расширен в серии Тейлора как:

$\xi (x)=1-{\frac {3}{2}}(x/R)^{2}+{\mathcal {O}}((x/R)^{4}).$

В паре Гельмгольца две катушки расположены в $x=\pm R/2$ , поэтому сила B-поля на любом $x$ было бы:

{\begin{aligned}B(x)&={\frac {\mu _{0}nI}{2R}}\left[\xi (x-R/2)+\xi (x+R/2)\right]\\&={\frac {\mu _{0}nI}{2R}}\left([1+(x/R-1/2)^{2}]^{-3/2}+[1+(x/R+1/2)^{2}]^{-3/2}\right)\\\end{aligned}}

Точки возле центра (на полпути между двумя катушками) $x\ll R$ и Тейлор серия $\xi (x-R/2)+\xi (x+R/2)$ является:

$(16{\sqrt {5}})/25-(x/R)^{4}(2304{\sqrt {5}})/3125+{\mathcal {O}}((x/R)^{6})\approx 1.43-1.65(x/R)^{4}+{\mathcal {O}}((x/R)^{6})$ .

В паре анти-хельмгольца прочность на B-поле на любом $x$ было бы:

{\begin{aligned}B(x)&={\frac {\mu _{0}nI}{2R}}\left[\xi (x-R/2)-\xi (x+R/2)\right]\\&={\frac {\mu _{0}nI}{2R}}\left([1+(x/R-1/2)^{2}]^{-3/2}-[1+(x/R+1/2)^{2}]^{-3/2}\right)\\\end{aligned}}

Точки возле центра (на полпути между двумя катушками) $x\ll R$ и серия Тейлор $\xi (x-R/2)-\xi (x+R/2)$ является:

$(x/R)(96{\sqrt {5}})/125-(x/R)^{3}(512{\sqrt {5}})/625+{\mathcal {O}}((x/R)^{5})\approx 1.72(x/R)-1.83(x/R)^{3}+{\mathcal {O}}((x/R)^{5})$ .

Изменяющееся во времени магнитное поле

Большинство катушек Helmholtz используют ток DC (прямой) для получения статического магнитного поля. Многие приложения и эксперименты требуют изменяющегося во времени магнитное поле. Эти приложения включают тесты в восприимчивость к магнитному полю, научные эксперименты и биомедицинские исследования (взаимодействие между магнитным полем и живой тканью). Требуемые магнитные поля обычно являются либо пульс, либо непрерывная синусолюбия. Диапазон частот магнитного поля может находиться где -то от DC (0 Гц) до многих килохерц или даже мегахерц (МГц). Для генерации необходимого во времени катушки необходим водитель катушки Helmholtz Helmholtz. Драйвер усилителя формы волны должен иметь возможность выводить высокий ток переменного тока для получения магнитного поля.

Напряжение и ток драйвера

$I=\left({\frac {5}{4}}\right)^{3/2}\left({\frac {BR}{\mu _{0}n}}\right)$

Используйте приведенное выше уравнение в разделе математики, чтобы вычислить ток катушки для желаемого магнитного поля, $b$ .

где $\mu _{0}$ проницаемость свободного пространства или $4\pi \times 10^{-7}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}}=1.257\times 10^{-6}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}},$

$I\;$ = ток катушки, в Амперах,

$R\;$ = радиус катушки, в метрах,

n = количество поворотов в каждой катушке.

Использование генератора функций и драйвера усилителя формы высокого тока для генерации высокочастотного магнитного поля Helmholtz

Затем вычислите требуемое напряжение усилителя драйвера катушки Helmholtz: ^{[ 6 ]}

V=I{\sqrt {{\bigl [}\omega {\bigl (}L_{1}+L_{2}{\bigr )}{\bigr ]}^{2}+{\bigl (}R_{1}+R_{2}{\bigr )}^{2}}}

где

$Я$ пиковой ток,
$ω$ - угловая частота или $ω = 2 πf$ ,
$L 1$ и $L 2$ - индуктивность двух катушек Helmholtz, и
$R 1$ и $R 2$ являются сопротивлением двух катушек.

Высокочастотный сериал резонанс

Генерация статического магнитного поля относительно просто; Сила поля пропорциональна току. Генерация высокочастотного магнитного поля является более сложной задачей. Катушки являются индукторами, и их импеданс увеличивается пропорционально частоте. Для обеспечения той же интенсивности поля при вдвое больше частоты требуется вдвое превышающее напряжение по всей катушке. Вместо того, чтобы непосредственно водить катушку с высоким напряжением, для обеспечения высокого напряжения может использоваться последовательная резонансная схема. ^{[ 7 ]} Серийный конденсатор добавляется последовательно с катушками. Емкость выбирается для резонирования катушки на желаемой частоте. Остается только паразитическое сопротивление катушек. Этот метод работает только на частотах, близких к резонансной частоте; Для генерации поле на других частотах требуется разные конденсаторы. Резонансная частота катушки Helmholtz, $f_{0}$ и значение конденсатора, C, приведены ниже. ^{[ 6 ]}

f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {\left(L_{1}+L_{2}\right)C}}}}

C={\frac {1}{\left(2\pi f_{0}\right)^{2}\left(L_{1}+L_{2}\right)}}

Максвелл катушки

Чтобы улучшить однородность поля в пространстве внутри катушек, вокруг снаружи могут быть добавлены дополнительные катушки. Клерк Джеймса Максвелл показал в 1873 году, что третья катушка с большим диаметром, расположенная на полпути между двумя катушками Гельмгольца с расстоянием катушки, увеличилась от радиуса катушки $R$ к ${\sqrt {3}}R$ может уменьшить дисперсию поля на оси до нуля до шестой производной позиции. Это иногда называют катушкой Максвелла .

Смотрите также

Соленоид
Halbach Array
Магнитная бутылка имеет ту же структуру, что и катушки Helmholtz, но с магнитами отделялись дальше друг от друга, так что поле расширяется в середине, захватывая заряженные частицы с расходящимися полями. Если одна катушка перевернута, она производит ловушку Cusp , которая также ловит заряженные частицы. ^{[ 8 ]}
Катушки Helmholtz были разработаны и построены для лаборатории электромагнитного композитного испытания армии в 1993 году для тестирования композитных материалов на низкочастотные магнитные поля. ^{[ 9 ]}

Ссылки

^ Рамсден, Эдвард (2006). Датчики зала: теория и приложения (2-е изд.). Амстердам: Elsevier/Newnes. п. 195. ISBN 978-0-75067934-3 .
^ Хельмхольц катушка в подразделениях CGS Архивирована 24 марта 2012 года на The Wayback Machine
^ «Электромагнетизм» . Архивировано из оригинала 2011-06-03 . Получено 2007-11-20 .
^ "Земное поле Магнитометр: катушка Хельмгольца" Ричарда Уотиза 2004 года Архивирована 28 июня 2007 года на Archive.today
^ «Магнитное поле тока петли» .
^ Jump up to: ^а ^{беременный} Ян, KC. «Высокочастотные катушки Helmholtz генерируют магнитные поля» . Эдн Получено 2016-01-27 .
^ «Высокочастотная электромагнитная катушка резонанс» . www.accelinstruments.com . Получено 2016-02-25 .
^ "Вход - Asacusa Musashi Group" .
^ J, Детроя, Дэвид; J, Чейз, Рональд (ноябрь 1994). «Расчет и измерение полей катушки Гельмгольца» . Архивировано из оригинала 2 июня 2018 года. {{cite journal}}: CITE Journal требует |journal= ( Справка ) CS1 Maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

Внешние ссылки

На осевом поле идеальной катушки гельмгольца
Осевое поле настоящей пары катушек Гельмгольца
Гельмгольц-камеры поля Франца Крафта, проект демонстраций Wolfram .
Кевин Кунс (2007) Расчет магнитного поля внутри плазматической камеры использует эллиптические интегралы и их производные для вычисления не осевых полей от PBWorks .
Детроя, Дэвид Дж.; Чейз, Рональд Дж. (Ноябрь 1994 г.), Расчет и измерение полей катушки Гельмгольца (PDF) , Исследовательская лаборатория армии, ARL-TN-35, архивировано (PDF) из оригинала 18 апреля 2013 г.
Магнитные поля катушек архивировали 2015-04-30 на машине Wayback
http://physicsx.pr.erau.edu/HelmholtzCoils/

[1] Рамсден, Эдвард (2006). Датчики зала: теория и приложения (2-е изд.). Амстердам: Elsevier/Newnes. п. 195. ISBN 978-0-75067934-3 .

[2] Хельмхольц катушка в подразделениях CGS Архивирована 24 марта 2012 года на The Wayback Machine

[3] «Электромагнетизм» . Архивировано из оригинала 2011-06-03 . Получено 2007-11-20 .

[4] "Земное поле Магнитометр: катушка Хельмгольца" Ричарда Уотиза 2004 года Архивирована 28 июня 2007 года на Archive.today

[5] «Магнитное поле тока петли» .

[:0-6] Jump up to: ^а ^{беременный} Ян, KC. «Высокочастотные катушки Helmholtz генерируют магнитные поля» . Эдн Получено 2016-01-27 .

[7] «Высокочастотная электромагнитная катушка резонанс» . www.accelinstruments.com . Получено 2016-02-25 .

[8] "Вход - Asacusa Musashi Group" .

[9] J, Детроя, Дэвид; J, Чейз, Рональд (ноябрь 1994). «Расчет и измерение полей катушки Гельмгольца» . Архивировано из оригинала 2 июня 2018 года. {{cite journal}}: CITE Journal требует |journal= ( Справка ) CS1 Maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]