Проблема замыкания-дополнения Куратовского
В топологии точечного множества задача Куратовского о замыкании и дополнении требует наибольшего числа различных множеств, которые можно получить путем многократного применения операций замыкания и дополнения множеств к заданному начальному подмножеству топологического пространства . Ответ: 14. Этот результат впервые опубликовал Казимир Куратовский в 1922 году. [ 1 ] Оно получило дополнительное освещение в фундаментальной монографии Куратовского «Топология» (впервые опубликованной на французском языке в 1933 году; первый английский перевод появился в 1966 году), а затем приобрело известность как учебниковое упражнение в классической книге Джона Л. Келли 1955 года «Общая топология» . [ 2 ]
Доказательство
[ редактировать ]Сдача в аренду обозначим произвольное подмножество топологического пространства, напишем для закрытия , и для дополнения . Следующие три тождества означают, что можно получить не более 14 различных наборов:
- . (Операция замыкания идемпотентна .)
- . (Операция дополнения является инволюцией .)
- . (Или эквивалентно , используя тождество (2)).
Первые два тривиальны. Третье следует из тождества где это интерьер которое равно дополнению замыкания дополнения , . (Операция идемпотент.)
Подмножество, реализующее максимум 14, называется 14-множеством . Пространство действительных чисел в обычной топологии содержит 14 множеств. Вот один из примеров:
![{\displaystyle (0,1)\чашка (1,2)\чашка \{3\}\чашка {\bigl (}[4,5]\cap \mathbb {Q} {\bigr)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f7724035dc07d8e83b1e51da4248750f7ad4a6)
где обозначает открытый интервал и обозначает замкнутый интервал. Позволять обозначим это множество. Тогда доступны следующие 14 наборов:
![{\displaystyle [4,5]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29536dee83347f147536b73557908dfe3761c34d)
- , набор, показанный выше.
![{\displaystyle cX=(-\infty,0]\чашка \{1\}\чашка [2,3)\чашка (3,4)\чашка {\bigl (}(4,5)\setminus \mathbb { Q} {\ bigr )} \ чашка (5, \ infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6b64ee9368130c9da3530beed9501c2c903b200)
![{\displaystyle kcX = (-\infty,0]\чашка \{1\}\чашка [2,\infty)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65a73832eb7c41aab31c7db57167614f858f1992)
![{\displaystyle kckcX=[0,2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f445951e2ee260afb41b6fe3b641448e7b33bf03)
![{\displaystyle kckckcX=(-\infty,0]\чашка [2,\infty)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9225757cf8cbe733443a588f6814c4abe3a7485d)
![{\displaystyle kX=[0,2]\чашка \{3\}\чашка [4,5]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8601c39f3544f0faf1018163a0f0cdfdf1627197)
![{\displaystyle kckX=(-\infty,0]\чашка [2,4]\чашка [5,\infty)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3697ee45cdc26e416e584025c3392e77cfcaaed5)
![{\displaystyle kckckX=[0,2]\чашка [4,5]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5b3b4d62c457ddcb5ffe60d6b5a7ea65c23d15b)
Дальнейшие результаты
[ редактировать ]Несмотря на свое происхождение в контексте топологического пространства, проблема замыкания и дополнения Куратовского на самом деле является скорее алгебраической , чем топологической. С 1960 года появилось удивительное множество тесно связанных проблем и результатов, многие из которых имеют мало или вообще не имеют отношения к топологии множества точек. [ 3 ]
Операции замыкания-дополнения дают моноид , который можно использовать для классификации топологических пространств. [ 4 ]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Куратовский, Казимеж (1922). «Об операции А анализа местоположения» (PDF) . Фундамента Математика 3 . Варшава: Польская академия наук: 182–199. дои : 10.4064/fm-3-1-182-199 . ISSN 0016-2736 .
- ^ Келли, Джон (1955). Общая топология . Ван Ностранд. п. 57. ИСБН 0-387-90125-6 .
- ^ Хаммер, ПК (1960). «Теорема Куратовского о замыкании». Новые архивы по математике . 8 . Королевское голландское математическое общество: 74–80. ISSN 0028-9825 .
- ^ Швиберт, Райан (2017). «Радикально-аннигиляторный моноид кольца». Связь в алгебре . 45 (4): 1601–1617. arXiv : 1803.00516 . дои : 10.1080/00927872.2016.1222401 . S2CID 73715295 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Теорема Куратовского о замыкании и дополнении. Архивировано 12 февраля 2022 г. в Wayback Machine Би Джей Гарднером и Марселем Джексоном.
- Задача Куратовского о замыкании и дополнении, Марк Боурон
 | Эта , посвященная топологии, статья незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . |