Открытие (морфология)

Открытие темно-синего квадрата диском, в результате чего получается голубой квадрат с закругленными углами.

В математической морфологии раскрытие — расширение эрозии множества это A структурирующим B элементом :

A\circ B=(A\ominus B)\oplus B,\,

где $\ominus$ и $\oplus$ обозначают эрозию и дилатацию соответственно.

Вместе с закрытием отверстие служит в компьютерном зрении и обработке изображений основным инструментом удаления морфологического шума. Открытие удаляет мелкие объекты с переднего плана (обычно это яркие пиксели) изображения, помещая их на задний план, а закрытие удаляет небольшие дыры на переднем плане, превращая небольшие островки фона на передний план. Эти методы также можно использовать для поиска определенных фигур на изображении. Открытие можно использовать для поиска предметов, в которые может поместиться определенный элемент структурирования (края, углы и т. д.).

Можно представить, что B огибает внутреннюю часть границы A так, чтобы она не выходила за пределы границы, и формирует границу A вокруг границы элемента.

Характеристики

Открытие идемпотентно , т. е. $(A\circ B)\circ B=A\circ B$ .
Открытие увеличивается , то есть, если $A\subseteq C$ , затем $A\circ B\subseteq C\circ B$ .
Открытие является антиэкстенсивным , т.е. $A\circ B\subseteq A$ .
Открытие является трансляционным инвариантом .
Открытие и закрытие удовлетворяют двойственности $A\bullet B=(A^{c}\circ B^{c})^{c}$ , где $\bullet$ означает закрытие.

Пример

Выполнить эрозию $(A\ominus B)$ :

Предположим, что A — следующая матрица 16 x 15, а B — следующая матрица 3 x 3:

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
   0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
   0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 
   0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0     1 1 1
   0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0     1 1 1
   0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0     1 1 1
   0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0    
   0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0       
   0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Сначала выполните Эрозию на A через B. $(A\ominus B$ ):

Предполагая, что начало координат B находится в его центре, для каждого пикселя в A накладывается начало координат B. Если B полностью содержится в A, пиксель сохраняется, а в противном случае удаляется.

Следовательно, эрозия A за счет B определяется этой матрицей 16 x 15.

$(A\ominus B)$ дается:

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
   0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Затем выполните Расширение для результата Эрозии по B: $(A\ominus B)\oplus B$ :

Для каждого пикселя в $(A\ominus B)$ который имеет значение 1, наложите B так, чтобы центр B был совмещен с соответствующим пикселем в $(A\ominus B)$ .

Каждый пиксель каждого наложенного B включен в расширение A на B.

Расширение $(A\ominus B)$ по B задается этой матрицей 16 x 15.

$(A\ominus B)\oplus B$ дается:

   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
   0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
   0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 
   0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0   
   0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0     
   0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0     
   0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0    
   0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0       
   0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Поэтому операция открытия $A\circ B$ удаляет небольшие выступы на границе объекта, представленного буквой A, сохраняя при этом общую форму и размер более крупных компонентов.

Расширение: Открытие путем реконструкции

В морфологическом открытии $(A\ominus B)\oplus B$ , операция эрозии удаляет объекты, которые меньше структурирующего элемента B, а операция расширения (приблизительно) восстанавливает размер и форму оставшихся объектов. Однако точность восстановления при операции дилатации во многом зависит от типа структурирующего элемента и формы восстанавливаемых объектов. Вскрытие методом реконструкции способно более полно восстановить объекты после применения эрозии. Это определяется как реконструкция путем геодезического расширения $n$ эрозии $F$ к $B$ относительно $F$ :

$O_{R}^{(n)}(F)=R_{F}^{D}[(F\ominus nB)],$ ^[1]

где $(F\ominus nB)$ обозначает изображение маркера и $F$ представляет собой изображение маски при морфологической реконструкции путем расширения. $R_{F}^{D}[(F\ominus nB)]=D_{F}^{(k)}[(F\ominus nB)],$ ^[1] $D$ обозначает геодезическое расширение с $k$ итераций до стабилизации, т. е. до такой степени, что $D_{F}^{(k)}[(F\ominus nB)]=D_{F}^{(k-1)}[(F\ominus nB)].$ ^[1] С $D_{F}^{(1)}[(F\ominus nB)]=([(F\ominus nB)]\oplus B)\cap F$ , ^[1] изображение маркера ограничено в области роста изображением маски, поэтому операция расширения изображения маркера не выйдет за пределы изображения маски. В результате изображение маркера является подмножеством изображения маски. $(F\ominus nB)\subseteq F.$ ^[1] (Строго говоря, это справедливо только для двоичных масок. Однако аналогичные утверждения справедливы, когда маска не является двоичной.)

На изображениях ниже представлен простой пример открытия путем реконструкции, который извлекает вертикальные штрихи из входного текстового изображения. Поскольку исходное изображение преобразуется из полутонового в двоичное изображение, некоторые символы в нем имеют некоторые искажения, поэтому одни и те же символы могут иметь разную длину по вертикали. В данном случае элементом структурирования является 8-пиксельная вертикальная линия, которая применяется в операции эрозии для поиска интересующих объектов. Более того, морфологическая реконструкция путем дилатации, $R_{F}^{D}[(F\ominus nB)]=D_{F}^{(k)}[(F\ominus nB)]$ ^[1] повторяет $k=9$ раз, пока полученное изображение не сойдётся.

Изображение маркера

Результат открытия путем реконструкции

См. также

Библиография

Анализ изображений и математическая морфология , Жан Серра, ISBN 0-12-637240-3 (1982)
Анализ изображений и математическая морфология, Том 2: Теоретические достижения Жана Серры, ISBN 0-12-637241-1 (1988)
Введение в морфологическую обработку изображений Эдварда Р. Догерти, ISBN 0-8194-0845-X (1992)

Внешние ссылки

http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/open.htm — Морфологическое начало

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Вудс}first = Ричард Э. (2016). Цифровая обработка изображений . Pearson India Education Services. ISBN 9789332570320 . OCLC 979415531 .

Цифровая обработка изображений ( третье издание ), Рафаэль К. Гонсалес и Ричард Э. Вудс, ISBN 978-93-325-7032-0 (2008 г.)

[:0-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Вудс}first = Ричард Э. (2016). Цифровая обработка изображений . Pearson India Education Services. ISBN 9789332570320 . OCLC 979415531 .

[1]