Эрозия (морфология)

Разрушение темно-синего квадрата диском, в результате чего образовался голубой квадрат.

Эрозия (обычно обозначаемая ⊖ ) — это одна из двух фундаментальных операций (вторая — расширение ) при обработке морфологических изображений , на которой основаны все остальные морфологические операции. Первоначально он был определен для бинарных изображений , позже был расширен до в оттенках серого изображений , а затем и до полных решеток . Операция эрозии обычно использует элемент структурирования для проверки и уменьшения форм, содержащихся во входном изображении.

Бинарная эрозия

В бинарной морфологии изображение рассматривается как подмножество евклидова пространства. $\mathbb {R} ^{d}$ или целочисленная сетка $\mathbb {Z} ^{d}$ , для некоторой размерности d .

Основная идея бинарной морфологии состоит в том, чтобы исследовать изображение с простой, заранее определенной формой и сделать выводы о том, насколько эта форма соответствует или не соответствует формам на изображении. Этот простой «зонд» называется структурирующим элементом и сам по себе является бинарным изображением (т. е. подмножеством пространства или сетки).

Пусть E — евклидово пространство или целочисленная сетка, а A — изображение в E. двоичное Разрушение : бинарного изображения A структурирующим элементом B определяется следующим образом

A\ominus B=\{z\in E\mid B_{z}\subseteq A\}

,

где B _z — сдвиг B на вектор z, т. е. $B_{z}=\{b+z\mid b\in B\}$ , $\forall z\in E$ .

Когда структурирующий элемент B имеет центр (например, диск или квадрат), и этот центр расположен в начале координат E , то размывание A посредством B можно понимать как геометрическое место точек, до которых доходит центр B. когда B движется A. внутри Например, эрозия квадрата со стороной 10 с центром в начале координат диском радиуса 2, также с центром в начале координат, представляет собой квадрат со стороной 6 с центром в начале координат.

Эрозия A за счет B также определяется выражением: $A\ominus B=\bigcap _{b\in B}A_{-b}$ , где A _−b обозначает перевод A на -b .

В более общем смысле это также известно как разница Минковского .

Пример

Предположим, A — матрица 13 x 13, а B — матрица 3 x 3:

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1        
    1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1    
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1    
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1                
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1               1 1 1
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1               1 1 1
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1               1 1 1
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1        
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1    
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1    
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Предполагая, что начало координат B находится в его центре, для каждого пикселя в A накладывается начало координат B; если B полностью содержится в A, пиксель сохраняется, а в противном случае удаляется.

Следовательно, эрозия A за счет B определяется этой матрицей 13 x 13.

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
    0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Это означает, что значения пикселей сохраняются только тогда, когда B полностью содержится внутри A, в противном случае они удаляются или уничтожаются.

Характеристики

Эрозия является трансляционно-инвариантной .
Оно возрастает , то есть, если $A\subseteq C$ , затем $A\ominus B\subseteq C\ominus B$ .
Если начало Е принадлежит структурирующему элементу В , то эрозия антиэкстенсивная , т. е. $A\ominus B\subseteq A$ .
Эрозия удовлетворяет $(A\ominus B)\ominus C=A\ominus (B\oplus C)$ , где $\oplus$ обозначает морфологическое расширение .
Эрозия является дистрибутивной по пересечению множеств.

Эрозия оттенков серого

В оттенков серого морфологии изображения — это функции , отображающие евклидово пространство или сетку E в $\mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}$ , где $\mathbb {R}$ это набор вещественных чисел , $\infty$ является элементом, большим любого действительного числа, и $-\infty$ — это элемент, меньший любого действительного числа.

Обозначая изображение через f(x) и элемент структурирования оттенков серого через b(x) , где B — пространство, в котором определено b(x), размытие шкалы серого f по b определяется выражением

(f\ominus b)(x)=\inf _{y\in B}[f(x+y)-b(y)]

,

где «inf» означает самый низкий .

Другими словами, эрозия точки — это минимум точек в ее окрестности, причем эта окрестность определяется структурирующим элементом. В этом он похож на многие другие виды фильтров изображений, такие как медианный фильтр и фильтр Гаусса .

Эрозии на полных решетках

Полные решетки представляют собой частично упорядоченные множества , где каждое подмножество имеет нижнюю и верхнюю грань . В частности, он содержит наименьший элемент и наибольший элемент (также называемый «вселенная»).

Позволять $(L,\leq )$ быть полной решеткой с нижней и верхней границей, символизируемыми $\wedge$ и $\vee$ , соответственно. Его вселенная и наименьший элемент символизируются буквами U и $\emptyset$ , соответственно. Более того, пусть $\{X_{i}\}$ быть набором элементов из L .

Эрозия в $(L,\leq )$ это любой оператор $\varepsilon :L\rightarrow L$ которая распределяется по нижней грани и сохраняет вселенную. Т.е.:

$\bigwedge _{i}\varepsilon (X_{i})=\varepsilon \left(\bigwedge _{i}X_{i}\right)$ ,
$\varepsilon (U)=U$ .

См. также

Ссылки

Анализ изображений и математическая морфология , Жан Серра, ISBN 0-12-637240-3 (1982)
Анализ изображений и математическая морфология, Том 2: Теоретические достижения Жана Серры, ISBN 0-12-637241-1 (1988)
Введение в морфологическую обработку изображений Эдварда Р. Догерти, ISBN 0-8194-0845-X (1992)
Морфологический анализ изображений; Принципы и приложения Пьера Сойля. ISBN 3-540-65671-5 (1999)
RC Гонсалес и Р.Э. Вудс, Цифровая обработка изображений , 2-е изд. Река Аппер-Сэдл, Нью-Джерси: Прентис-Холл, 2002.