Дилатация (морфология)

Расширение (обычно обозначаемое ⊕ ) — одна из основных операций в математической морфологии . Первоначально разработанный для бинарных изображений , он был расширен сначала до в оттенках серого изображений , а затем до полных решеток . Операция расширения обычно использует элемент структурирования для проверки и расширения фигур, содержащихся во входном изображении.

Бинарное расширение

Расширение темно-синего квадрата диском, в результате чего получился голубой квадрат с закругленными углами.

В бинарной морфологии расширение — это инвариантный к сдвигу ( инвариантный к трансляции ) оператор, эквивалентный сложению Минковского .

Бинарное изображение рассматривается в математической морфологии как подмножество евклидова пространства R. ^д или целочисленная сетка Z ^д, для некоторой размерности d . Пусть E — евклидово пространство или целочисленная сетка, A — двоичное изображение в E , а B — элемент структурирования, рассматриваемый как подмножество R. ^д.

Расширение A на B определяется формулой

A\oplus B=\bigcup _{b\in B}A_{b},

где A _b — перевод A на b .

Дилатация коммутативна, что также определяется формулой $A\oplus B=B\oplus A=\bigcup _{a\in A}B_{a}$ .

Если B имеет центр в начале координат, то расширение A на B можно понимать как место расположения точек, покрытых B когда центр B перемещается внутри A. , Расширение квадрата размером 10 с центром в начале координат диском радиуса 2, также с центром в начале координат, представляет собой квадрат со стороной 14 с закругленными углами и центром в начале координат. Радиус закругленных углов равен 2.

Расширение также может быть получено путем $A\oplus B=\{z\in E\mid (B^{s})_{z}\cap A\neq \varnothing \}$ , где Б ^с обозначает симметрический B , то есть $B^{s}=\{x\in E\mid -x\in B\}$ .

Пример

Предположим, что A — следующая матрица 11 x 11, а B — следующая матрица 3 x 3:

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
    0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0   
    0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0  
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0              1 1 1
    0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0              1 1 1
    0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0              1 1 1
    0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0       
    0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0   
    0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0   
    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Для каждого пикселя в A, имеющего значение 1, наложите B так, чтобы центр B был совмещен с соответствующим пикселем в A.

Каждый пиксель каждого наложенного B включен в расширение A на B.

Расширение A на B определяется этой матрицей 11 x 11.

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
    1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1       
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0   
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0

Свойства бинарного расширения

Вот некоторые свойства оператора бинарного расширения.

Это трансляционный инвариант .
Оно возрастает , то есть, если $A\subseteq C$ , затем $A\oplus B\subseteq C\oplus B$ .
Это коммутативно .
Если начало Е принадлежит структурирующему элементу В , то оно экстенсивно , т. е. $A\subseteq A\oplus B$ .
Оно ассоциативно , т.е. $(A\oplus B)\oplus C=A\oplus (B\oplus C)$ .
Это распределительное объединение множеств .

Расширение оттенков серого

В оттенков серого морфологии изображения — это функции , отображающие евклидово пространство или сетку E в $\mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}$ , где $\mathbb {R}$ это набор вещественных чисел , $\infty$ является элементом, большим любого действительного числа, и $-\infty$ является элементом меньше любого действительного числа.

Элементы структурирования в оттенках серого также являются функциями того же формата, называемыми «функциями структурирования».

Обозначая изображение f ( x ) и функцию структурирования b ( x ), расширение шкалы серого f на b определяется выражением

(f\oplus b)(x)=\sup _{y\in E}[f(y)+b(x-y)],

где «sup» обозначает супремум .

Функции плоского структурирования

В морфологических приложениях часто используются плоские элементы структурирования. Плоские функции структурирования — это функции b ( x ) в виде

b(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0,&x\in B,\\-\infty ,&{\text{otherwise}},\end{array}}\right.

где $B\subseteq E$ .

В этом случае расширение значительно упрощается и определяется выражением

(f\oplus b)(x)=\sup _{y\in E}[f(y)+b(x-y)]=\sup _{z\in E}[f(x-z)+b(z)]=\sup _{z\in B}[f(x-z)].

(Предположим, x = ( px , qx ), z = ( pz , qz ), тогда x - z = ( px - pz , qx - qz ).)

В ограниченном дискретном случае ( E — сетка, а B ограничена) оператор супремума можно заменить оператором максимума . Таким образом, расширение является частным случаем фильтров статистики заказов , возвращающих максимальное значение в пределах скользящего окна (симметрия поддержки функции структурирования B ).

Дилатация на полных решетках

Полные решетки представляют собой частично упорядоченные множества , где каждое подмножество имеет нижнюю и верхнюю грань . В частности, он содержит наименьший элемент и наибольший элемент (также называемый «вселенная»).

Позволять $(L,\leq )$ быть полной решеткой с нижней и верхней границей, символизируемыми $\wedge$ и $\vee$ , соответственно. Его вселенная и наименьший элемент символизируются буквами U и $\varnothing$ , соответственно. Более того, пусть $\{X_{i}\}$ быть набором элементов из L .

Расширение — это любой оператор $\delta :L\rightarrow L$ который распределяется по супремуму и сохраняет наименьший элемент. То есть верно следующее:

$\bigvee _{i}\delta (X_{i})=\delta \left(\bigvee _{i}X_{i}\right),$
$\delta (\varnothing )=\varnothing .$

См. также

Библиография

Анализ изображений и математическая морфология , Жан Серра, ISBN 0-12-637240-3 (1982)
Анализ изображений и математическая морфология, Том 2: Теоретические достижения Жана Серры, ISBN 0-12-637241-1 (1988)
Введение в морфологическую обработку изображений Эдварда Р. Догерти, ISBN 0-8194-0845-X (1992)